河北省博野中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度高中数学12月月考卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若平面向量，满足，，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．8 3．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 6．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（    ） A． B． C． D． 8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分） 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 10．在中，内角所对的边分别为，则（   ） A．若，则 B．若为钝角，则 C．当时，若，且是钝角三角形，则 D．若，则满足条件的三角形有两个 11．在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（    ） A．与共面 B．三棱锥的体积为 C．的最小值为 D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12．计算： ． 13．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则 . 14．已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为 ． 四、解答题 15．（13分）已知复数在复平面内所对应的点为A. (1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围； (2)求的最小值及此时实数m的值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 17．（15分）在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 18．（17分）如图，四棱锥中，平面平面． (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 19．（17分）在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 附加题（15分） 1. 如图,四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 第 2 页 共 6 页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学12月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据复数模的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，得. 故选：D. 2．若平面向量，满足，，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】由，可得，再结合，展开可求出答案. 【详解】由，可知，展开可得， 所以， 又，，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，属于基础题. 3．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ）. A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断AB，由面面垂直的性质定理即可判断C，利用线面垂直的性质定理即可判断D. 【详解】对于A：若，，，则或与异面或相交，故A错误； 对于B：若，，，则或相交，故B错误； 对于C：若，，，则相交或或与异面，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确. 故选：D. 4．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角形的内角和定理和余弦的倍角公式，求得，再利用余弦定理，即可求得的长. 【详解】因为，所以为等腰三角形，可得，且， 又因为且， 所以， 由余弦定理得， 所以. 故选：A. 5．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】连结，，可得异面直线与所成角为．利用余弦定理可求出，最后可求出的值． 【详解】 连结，， ∵， ∴异面直线与所成角为． 令，则，． ， ∴，．即． ∴.故选A． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 6．在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解. 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. 7．早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一个石磨的表面积，即求得两个石磨的表面积. 【详解】解：由题意可得一个石磨底面积为：底=， 侧= 所以一个石磨的表面积为：， 所以两个石磨的表面积为：. 故选：D 8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由和正弦定理，可得， 由和余弦定理，可得， 整理化简得：，代入化简得， 又由余弦定理得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误；        B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，C正确；    D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误． 故选：BC. 10．在中，内角所对的边分别为，则（   ） A．若，则 B．若为钝角，则 C．当时，若，且是钝角三角形，则 D．若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 11．在底面边长为2、高为4的正四棱柱中，为棱上一点，且分别为线段上的动点，为底面的中心，为线段的中点，则下列命题正确的是（    ） A．与共面 B．三棱锥的体积为 C．的最小值为 D．当时，过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为 【答案】ACD 【分析】对于A，证明即可判断；对于B，由等体积法即可判断；对于C，展开平面，即可得到最小值；对于D，取，连接，即可得到截面，从而得到结果. 【详解】对于A，如图1，在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确； 对于B，由，因为到平面的距离为定值2，且的面积为1，所以三棱锥的体积为，所以B错误； 对于C，如图2，展开平面，使点共面，过作，交与 点，交与点，则此时最小，易求的最小值为，则C正确； 对于D，如图3，取，连接，则，又，所以，所以共面，即过三点的正四棱柱的截面为，由，则是等腰梯形，且，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为，所以D正确. 故选:ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则 . 【答案】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 14．已知正四棱柱的体积为16，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、，即可得到、、、四点共面，从而得到平面平面，连接交于点，则线段即为点的轨迹，再由三角形相似得到，则问题转化为求的最小值，设、，，利用勾股定理表示出，再由均值不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】如图取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、， 因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且， 由正四棱柱的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以、、、四点共面， 所以平面平面， 连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点， 所以线段即为点的轨迹， 如图在平面中，过点作，交于点，因为， 所以，所以，所以， 设、，， 依题意，， 所以， 要求动点的轨迹长度的最小值，即求的最小值，即求的最小值， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以，所以，即动点的轨迹长度的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是找到动点的轨迹，再利用均值不等式求出的最小值. 四、解答题 15．已知复数在复平面内所对应的点为A. (1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围； (2)求的最小值及此时实数m的值. 【答案】(1)或 (2)的最小值为， 【分析】（1）由点A在第二象限，列出不等式组求解即可； （2）由模的公式得，令，利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）由，解得或. （2）， 令，∵，∴， 则， 所以当，即时，有最小值. 16．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 17．在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）由题意有和，计算，，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：，， 在中，由余弦定理有：， 所以，所以； （2）由题意有：， ， 所以 ， 所以 ， 所以， 由 ， 所以， 所以. 18．如图，四棱锥中，平面平面． (1)若，记三棱锥外接球的球心为O． （i）求证：平面PAB； （ii）求三棱锥外接球的表面积． (2)记，当时，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）首先根据正弦定理求出的外接圆半径，然后确定的外接圆圆心，最后通过证明证明线面平行；（ii）先确定外接球的半径，然后利用公式求出三棱锥外接球的表面积. （2）要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大，结合余弦定理和三角形面积公式求出三棱锥体积的最大值. 【详解】（1）（i）证明：因为平面平面，平面平面， 作，则为的中点，且平面． 因为．所以底面四边形为菱形， 因为，所以，即． 由正弦定理得外接圆的半径为． 设外接圆圆心为，则． 又，从而与重合，即为外接圆圆心． 由三棱锥的外接球的性质，即平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面． （ii）由题意，为正三角形，则外接圆的圆心在上，记为， 由正三角形性质可得圆的半径，则． 连接，则平面，所以为矩形， 三棱锥的外接球． 所以三棱锥的外接球的表面积． （2）由（1）可知，平面，为三棱锥底面上的高，． 要使得三棱锥体积的最大，只需底面的面积最大． 连接，那么． 又．因为，所以 ． 所以 ． 从而． 令，所以时，面积最大． ．故． 19．在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，求出的函数解析式，根据参数范围，求出结果； （2）根据向量垂直的性质，以及向量数量积的坐标表示，列出方程，根据判别式，说明是否有解. 【详解】（1） 如图所示，因为点是的中点，所以， 则， 可知， 则，因为，所以； （2）由（1）可得，， 所以， 当时，可知，即， 化简得，可知，所以方程无解， 即不存在实数，使得. 附加题 1.本小题分 如图所示的四棱锥中，平面，，． 证明：平面平面 若，，，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． 证明：在平面上 求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】证明：平面，平面，平面， ，． ，，且， 又平面，平面，平面． 平面， 平面平面． 证明：由知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则有：，，，，， 设，由是球心，可得， ， 解得，，，即． 故点在平面上 解：由可得：，． 设直线和直线所成角为． ，， 即直线和直线所成角的余弦值为．  试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $