圆的方程 课件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何中“圆的方程”核心模块，覆盖圆的定义、标准方程与一般方程、点与圆位置关系、轨迹问题及最值问题等高考高频考点。课件严格对接高考评价体系，通过知识清单系统梳理考点细节，如特殊位置圆的方程设法、位置关系判定条件等，结合近五年高考真题分析，明确轨迹方程（占比约25%）和最值问题（占比约30%）为常考题型，构建“定义理解-方程应用-综合突破”的备考链条，体现极强针对性。 课件亮点在于“知识内化+思维建模+实战突破”的三阶复习策略。例如针对最值问题，通过几何法将斜率、截距转化为直线与圆的位置关系分析，培养学生用数学思维解决问题的能力；轨迹问题则结合直接法和定义法，引导学生用数学眼光抽象问题本质。特设“方法归纳”模块总结待定系数法、几何法等解题技巧，配套高仿真变式训练，帮助学生高效掌握得分要点，教师可据此精准定位复习重难点，助力学生高考冲刺提分。

解析几何 圆的方程 知识清单 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于________的点的集合 方程标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C________ 半径为________ 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要条件：____________ 圆心坐标：____________ 半径r＝______________ 定长 (a，b) r D2＋E2－4F＞0 (－，－) 知识清单 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内． 圆外 圆上 圆内 知识清单 【常用结论】 1．几种特殊位置的圆的方程   标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 知识清单 2.在圆的一般方程中，当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点(－，－)；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形． 3．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 热点命题——1.圆的方程 例1 (1)已知△ABC的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△ABC的外接圆的标准方程为________________． 解析：待定系数法：设△AOB的外接圆的标准方程为，因为△AOB的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)， 则 ，解得a＝2，b＝，r2＝， 故△AOB的外接圆的标准方程为. 热点命题——1.圆的方程 例1 (1)已知△ABC的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，则△ABC的外接圆的标准方程为________________． 解析：几何法：依题意，△AOB为以AB为斜边的直角三角形，设AB中点为M， 则M，又， 故△AOB的外接圆的标准方程为. 热点命题——1.圆的方程 方法归纳： (1)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程． (2)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． 确定圆心的方法：直径的中点，弦的中垂线的交点 确定半径的方法：圆上一点到圆心的距离，直径的一半 热点命题——1.圆的方程 方法归纳： (1)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程． (2)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． 确定圆心的方法：直径的中点，弦的中垂线的交点 确定半径的方法：圆上一点到圆心的距离，直径的一半 热点命题——1.圆的方程 1　已知圆C经过原点和点A(2，1)，且圆心在直线l：x－2y－1＝0上，则圆C的标准方程为__________________． 解析：圆心在直线l：x－2y－1＝0上，则可设圆心坐标为C(2b＋1，b)， 圆C经过原点和点A(2，1)，则|CO|＝|AC|＝r， 即＝，解得b＝，故点C()， r＝|OC|＝ ＝ ， 故圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝. 热点命题——1.圆的方程 1　已知圆C经过原点和点A(2，1)，且圆心在直线l：x－2y－1＝0上，则圆C的标准方程为__________________． 解析：依题意 ，线段OA的中垂线方程为，即， 由，解得，故圆心C()， r＝|OC|＝ ＝ ，故圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝. 热点命题——2.与圆有关的轨迹问题 例2 (1)平面上一动点P满足|PM|2＋|PN|2＝6，且M(－1，0)，N(1，0)，则动点P的轨迹方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋y2＝3 C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝3 解析：直接法：设P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2＝6， 所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝6，整理得x2＋y2＝2， 即动点P的轨迹方程为x2＋y2＝2. 热点命题——2.与圆有关的轨迹问题 (2)已知圆C：x2＋y2－4x＝0与直线l：mx－4y－4m＝0相交于不同的两点M，N，点P满足＝2，则点P的轨迹方程为(　　) A．(x－3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1(x≠4) C．x2＋(y－3)2＝1(x≠4) D．(x＋3)2＋y2＝1(x≠4) 解析：几何法：C：x2＋y2－4x＝0⇔(x－2)2＋y2＝4，则C(2，0). l：mx－4y－4m＝0⇔m(x－4)－4y＝0，则直线l过定点(4，0)，注意到(4，0)在圆上，设为点M，则＝2，因＝2，则P为MN中点， 如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得＝＝＝1，F(3，0)，则点P的轨迹方程为以F(3，0)为圆心，半径为1的圆去掉点M， 即(x－3)2＋y2＝1(x≠4)．故选B. 热点命题——2.与圆有关的轨迹问题 热点命题——2.与圆有关的轨迹问题 方法归纳： 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 热点命题——2.与圆有关的轨迹问题 2　(1)已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(4，2)，底边的一个端点为B(3，5)，则底边的另一个端点C的轨迹方程为________________________________． 解析：由题可知AB＝＝，又因为△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝，所以点C的轨迹是以A为圆心，以为半径的圆， 所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10，去掉(3，5)，(5，－1)． 热点命题——2.与圆有关的轨迹问题 2　(2)点P(1，0)，点Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　) A．(x－)2＋y2＝1 B．x2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－)2＝1 D．(x－)2＋y2＝4 解析：设点M的坐标为M(x，y)，因为M点是线段PQ的中点， 可得Q(2x－1，2y)，点Q在圆上， 则(2x－1)2＋(2y)2＝4，即(x－)2＋y2＝1.故选A. 热点命题——3.与圆有关的最值问题 例3 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． 热点命题——3.与圆有关的最值问题 解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值， 此时＝，解得k＝±，所以的最大值为，最小值为－. 热点命题——3.与圆有关的最值问题 (2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距， 当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝， 解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方． 由平面几何知识可得在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4. 热点命题——3.与圆有关的最值问题 方法归纳： 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 热点命题——3.与圆有关的最值问题 3　(1)设点P是圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2上任一点，则点P到直线x－y－1＝0的距离的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D．2＋2 解析：因为(x＋1)2＋(y－2)2＝2的圆心坐标为(－1，2)，半径为r＝， 因此圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝2， 因此点P到直线x－y－1＝0距离的最大值为d＋r＝3. 热点命题——3.与圆有关的最值问题 (2)实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是____． 解析：由题意知A(4，－3)，设P(x，y)，则P(x，y)为圆x2＋y2＝4上的点， 圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)，半径r＝2， 则(x－4)2＋(y＋3)2表示圆上的点P(x，y)与A(4，－3)距离的平方， 又因为|PA|max＝|AO|＋r＝＋2＝7， 所以＝72＝49，故(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是49. 热点命题——3.与圆有关的最值问题 (3)若x，y是非负实数，且x2＋y2＝6，则2x＋y 的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D． 解析：法一设直线 当直线与圆相切时，有 解得，结合图像可知当时，x，y有正数解，满足题意 故的最大值为 热点命题——3.与圆有关的最值问题 (3)若x，y是非负实数，且x2＋y2＝6，则2x＋y 的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D． 解析：法二∵x，y是非负实数，x2＋y2＝6， ∴可设x＝cos θ，y＝sin θ(θ∈)， 则2x＋y＝2cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ)＝sin (θ＋φ)≤，其中tan φ＝2， ∴2x＋y的最大值为 . $