专题3.5 确定圆的条件（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“确定圆的条件”核心知识点，系统梳理确定圆的要素（圆心、半径）及经过一点、两点、不在同一直线上三点的情况，延伸至三角形外接圆与外心（定义、位置与三角形形状关系、性质、作法），构建从基础到应用的学习支架。 资料通过知识梳理易错点拨培养严谨思维，9个考点分层设计（如圆心尺规作图、外心坐标计算）提升几何直观与推理能力，中考真题及分层练习（基础夯实、培优拔高）助力学生用数学语言解决问题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题3.5 确定圆的条件 【知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：确定圆的条件 1 知识点梳理02：三角形的外接圆和外心 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断确定圆的条件 3 考点2：求能确定的圆的个数 6 考点3：三角形外接园的概念辨析 8 考点4：已知外心的位置判断三角形的形状 10 考点5：确定圆心(尺规作图) 15 考点6：判断三角形外接园的圆心位置 18 考点7：求三角形外心坐标 24 考点8：求特殊三角形外接圆的半径 26 考点9：画圆(尺规作图) 32 中考真题 实战演练 35 难度分层 拔尖冲刺 43 基础夯实 43 培优拔高 50 知识点梳理01：确定圆的条件 由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。确定圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； ( 3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【易错点拨】 （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 知识点梳理02：三角形的外接圆和外心 1、三角形的外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形称之为这个圆的内接三角形。 2、 三角形的外心 三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。即随三角形形状的变化，三角形外心的位置也发生变化，如图： 3、 三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。 4、 三角形外接圆的作法 （1） 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； （2） 以该交点为圆心，以交点到三角形任意一顶点的距离为半径作圆即可。 如图： 考点1：判断确定圆的条件 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【规范解答】解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·湖南怀化·月考）下列事件中是不可能事件的是（   ） A．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C．三角形内角和为 D．经过任意三点一定可以画一个圆 【答案】C 【思路点拨】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【规范解答】解：A. 100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； C. 三角形内角和为，是不可能事件，故该选项正确，符合题意； D. 经过任意三点一定可以画一个圆，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，、分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，，为中点，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了最值系列里的阿氏圆模型，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握阿氏圆模型，构造相似三角形是解题关键． 通过直角三角形的性质可得点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，过点作以原点为圆心，以为半径的圆，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，取的中点，连接，根据题意，可得、、，即、，推出，证得，得，则当、、三点共线时，取最小值，通过勾股定理即可求解． 【规范解答】解：，点为中点， ， 点在以原点为圆心，半径为的圆上运动（第一象限部分不包含坐标轴上的点）， 如图，过点作以原点为圆心，以为半径的圆，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，取的中点，连接， ， 二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、， 令，则， 令，则，解得：或， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 如图，当、、三点共线时，取最小值， 在中，， ， 的最小值为． 故答案为：． 考点2：求能确定的圆的个数 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【思路点拨】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【规范解答】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 【变式训练1】（23-24九年级下·甘肃武威·期末）平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查确定圆的条件：经过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 首先求出五个点任意选取3个点有10种情况，然后根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，由此求出概率． 【规范解答】解答：解：平面内有五个点A、B、C、D、E，任选3点有10种情况：：A、E、B；A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；C、D、E；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C， 在这五个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况是：A、E、C；A、E、D；A、B、C；A、B、D；B、E、C；B、E、D；A、D、C；B、D、C，共8种； ∴概率为：． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级下·河北邢台·月考）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【规范解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 考点3：三角形外接园的概念辨析 【典例精讲】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了三角形外心的定义．根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【规范解答】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有B选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海虹口·期末）如图，等边中，直线垂直平分边，点P是直线MN上的一点，若、、都是等腰三角形，那么满足条件的点P的个数是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，首先的外心满足，再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，的垂直平分线相交于两点，分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于一点，再分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与相交于两点，即可得解． 【规范解答】如图所示， （1）的外心为满足条件的一个点， （2）以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， （3）分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为4． 故答案为：4． 【变式训练2】（2025·四川南充·二模）如图，是等边的外接圆，，分别为，的中点，延长交于点，若的半径，则的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，交于点M，延长交于点H，连接，根据是等边的外接圆，的半径，可得，求出，，，，再证得，可得，运用勾股定理得，结合线段的和差关系求出的长，即可作答． 【规范解答】解：如图，连接，交于点M，延长交于点H，连接， ∵是等边的外接圆，的半径， ∴， ∴ 则， ∴， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D 考点4：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形外心，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．证明是等腰直角三角形，且，证明是等腰直角三角形，作的垂直平分线l交于点H，则，则，由点E在的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小，即可求出答案． 【规范解答】解：如图， ∵是三边垂直平分线的交点． ∴，是的外心． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 作的垂直平分线l交于点H，则 ∴， ∵， ∴点E在的垂直平分线上运动， 当点D运动到使得点E到达点H时，即面积最小， 此时． 故选：D． 【变式训练1】（2025·吉林松原·模拟预测）如图1，等腰三角形纸片，，．点为上一点，连接． (1)【操作】如图2，将该纸片沿剪开，得到和．将绕点逆时针旋转一定的角度，使点落在的对应边上，则旋转角为___________度（用含的代数式表示）． (2)【探究】在图2中，连接，得到图3．求证：四边形为平行四边形． (3)【应用】若点为的中点，，，直接写出四边形的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据旋转的性质、等腰三角形的性质与判定即可求解； （2）根据旋转的性质和平行四边形的判定即可证明； （3）根据旋转的性质和中点的定义可得，得出，通过证明得到，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得到的长，再利用平行四边形的周长公式即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ， 由旋转的性质得，，， ， 旋转角为度． 故答案为：． （2）证明：由旋转的性质得，，， ， 由（1）得，， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形． （3）解：点为的中点，，， ，， ，， ， 点是的外心， 是外接圆的直径， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， 设，则， 由（2）得，四边形为平行四边形， ， 在中，， ， 解得：或（舍去负值）， ， 平行四边形的周长 ． 【变式训练2】（2025·河北邯郸·二模）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②30 【思路点拨】（1）由菱形的性质及，利用边角边即可证明； （2）①连接交于点，过作于点，由菱形的性质及正弦函数关系可求得；由，得，由正弦函数关系求得，此即平行线与之间的距离； ②由题意知，是锐角三角形；当时，；当时，，从而得，即得，，最后求得的值． 【规范解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ； ， ， ； （2）解：①连接交于点，过作于点，如图： 四边形是菱形，， 于点，，， ； ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②的外心在其内部， 是锐角三角形； 当时，； 当时，； ， ，， ． 考点5：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·二模）如图，在中，，的平分线交边于点D．过B，D两点，且圆心O在边上． (1)用直尺和圆规作出；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则的半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】本题考查了尺规作图，确定圆心，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点． （1）作线段的中垂线与交于点O，以O为圆心、长为半径作图可得； （2）连接，由平分知，根据知，从而得，再由知，设的半径为x，在中，由勾股定理得：，解之即可得出x的值． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为x， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴的半径为4， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·甘肃·月考）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了确定圆的圆心位置，一个圆的圆心一定在该圆一条弦的垂直平分线上，则在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【规范解答】解：如图所示，在弧上任取一点C，作线段的垂直平分线，二者交于点O，则点O即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）（1）如图是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． （2）在图2中，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【思路点拨】本题考查了利用无刻度直尺进行几何图形的作图，包括作三角形边上的高以及找圆的圆心，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图． （1）取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G； （2）借助正方形网格，网格中通过特殊点连线可找到弦的垂直平分线的交点，即圆心，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O，，得到和均为圆的直径，点O为该圆的圆心． 【规范解答】解：（1）如图1，取与半圆的交点D，与半圆的交点E，连接，相交于点F，连接并延长，交于点G， 则即为所求． 证明：∵为直径， , ∴和为的高， ∵三角形的三条高相交于一点， ∴为边上的高． （2）如图2，设过点A的网格线分别交圆于点M，N，过点B的网格线分别交圆于点P，Q，连接，，相交于点O， ， 和均为圆的直径， 点O为该圆的圆心， 即点O为所求． 考点6：判断三角形外接园的圆心位置 【典例精讲】（2025·甘肃金昌·三模）如图，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义．小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下： ①如图3，在圆上依次取三点A，B，C； ②分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线，直线与相交于点O； 即点O为所作圆的圆心， (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；（保留作图痕迹） (2)根据（1）中画出的图形，连接，若为等边三角形，的半径为，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了确定圆心的位置、解直角三角形、等边三角形的性质等知识，正确作图和熟练掌握等边三角形的性质是关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）设直线交于点D，连接，求出，，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【规范解答】（1）解：如图，点O为所作圆的圆心， （2）设直线交于点D，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为： 【变式训练1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了三角形的外接圆、用尺规作图作已知线段的垂直平分线，利用尺规作图分别作的边和的垂直平分线，两直线交于点，点即为外接圆的圆心，以点为圆心，为半径画即为所求． 【规范解答】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，连接，过点E作的垂线交于点F，以为斜边作等腰直角三角形（点G在上方）． (1)若，求的长； (2)当点E从点A运动到点B的过程中，求的外接圆的圆心到边距离的最大值； (3)当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为__________． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路点拨】（1）由矩形的性质得，结合得，可证明，即可求得； （2）取中点，作于，则由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，证明是的中位线，得到，进而得到最大时，最大，设 ，则，结合（1）可知，利用，求得，根据二次函数的性质求得的最大值，即可知的最大值； （3）过点作，于点，，连接，则有四边形为矩形，，，，结合题意证明，有，即可知四边形为正方形，，则点在的角平分线上运动，可知点的运动路径在线段的长，即是当线段最大时的的值，由（2）可知， ，，，设，则，结合正方形的性质有，化简并利用二次函数的性质和等腰直角三角形的性质求解即可，注意先沿着向上运动到最大，再沿着运动直至与点重合，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：2． （2）解：如图，取的中点，作于，则：， ∵为等腰直角三角形，， ∴的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 设 ，则， 由（1）可知， ∴，即：， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为， ∴圆心到边的距离的最大值为； （3）解：①过点作，于点，，连接，如图， ∴， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴则点在的角平分线上运动， 由（2）可知， ，，， 设，则， ∵， ∴，化简得 当时，， ，此时， ∵ ∴点沿射线运动 ∵当点与点重合时，此时点与点重合，此时， ∴当时，点沿射线向上运动， 当时，点运动到点，，此时最大， 当时，点沿射线向上运动， 当时，点与点重合 ∴点经过的路径长为． 考点7：求三角形外心坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【规范解答】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：. 【变式训练1】（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形，点都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中，，． (1)已知与(点都是格点)成位似图形，则位似中心的坐标是________；_______ (2)外接圆圆心坐标________；外接圆半径是_____； (3)以点为位似中心，在外，画出，使它与是位似图形，并且相似比为． 【答案】(1)， (2)； (3)画图见解析 【思路点拨】（）根据位似图形的性质和正切的定义解答即可； （）根据外接圆的定义及勾股定理解答即可； （）根据位似图形的性质作图即可； 本题考查了作位似图形，锐角三角函数，外接圆等，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，连接，并分别延长相交于点，则点是与的位似中心， 由图可知，位似中心的坐标是， 由图可得，， 故答案为：，； （2）解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点为的外接圆圆心， 由图可得，外接圆圆心坐标为； 由勾股定理得，， ∴外接圆半径是， 故答案为：；； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海静安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形的外心的定义，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据外心的定义可得外心P是三角形三边垂直平分线的交点，即作出的垂直平分线，交点即为所求． 【规范解答】解：如图，点即为所求： 考点8：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）证明即可解决本小题； （2）延长至F，使，连接、，证明．从而，．再根据斜边中线定理可证得； （3）过点作直线于点F，由题意可知．由旋转可知，，，证明．得，即F为中点，从而证得点在的中垂线上运动．作的中垂线l，则的外心必在直线l上，设外心为点G，连接、，，当时，最小，即外接圆半径r最小，此时，，，，设，则，，故，在中，由勾股定理得，解得，（不合题意，舍去）． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴是等边三角形， ∴，即的长为6． （2）证明：延长至F，使，连接、，如图所示： ∵， ∴为的中垂线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 又∵为斜边的中线为斜边的中线， ∴． （3）解：过点作直线于点，如图所示： ∵，，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴． 由旋转可知，． ∴ ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即F为中点， 故在的中垂线上运动． 作的中垂线l，则的外心必在直线l上， 设外心为点G，连接、，， 当时，最小，即外接圆半径r最小， 此时，，，， 设， 则，， 故， 在中，由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故的外接圆的半径r的最小值为． 【变式训练1】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，最后根据余弦的定义解答即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式训练2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【规范解答】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示： ∵的高，相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆半径为． 故答案为：． 考点9：画圆(尺规作图) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏扬州·月考）尺规作图：如图，已知等腰和直线，其中，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图1中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） (2)在图2中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了尺规作图、圆周角定理、等边对等角，根据三角形外接圆的性质作图是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，，利用圆周角定理可得，则点即为所求； （2）在上截取点使得，作的外接圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等得到，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，以点为圆心，为半径画圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，， ∵， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，在上截取点使得，作的外接圆，交直线于点（点、在的同侧），连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【变式训练1】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知点E是矩形中边的中点，连接．分别在、边上求作点P、点，使得点D关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】作的角平分线，交于点P，以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，根据圆的性质，等腰三角形的三线合一性质解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【规范解答】解：作的角平分线，交于点P， 以点A为圆心，以为半径画弧，交于点， 则点P，点即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使点O在上，且经过B，C两点； ②设线段与交于D（不与点B重合），连接． (2)若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】此题考查了垂直平分线和圆的作图，圆周角定理和含角直角三角形的性质等知识，准确作图是关键． （1）作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆即可； （2）根据圆周角定理和含角的直角三角形性质即可求出答案． 【规范解答】（1）解：如图即为所求， （2）解：由作图可知，是的直径， ∴， ∵，的半径为2，即 ∴ 1．（2024·河南郑州·中考真题）（1）知识铺垫：如图（1），在中，，作的外接圆，连接，则的度数为 ． （2）拓展应用：如图（2），在正方形中，边长为，点为边上的动点，点为对角线上的动点，且交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】此题重点考查四边形的内角和等于、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接， 则，所以 ，求得，根据四边形的内角和解答即可； （2）作的外接圆， 圆心为点， 连接、、、，由正方形的性质得， ， 则，由， 推导出， 则， 可证明，则， 所以， 由得，求得长，由，得到CG的最小值解答即可． 【规范解答】如图， 连接， 则， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故答案为： ； 如图，作的外接圆，圆心为点，连接、、、， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∴的最小值为 故答案为： 2．（2024·河北邯郸·中考真题）如图，，点A，B分别在边和上滑动，以为边作等边，点O和点C分别位于的两侧，连接，当时，的最大值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】作的外接圆，H为圆心，连接、、、，交于点P，则，先证是等边三角形，得出，再证四边形是菱形，得出，，，然后由勾股定理求出及，最后由三角形三边关系即可得出答案． 【规范解答】解：如图，作的外接圆，H为圆心，连接、、、，交于点P， 则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴的最大值为：， 故答案为：． 3．（2024·浙江宁波·中考真题）在锐角三角形中，为边上一点（不含端点），分别是和的外心，下列结论： ； 与相似； ．其中正确结论的序号是（    ） A． B． C． D．只有 【答案】A 【思路点拨】本题考查了外接圆的性质，垂直平分线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，由外接圆的性质，垂直平分线的判定与性质可判断，通过相似三角形的判定判断，由相似三角形性质可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵分别是和的外心， ∴，， ∴分别在的垂直平分线上， ∴，故结论正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴与相似，故正确； 连接，如图， ∵与相似， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不正确， ∴正确的结论的序号为：， 故选：． 4．（2024·上海·中考真题）下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等弧的概念，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余 各组量都分别相等，过不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的外心等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据等弧的概念，可判定①；在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条优弧（或劣弧），两条弦中有一组量相等，那么它们所对的 其余各组量都分别相等，可判定②③④；根据过不在同一直线上的三点确定一个圆可判定⑤；根据三角形的外心知识可判定⑥． 【规范解答】等弧不仅要求长度相等，还要求弯曲程度相同．两条弧的长度相等，并不能说明它们是等弧：故①不正确； 在同圆或等圆中，若两个圆心角相同，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等．两个圆心角相同，并不能说明它们所对应的弧相等，故②不正确； 在同圆或等圆中，若两弦相等，则它们所对应的优弧和劣弧分别相等，故③不正确； 若两弧相等，则说明它们是等弧，它们在同圆或等圆中，故所对的圆心角相等，故④正确； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，若三点在同一直线上，过这三点不能画圆，故⑤不正确； 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外，故⑥不正确； 综上可知，说法正确的是④． 故选：B． 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，则当点A到的距离最大时，的长为________． 问题解决 （2）如图②，四边形为某社区内休闲公园示意图，该社区为了实行动静分区，平衡喜静和喜动居民的需求，计划购买彩色地光灯带，并在公园边界，上分别取点M，N，连接，从五边形内任取一点P，连接，，使得．将P，M，N三点用彩色地光灯带无间隙地连接起来铺成一个专属喜动居民的表演场地（忽略彩色地光灯带的宽度）．为节约成本，需要彩色地光灯带的总长度尽可能的短．已知，，．试问彩色地光灯带的总长度是否存在最小值？若存在，求出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）存在，彩色地光灯带总长度的最小值为 【思路点拨】（1）判断出当点A到的距离最大时，为等边三角形可得的长； （2）连接，作的外接圆，过点作关于，的对称点，，连接，，，，，，易得彩色地光灯带的总长度为线段的长度，也就是的长度，当点D、P、O在同一条直线上时，最小，最小值为，分别求得和的长度，即可求得的最小值，也就求得了彩色地光灯带总长度的最小值； 本题考查解直角三角形的应用，利用轴对称的知识判断出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值是哪条线段的长是解决本题的关键；难点是根据和的长度判断出的最小值 【规范解答】解：（1）∵当点A在的垂直平分线上时，点A到的距离最大， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：6； （2）如图，连接，作的外接圆，过点作关于，的对称点，，连接，，，，，，则，， ． 过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当、、、四点共线，且最小时，最小． 连接，，连接交于点， ， ， ，， ， ． ， ， 点在边上， ， ， ． ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ， 由勾股定理得， 最小值为， 最小值为， 彩色地光灯带总长度的最小值为． 基础夯实 1．（2025·河南郑州·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．平面内的三点确定一个圆 【答案】B 【思路点拨】本题考查确定圆的条件，对顶角、同位角，关键是掌握对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件．由对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件，即可判断． 【规范解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原说法不符合题意； B、对顶角相等，故符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法不符合题意； D、平面内，不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法不符合题意； 故选：B． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【规范解答】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【规范解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【规范解答】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 6．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【规范解答】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【思路点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【规范解答】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 8．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）作出以为对角线的正方形的另一条对角线，交于点，连结即可； （2）分别作出，垂直平分线交点O． 【规范解答】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． 9．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查角平分线画法，尺规作圆，过一点作一条直线的垂线．根据题意利用角平分线性质及点到直线的距离画图即可． 【规范解答】解：∵要求在三条道路上各开一个门， ∴画和的角平分线交于点M，再过M作（或）的垂线，作圆M， ∴即得到中心公园M的范围，作图如下： 10．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角．求作：． 小芸同学的作法如下： 如图，①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，与直线交于点； ③以点为圆心，为半径作圆； ④则为的外接圆； ⑤在优弧上取一点，连结，．则可得． 根据小芸设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹） (2)的依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)同弧所对的圆周角相等 【思路点拨】本题主要考查了画三角形外接圆，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）根据题意作图即可． （2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 培优拔高 11．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，已知锐角的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设外接圆的半径为R，连接并延长交于点D，连接．先证明，根据垂线定义证明，，进而证明四边形是平行四边形，，进而证明是等边三角形，结合圆周角定理即可求出． 【规范解答】解：如图，设外接圆的半径为R，连接并延长交于点D，连接． ∵点O是的外心， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵H是的垂心， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C. 12．（2025·吉林长春·二模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【规范解答】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 13．（2025·浙江·一模）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．根据“半径三角形”的定义、圆周角定理判断①②；根据等腰三角形的性质、圆周角定理判断③；过点作于，求出的最大面积，判断④． 【规范解答】解：如图，， 当点是圆上异于、的点时，为“半径三角形”， 则一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确； 当点在优弧上，可能是锐角三角形，当为直径时，是直角三角形，当点在劣弧上，是钝角三角形， 则一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确； 当点在优弧上，，当点在劣弧上，，当时，顶角， 则当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或，故③结论正确； 如图，过点作于，直线交优弧于，此时，面积最大， ， ，， ， ，故④结论错误； 故选：C． 14．（2025·四川乐山·二模）已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是 （将正确选项的番号填在横线上）． 【答案】① 【思路点拨】本题考查了尺规作图，过直线外一点作这条直线的垂线，作直径所对的圆周角，理解尺规作图的依据是解题的关键．按尺规作图的要求依次判断即可． 【规范解答】解：图以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于；再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点；过点作射线，射线即是所求的射线；图符合题意； 图以点为圆心，长为半径画弧交于点E；再以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于，直线，且直线不一定过点C，即射线不一定与垂直，所以射线不是所求的射线，图不符合题意； 图中不是射线，故图不符合题意． 故答案为：． 15．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形中，，，，．点为四边形内一点，且．为上一点，连接，则的最小值是 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 作的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点，连接，，得出为等腰直角三角形，由，求出，连接，过点作于点，则，利用，得出，过点作于点，求出，在中，，得出，由点为四边形内一点，为上一点，且位置不定，则，当且仅当、、共线，且时，取最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，作的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 连接，过点作于点， 在中，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点为四边形内一点，为上一点，且位置不定， ∴，当且仅当、、共线，且时，取最小值， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：10． 16．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，边上的高， ①当时，则的周长为 ． ②若的长变化时，则周长的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】①先运用勾股定理算出，再证明，代入数值到，解得，再运用勾股定理算出，然后列式计算得的周长； ②先延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T．先整理得，则，故，则，，因为，得最小时，的周长最小，即可作答． 【规范解答】解：①∵边上的高，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴的周长为． 故答案为：20； ②如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∵， ∴最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 17．（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【规范解答】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 18．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，设，利用勾股定理构建方程求解． 【规范解答】（1）解：如图①中，点，点，即为所求； 以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）解：四边形是矩形， ，， 设， 则， 解得， 的半径为． 故答案为：． 19．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 【答案】(1) (2) (3)外 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． （1）根据题意，的垂直平分线所在直线为，可知圆心M在直线为上，设，根据，可求出圆心M的坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径长； （3）根据，即可判断D点的位置． 【规范解答】（1）解： 、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心M在直线为， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 圆的半径长为， 故答案为：； （3）解：，， ， ， 点在外， 故答案为：外． 20．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【规范解答】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 确定圆的条件 【知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：确定圆的条件 1 知识点梳理02：三角形的外接圆和外心 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断确定圆的条件 3 考点2：求能确定的圆的个数 3 考点3：三角形外接园的概念辨析 4 考点4：已知外心的位置判断三角形的形状 5 考点5：确定圆心(尺规作图) 6 考点6：判断三角形外接园的圆心位置 7 考点7：求三角形外心坐标 8 考点8：求特殊三角形外接圆的半径 9 考点9：画圆(尺规作图) 10 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 16 知识点梳理01：确定圆的条件 由圆的定义可知，圆有两个要素：一个是圆心，另一个是半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。确定圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； ( 3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【易错点拨】 （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 知识点梳理02：三角形的外接圆和外心 1、三角形的外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形称之为这个圆的内接三角形。 2、 三角形的外心 三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。即随三角形形状的变化，三角形外心的位置也发生变化，如图： 3、 三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径。 4、 三角形外接圆的作法 （1） 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； （2） 以该交点为圆心，以交点到三角形任意一顶点的距离为半径作圆即可。 如图： 考点1：判断确定圆的条件 【典例精讲】（2025·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·湖南怀化·月考）下列事件中是不可能事件的是（   ） A．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C．三角形内角和为 D．经过任意三点一定可以画一个圆 【变式训练2】（2025·辽宁盘锦·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点，、分别是轴正半轴，轴正半轴上的动点，，为中点，连接，，，则的最小值为 ． 考点2：求能确定的圆的个数 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【变式训练1】（23-24九年级下·甘肃武威·期末）平面内有5个点A，B，C，D，E，直线与直线正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 ． 【变式训练2】（23-24九年级下·河北邢台·月考）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点3：三角形外接园的概念辨析 【典例精讲】（2025·河北邯郸·二模）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海虹口·期末）如图，等边中，直线垂直平分边，点P是直线MN上的一点，若、、都是等腰三角形，那么满足条件的点P的个数是 ． 【变式训练2】（2025·四川南充·二模）如图，是等边的外接圆，，分别为，的中点，延长交于点，若的半径，则的长度为（      ） A． B． C． D． 考点4：已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）在中，，是上一动点，连接，是三边垂直平分线的交点．连接，，若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式训练1】（2025·吉林松原·模拟预测）如图1，等腰三角形纸片，，．点为上一点，连接． (1)【操作】如图2，将该纸片沿剪开，得到和．将绕点逆时针旋转一定的角度，使点落在的对应边上，则旋转角为___________度（用含的代数式表示）． (2)【探究】在图2中，连接，得到图3．求证：四边形为平行四边形． (3)【应用】若点为的中点，，，直接写出四边形的周长． 【变式训练2】（2025·河北邯郸·二模）如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 考点5：确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（2025·甘肃武威·二模）如图，在中，，的平分线交边于点D．过B，D两点，且圆心O在边上． (1)用直尺和圆规作出；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，则的半径为________． 【变式训练1】（24-25九年级下·甘肃·月考）要将如图所示的破圆轮残片复制完成，请你先帮忙找出这个圆轮残片的圆心．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏徐州·开学考试）（1）如图是半圆的直径，图1中，点C在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出中边上的高． （2）在图2中，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心 考点6：判断三角形外接园的圆心位置 【典例精讲】（2025·甘肃金昌·三模）如图，是甘肃省造光绪元宝古币的正面和反面，光绪元宝是大清光绪年间流通大面值货币之首，具有非常特殊的历史意义．小智同学对此货币非常感兴趣，他想根据所学知识找到此货币所在圆的圆心，他的作法如下： ①如图3，在圆上依次取三点A，B，C； ②分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线； ③分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P，Q，作直线，直线与相交于点O； 即点O为所作圆的圆心， (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图3中作出圆心O；（保留作图痕迹） (2)根据（1）中画出的图形，连接，若为等边三角形，的半径为，则的面积为______． 【变式训练1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，连接，过点E作的垂线交于点F，以为斜边作等腰直角三角形（点G在上方）． (1)若，求的长； (2)当点E从点A运动到点B的过程中，求的外接圆的圆心到边距离的最大值； (3)当点E从点A运动到点B时，则点G经过的路径长为__________． 考点7：求三角形外心坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏连云港·月考）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为个单位长度的小正方形，点都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中，，． (1)已知与(点都是格点)成位似图形，则位似中心的坐标是________；_______ (2)外接圆圆心坐标________；外接圆半径是_____； (3)以点为位似中心，在外，画出，使它与是位似图形，并且相似比为． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海静安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作的外心P．（保留作图痕迹） 考点8：求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（2025·广东广州·模拟预测）如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； (2)如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； (3)如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 【变式训练1】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【变式训练2】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 考点9：画圆(尺规作图) 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏扬州·月考）尺规作图：如图，已知等腰和直线，其中，．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图1中，利用尺规在直线上作出点，使得；（作出一点即可） (2)在图2中，利用尺规在直线上作出点，使得．（作出一点即可） 【变式训练1】（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知点E是矩形中边的中点，连接．分别在、边上求作点P、点，使得点D关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法） 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使点O在上，且经过B，C两点； ②设线段与交于D（不与点B重合），连接． (2)若，的半径为2，求的长． 1．（2024·河南郑州·中考真题）（1）知识铺垫：如图（1），在中，，作的外接圆，连接，则的度数为 ． （2）拓展应用：如图（2），在正方形中，边长为，点为边上的动点，点为对角线上的动点，且交于点，连接，则的最小值为 ． 2．（2024·河北邯郸·中考真题）如图，，点A，B分别在边和上滑动，以为边作等边，点O和点C分别位于的两侧，连接，当时，的最大值为 ． 3．（2024·浙江宁波·中考真题）在锐角三角形中，为边上一点（不含端点），分别是和的外心，下列结论： ； 与相似； ．其中正确结论的序号是（    ） A． B． C． D．只有 4．（2024·上海·中考真题）下列说法正确的个数有（   ） ① 两条弧的长度相等，那么它们是等弧：② 若两个圆心角相同，则它们所对应的弧相等；③在同圆或等圆中，若两弦相等，则所对的弧相等：④ 若两弧相等，则所对的圆心角相等；⑤过三点可以画一个圆；⑥三角形的外心在三角形外． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·陕西咸阳·中考真题）问题提出 （1）如图①，在中，，，则当点A到的距离最大时，的长为________． 问题解决 （2）如图②，四边形为某社区内休闲公园示意图，该社区为了实行动静分区，平衡喜静和喜动居民的需求，计划购买彩色地光灯带，并在公园边界，上分别取点M，N，连接，从五边形内任取一点P，连接，，使得．将P，M，N三点用彩色地光灯带无间隙地连接起来铺成一个专属喜动居民的表演场地（忽略彩色地光灯带的宽度）．为节约成本，需要彩色地光灯带的总长度尽可能的短．已知，，．试问彩色地光灯带的总长度是否存在最小值？若存在，求出铺设的彩色地光灯带总长度的最小值；若不存在，请说明理由． 基础夯实 1．（2025·河南郑州·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．平面内的三点确定一个圆 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（    ） A． B． C．10 D．8 3．（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 4．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为 ． 5．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    6．（2025·江苏南京·一模）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ． 7．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 8．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 9．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 10．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角．求作：． 小芸同学的作法如下： 如图，①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，与直线交于点； ③以点为圆心，为半径作圆； ④则为的外接圆； ⑤在优弧上取一点，连结，．则可得． 根据小芸设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹） (2)的依据是_______． 培优拔高 11．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，已知锐角的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·吉林长春·二模）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 13．（2025·浙江·一模）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，正确的个数为（ ） A． B． C． D． 14．（2025·四川乐山·二模）已知中，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形，观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是 （将正确选项的番号填在横线上）． 15．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形中，，，，．点为四边形内一点，且．为上一点，连接，则的最小值是 ． 16．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，在中，边上的高， ①当时，则的周长为 ． ②若的长变化时，则周长的最小值为 ． 17．（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ． 18．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 19．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，在坐标系中，、、． (1)在网格中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M，并写出M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） 20．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $