专题3.8 圆内接正多边形（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦圆内接正多边形核心知识点，系统梳理正多边形的概念、重要元素（中心、半径、中心角、边心距）、性质及画法，通过易错点拨强化理解，考点讲练衔接应用，构建从基础到综合的完整学习支架。 资料特色在于分层设计与素养导向，知识梳理结合几何直观培养数学眼光，考点讲练通过典例变式提升推理能力，中考真题与难度分层（基础夯实、培优拔高）强化应用意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

专题3.8 圆内接正多边形 【知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正多边形的概念 1 知识点梳理02：正多边形的重要元素 1 知识点梳理03：正多边形的性质 2 知识点梳理04：正多边形的画法 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：求正多边形的中心角 4 考点2：已知正多边形的中心角求边数 8 考点3：正多边形和圆的综合 9 考点4：尺规作图——正多边形 12 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 28 知识点梳理01：正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【易错点拨】 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点梳理02：正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 　　(4)正ｎ边形半径R,边长a，边心距r的关系； 　　(5)正ｎ边形周长； 　　(6)正ｎ边形面积； 【易错点拨】 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理03：正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【易错点拨】 （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理04：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 【易错点拨】 画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1：求正多边形的中心角 【典例精讲】（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【规范解答】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 【变式训练1】（24-25九年级下·江西上饶·期末）如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中作出一个面积等于4的矩形； (2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）连接、，由正六边形的性质可得、、、、、是全等的等边三角形，四边形、是全等的菱形，得，，进而求解即可； （2）如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M，根据正六边形的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，从而可证四边形是菱形，设，则，可得，求得，利用菱形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接、， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∴，四边形、是全等的菱形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形，； （2）解：如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即四边形是面积为4的菱形． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西抚州·月考）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 考点2：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（2025·福建福州·模拟预测）一个正多边形的中心角为，半径为，则该正多边形的面积等于 ． 【答案】 【思路点拨】先利用中心角求出正多边形的边数，再利用正多边形的性质求出正多边形的面积． 本题主要考查正多边形的性质，熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题关键． 【规范解答】解：该正多边形的中心角为， 正多边形的边数为：， 如图所示，作于点， 则，， ， ， 正多边形的面积． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【规范解答】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 【变式训练2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 【规范解答】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 考点3：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    【答案】 【思路点拨】题目主要考查正方形的性质，中位线的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，确定，再由中位线定理得出，，根据平行线的判定和性质得出，即可求解． 【规范解答】解：连接，如图所示：    ∵为圆的直径，，为圆内接正方形， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【思路点拨】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【规范解答】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【规范解答】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 考点4：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·江西景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【规范解答】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【变式训练1】（2024九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【规范解答】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【变式训练2】（2024·山东青岛·一模）已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【思路点拨】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可． 【规范解答】解：如图，四边形ABCD为所作． 1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解． 【规范解答】解析：如图，连接，以为边作，连接， ∵的面积为， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为 故答案为：4． 2．（2024·上海·中考真题）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可得这个正多边形的一个外角为，求得它的中心角为，于是得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距． 【规范解答】解：正多边形的一个外角是其内角的一半， 设外角为，则内角为， ， ， 这个正多边形的边数是， 它的中心角为， 正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形， 它的边长为， 作， 则， ∴ 此正多边形的边心距是， 故答案为：． 3．（2024·河北邯郸·中考真题）古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设，得到，，即可得到，进一步可得答案． 【规范解答】解：如图，设正方形及正八边形的中心为点O，正八边形落在上的顶点为点M，交于点N， 设， 由正方形和正八边形的性质得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，成中心对称的定义，利用正多边形与圆的关系，成中心对称的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵正六边形内接于，交于点， ∴点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称， ∴与关于点成中心对称的是， 故选：． 5．（2024·全国·中考真题）如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 【答案】边心距为，边长为2，周长为，面积为 【思路点拨】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴，． ∴是等边三角形． ∴，即边长为2，周长为． 在中，， ∴， ∴边心距． ∴． 基础夯实 1．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【规范解答】解：连接、，如图所示： 正六边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：D． 2．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．作于C，利用等腰直角三角形的性质求出的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 【规范解答】解：如图，作于C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴，， ∵ ∴， 则， ∴的面积为， ∴正八边形面积为 ∴的估计值为． 故选：B． 3．（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【规范解答】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 4．（25-26九年级下·全国·期末）如图，的内接正六边形为正六边形，的半径为6，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是正六边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质；连接，，证出是等边三角形，进而即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接 ，，，交于， ∵的内接正六边形为正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中； 同理证得是等边三角形，，，， 在中； ； 故答案为． 5．（2025·山东济南·模拟预测）小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为 ． 【答案】/0.5 【思路点拨】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键．将阴影部分进行转化为，进行计算即可． 【规范解答】解：正六边形中，， ∴， ， ∴， ∴， ∴球落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 6．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．连接，根据六边形是内接正六边形得出，进而根据三角函数的定义，求得的长，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留） 【答案】 【思路点拨】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，再根据的周长公式、正六边形的周长公式计算． 【规范解答】解：如图，连接， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接正六边形的周长为：， ∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：， 故答案为：． 8．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8，图见解析 【思路点拨】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【规范解答】解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：45；8． 9．（2025·甘肃·三模）丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．请你根据以下步骤完成这个作图过程． (1)如图，是上一点，仅用圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①以点为圆心，长为半径，自点起，在上顺时针方向依次截取． ②依次连接点，得圆内接正六边形． (2)根据（1）中完成的图，若的半径为2，求六边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正多边形与圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的描述过程进行作图，即可作答． （2）连接，结合六边形是正六边形，证明是等边三角形，把数值代入进行计算，得，再计算的面积，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，圆内接正六边形如图所示： （2）解：连接， 过点作于点G， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则， 则， 则， ∴， ∴的面积为， ∴六边形的面积为． 10．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 【答案】(1)为的切线．理由见解析； (2)线段的长为 【思路点拨】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【规范解答】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 培优拔高 11．（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答此题的关键．根据正六边形的性质知是正三角形，在中，利用勾股定理进行计算即可． 【规范解答】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ． 故答案为：D． 12．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【规范解答】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 13．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接，令与交于点，则，，，，有为等边三角形，即可求得，和，结合面积公式即可求得四边形的面积． 【规范解答】解：如图，连接，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则四边形为菱形， ∴四边形的面积是， 故选：D． 14．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了正多边形的性质及解直角三角形，过点 作轴，垂足为，通过正六边形的性质和解直角三角形求出点的横坐标，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作轴，垂足为 ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵在第二象限 ∴           故答案为：. 15．（2025·上海·二模）已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正多边形外接圆的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确地画出图形是解决本题的关键． 先画出正六边形和外接圆，再取的中点G，连接，根据等边三角形的性质和含的直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵正六边形的边长为4， ∴外接圆半径， ∵正六边形的每条边都是外接圆的一条弦， ∴对应的圆心角为， 又∵， ∴为等边三角形， 取的中点G，连接并延长交于点H，则是点H到弦的最大距离； ∵为等边三角形， ∴，，， ∴， 在含的中，， ∴， ∴任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是， 故答案为：． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 【答案】 【思路点拨】首先确定点的坐标，再根据旋转推导出4次一个循环，再计算经过第2024次旋转后点的坐标即可；本题考查了正多边形的性质，规律型问题，旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【规范解答】解：∵正六边形边长为2，中心与原点重合，轴， ∴， ∴， ∴; ∵每次旋转，， ∴4次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 17．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出即可． 【规范解答】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：2． 18．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【思路点拨】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形； (2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了几何作图，包括平行四边形、菱形、切线的作法等，解题关键是理解正多边形的性质以及平行四边形、菱形和圆的相关性质． （1）连接，交于，交于，则四边形是平行四边形；延长，交于点，则四边形为菱形； （2）连接并延长，交于点，即为所求；连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交延长线于点，连接并延长，交延长线于点，作射线，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，四边形为平行四边形，四边形为菱形； （2）如图所示，点P为的中点，为的切线． 20．（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交的延长线于点 G，作于点R．先求出，，过点C作，垂足为H，证明四边形为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：共线，连接，过点Q作，垂足为N，则，求出，在求出，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R． ， ，   ，   ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 过点C作，垂足为H， 则， ∵ ∴四边形为矩形，     ， ∴， ； （2）如图（2），由题意得：共线，连接， 过点Q作，垂足为N， 则 ， 在中， ， ， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接， 则， 是等边三角形， ，    ， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8 圆内接正多边形 【知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：正多边形的概念 1 知识点梳理02：正多边形的重要元素 1 知识点梳理03：正多边形的性质 2 知识点梳理04：正多边形的画法 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：求正多边形的中心角 4 考点2：已知正多边形的中心角求边数 5 考点3：正多边形和圆的综合 5 考点4：尺规作图——正多边形 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 【易错点拨】 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 知识点梳理02：正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 　　(4)正ｎ边形半径R,边长a，边心距r的关系； 　　(5)正ｎ边形周长； 　　(6)正ｎ边形面积； 【易错点拨】 要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 知识点梳理03：正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【易错点拨】 （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 知识点梳理04：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 　　②正六、三、十二边形的作法。 　　 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 【易错点拨】 画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 考点1：求正多边形的中心角 【典例精讲】（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·江西上饶·期末）如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中作出一个面积等于4的矩形； (2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西抚州·月考）如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 考点2：已知正多边形的中心角求边数 【典例精讲】（2025·福建福州·模拟预测）一个正多边形的中心角为，半径为，则该正多边形的面积等于 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州黔东南·月考）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【变式训练2】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 考点3：正多边形和圆的综合 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·自主招生）如图，为圆的直径，，为圆内接正方形，，分别为的中点，则阴影部分面积为 ．    【变式训练1】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【变式训练2】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 考点4：尺规作图——正多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·江西景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【变式训练1】（2024九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【变式训练2】（2024·山东青岛·一模）已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD． 1．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 2．（2024·上海·中考真题）已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 3．（2024·河北邯郸·中考真题）古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（2024·福建厦门·中考真题）如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·全国·中考真题）如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 基础夯实 1．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建厦门·模拟预测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正八边形作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B． C．3 D． 3．（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 4．（25-26九年级下·全国·期末）如图，的内接正六边形为正六边形，的半径为6，则的长为 ． 5．（2025·山东济南·模拟预测）小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形是的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为 ． 6．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    7．（2025·青海西宁·三模）如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留） 8．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 9．（2025·甘肃·三模）丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．请你根据以下步骤完成这个作图过程． (1)如图，是上一点，仅用圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①以点为圆心，长为半径，自点起，在上顺时针方向依次截取． ②依次连接点，得圆内接正六边形． (2)根据（1）中完成的图，若的半径为2，求六边形的面积． 10．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 培优拔高 11．（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 12．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 13．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 14．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ． 15．（2025·上海·二模）已知正六边形的边长为4，其外接圆被顶点分为六条小劣弧，那么任意一条弦所对劣弧上一点到这条弦的最大距离是 ． 16．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 17．（2024·广东·模拟预测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 18．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 19．（2024·湖北武汉·模拟预测）请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形； (2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线． 20．（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 学科网（北京）股份有限公司 $