专题3.3 垂径定理（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦垂径定理核心知识点，系统梳理定理（垂直于弦的直径平分弦及弧）、逆定理（平分非直径弦的直径垂直弦）及拓展（五条件互推），构建知识梳理（含易错点拨）、6个考点讲练（典例+变式）、中考真题演练、难度分层练（基础+培优）的学习支架。 资料亮点在于精准点拨易错点（如“直径”含半径等，逆定理中弦非直径）培养推理意识，结合纸杯测量、拱桥跨度等实际问题发展几何直观与应用意识，分层练习与真题助力课中教学及课后查漏，提升学生解题能力。

专题3.3 垂径定理 【知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：垂径定理 1 知识点梳理02：垂径定理的逆定理 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用垂径定理求值 2 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 3 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 3 考点4：利用垂径走理求解其他问题 5 考点5：垂径定理的推论 6 考点6：垂径定理的实际应用 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 【易错点拨】 ①定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。 ②条件中的“弦”可以是直径，结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。 知识点梳理02：垂径定理的逆定理 1. 内容 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【易错点拨】 ①被平分的弦“不是直径”。任意两条直径都互相平分。 ②结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。 利用垂径定理的逆定理可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是交点。 2. 垂径定理及其逆定理的拓展 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。 【易错点拨】 “过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径。 考点1：利用垂径定理求值 【典例精讲】（2024·安徽宣城·一模）已知圆的直径，为圆的弦，，且，垂足为点，且满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是的直径，且，弦的长为8．若的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点A，B到的距离分别为，，则等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ． 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式训练1】（23-24九年级下·浙江温州·月考）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【变式训练2】（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（24-25九年级下·北京海淀·期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏扬州·月考）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P. （1）PA与PB相等吗？请说明理由； （2）若，求圆环的面积. 考点4：利用垂径走理求解其他问题 【典例精讲】（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【变式训练1】（24-25九年级下·甘肃张掖·月考）已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【变式训练2】（2025·安徽合肥·一模）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处， （1）若为线段的中点，则＝ ． （2）当为的中点时，到的最大距离是 ． 考点5：垂径定理的推论 【典例精讲】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【变式训练1】（2025·山东泰安·三模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（   ） A．44 B．48 C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏淮安·月考）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ． 考点6：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【变式训练1】（2024·上海·模拟预测）如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 【变式训练2】（2025·湖南长沙·二模）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，在中，点在圆内，、在圆上，其中，，，则 ． 2．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 3．（2024·河北·中考真题）如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦的中点M，连接．若，，小花身高，小亮身高，对于“小花和小亮是否需要弯腰才能进入奇妙屋”，（参考数据：）以下说法正确的是（　　） A．小亮和小花都不需要 B．小亮需要，小花不需要 C．小亮和小花都需要 D．小亮不需要，小花需要 4．（2024·全国·中考真题）在直径为的中，，于E，，F为中点，过点C作交于点B，G为l上一点，则周长最小值为（  ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 基础夯实 1．（24-25九年级下·湖南永州·期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24九年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 4．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 5．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 6．（24-25九年级下·广东中山·月考）如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ． 7．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 8．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 9．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，，，求弦的长． 10．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 培优拔高 11．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中， ，，过点A，C，交边于点D，且 ，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 14．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 15．（23-24九年级下·安徽宿州·期末）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是 ． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 17．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 18．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的．瓶内液体的最大深度为，液面的宽度的长为，求的半径． 19．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知在中，． (1)求证：； (2) 直径于点D，若，，求的半径． 20．（25-26九年级下·浙江温州·月考）如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 垂径定理 【知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：垂径定理 1 知识点梳理02：垂径定理的逆定理 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用垂径定理求值 2 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 5 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 8 考点4：利用垂径走理求解其他问题 10 考点5：垂径定理的推论 14 考点6：垂径定理的实际应用 18 中考真题 实战演练 21 难度分层 拔尖冲刺 28 基础夯实 28 培优拔高 35 知识点梳理01：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 【易错点拨】 ①定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段。 ②条件中的“弦”可以是直径，结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。 知识点梳理02：垂径定理的逆定理 1. 内容 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【易错点拨】 ①被平分的弦“不是直径”。任意两条直径都互相平分。 ②结论中“平分弦所对的弧”指的是既平分弦所对的劣弧，也平分弦所对的优弧。 利用垂径定理的逆定理可以确定圆心的位置：在圆中找出两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是交点。 2. 垂径定理及其逆定理的拓展 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。 【易错点拨】 “过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径。 考点1：利用垂径定理求值 【典例精讲】（2024·安徽宣城·一模）已知圆的直径，为圆的弦，，且，垂足为点，且满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，如图，先利用垂径定理得到，在中利用勾股定理计算出，则可计算出，然后在中利用勾股定理可计算出． 【规范解答】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 故选：C． 【变式训练1】（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，是的直径，且，弦的长为8．若的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点A，B到的距离分别为，，则等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路点拨】本题考查垂径定理和相似三角形的性质与判定．设与交于点，过点O作于D，连接，利用垂径定理及勾股定理可求出，再推，得出比例式，从而可求出答案． 【规范解答】如图，设与交于点，过点O作于D，连接． ∵是的直径，且，弦的长为8， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ，即， 整理得， ∴． 故选：A． 【变式训练2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【规范解答】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O，的中点为M，的中点为N， 连接，，则，，且过圆心O， ∴，， 由题意，得，设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：． 考点2：利用垂径定理求平行弦问题 【典例精讲】（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【规范解答】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式训练1】（23-24九年级下·浙江温州·月考）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【规范解答】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【变式训练2】（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【思路点拨】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【规范解答】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 考点3：利用垂径定理求同心圆问题 【典例精讲】（24-25九年级下·北京海淀·期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【思路点拨】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【规范解答】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米， （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，求它的跨度A′B′． 【答案】(1) r=34；(2) A′B′=32 【思路点拨】(1)连结OA,利用r表示出OD的长,在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可; (2)连结OA',在Rt△A'EO中,由勾股定理得出A'E的长,进而可得出A'B'的长. 【规范解答】（1）连接OA， 由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18） 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2， 解得，r=34； （2）连接OA′， ∵OE=OP﹣PE=30， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302， 解得：A′E=16． ∴A′B′=32． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏扬州·月考）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P. （1）PA与PB相等吗？请说明理由； （2）若，求圆环的面积. 【答案】（1）相等，证明见解析；（2）圆环的面积为 【规范解答】试题分析：（1）PA=PB，连接OP，在大圆中利用垂径定理即可证明， （2）连接OA，根据切线的性质和勾股定理可得：OA2﹣OP2=AB2，写出环形的面积表达式，把数值代入即可． 试题解析：（1）PA=PB，理由如下： 连接OP， ∵大圆的弦AB切小圆于点P， ∴OP⊥AB， ∴PA=PB， （2）接OA， ∵大圆中长为8的弦AB与小圆相切， ∴OP⊥AB，AP=4， ∴OA2﹣OP2=16， ∴πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π， ∴圆环的面积=16π． 考点4：利用垂径走理求解其他问题 【典例精讲】（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级下·甘肃张掖·月考）已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【思路点拨】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【规范解答】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【变式训练2】（2025·安徽合肥·一模）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处， （1）若为线段的中点，则＝ ． （2）当为的中点时，到的最大距离是 ． 【答案】 / 【思路点拨】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质，相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质可得，，，设，根据折叠的性质可得：，，利用勾股定理可列关于的方程，解方程可得； 由题意得在以点为圆心，为半径的圆上，当点M与点A重合时，到的距离最大，过点N作交于点H，过点作交的延长线与点F，连接交于点E，由，得：，进而即可求解 ． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 设，则有，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； 解，如下图所示，当点是中点时， ， 在中，， ， ∴在以点为圆心，为半径的圆上，当点M与点A重合时，到的距离最大， 过点N作交于点H，过点作交的延长线与点F，连接交于点E， ∵， ∴， 有折叠可知：， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴在中，，解得：， ∴ ∵， ∴，即，解得： ∴点到的最大距离为． 故答案为：． 考点5：垂径定理的推论 【典例精讲】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【思路点拨】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【规范解答】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 【变式训练1】（2025·山东泰安·三模）如图，在四边形中，，，若，，则四边形的面积为（   ） A．44 B．48 C． D． 【答案】A 【思路点拨】由，推出点四点共圆，连接，根据勾股定理求出，过点A作于E，连接，利用等腰三角形性质（“三线合一”）及垂径定理的推论证得，且共线，过点O作于F，则，通过勾股定理求得，根据中位线求得，最后根据 求得结果． 【规范解答】解：在四边形中，， 四点共圆，设圆心为O， 连接，则是直径， 在中，，， ， 过点A作于E， ， 连接，则， 共线， 在中，， ， ， 在中，， 过点O作于F，则， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏淮安·月考）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查垂径定理的推论，三角形形的外角，等边三角形的判定和性质，分为弧是劣弧或弧是优弧，作射线交于点F，即可得到，进而求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【规范解答】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点， ∵∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：或． 考点6：垂径定理的实际应用 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果； (1)求证：． (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）作，推出，进而得平分，即可求证； （2）证得，，进而得，再证即可； 【规范解答】（1）证明：作， ， ， ∴平分， ， （2）证明：如图所示： ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【变式训练1】（2024·上海·模拟预测）如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度为寸，锯长为寸，则圆材的半径为 寸． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆形木材的圆心为，连接，，先根据垂径定理可得寸，再设圆材的半径为寸，则寸，寸，在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：如图，设圆形木材的圆心为，连接，， 由题意得：点共线，， ∴， ∴（寸）， 设圆材的半径为寸，则寸， ∵深度为寸， ∴寸， 在中，，即， 解得， 即圆材的半径为13寸， 故答案为：13． 【变式训练2】（2025·湖南长沙·二模）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽，则排水管水面高为（    ） A．3 B．8 C．2 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【规范解答】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，在中，点在圆内，、在圆上，其中，，，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了求角的正切值，等边三角形的判定及性质，垂径定理，解题的关键是掌握正切的定义；过作，连接，延长，交于点，由，得到三角形为等边三角形，确定出与的度数，在直角三角形中，设，表示出与，根据等边三角形得列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长， 【规范解答】解：过作，延长，交于点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， 在中，设，则，， ， 为的中点，即， 由， 即， ， 解得：，即， ． 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）如图，在中，，以为半径的圆分别交、于点、，若，，则 ． 【答案】176 【思路点拨】本题考查了垂径定理、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，证明∽，即可解题． 【规范解答】解：过点作于点， 则，，， 在中，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 故答案为：176 ． 3．（2024·河北·中考真题）如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦的中点M，连接．若，，小花身高，小亮身高，对于“小花和小亮是否需要弯腰才能进入奇妙屋”，（参考数据：）以下说法正确的是（　　） A．小亮和小花都不需要 B．小亮需要，小花不需要 C．小亮和小花都需要 D．小亮不需要，小花需要 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可得，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，则可求，然后用两人的身高与比较即可得出结论． 【规范解答】解：∵该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦的中点M， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴小花不需要弯腰进入奇妙屋，小亮需要弯腰进入奇妙屋． 故选：B． 4．（2024·全国·中考真题）在直径为的中，，于E，，F为中点，过点C作交于点B，G为l上一点，则周长最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆的综合，轴对称-最短路线问题的应用，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．由于的位置变化不明确，故分类讨论：①当在点O的左侧时，如图1，连接，由垂径定理得，，周长为，其中为定值1，则只需求的最小值即可，G为动点，故过C作关于l的对称点（点B、C、三点共线），连接，由对称得：，，则当点F、G、三点共线时，有的最小值为，此时周长为，证明得，即可求得，再由勾股定理求出，进而可得答案；②当在点O的左侧时，如图2，周长的最小值解法与情形①类似． 【规范解答】解：由于的位置变化不明确，故分类讨论： ①当在点O的左侧时，如图1，连接， ∵在直径为的中，，于E，， ∴，，， ∵F为中点， ∴，， 周长为，其中为定值，则只需求的最小值即可， G为动点，故过C作关于l的对称点（点B、C、三点共线），连接， 由对称得：，， 则当点F、G、三点共线时，有的最小值为， 此时周长为， ∵， ∴，， ， 由于，， 故点E和点F重合，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故， 则周长最小值为； ②当在点O的右侧时，如图2， 周长的最小值解法与情形①类似， G为动点，故过C作关于l的对称点（点B、C、三点共线），连接，， 由对称得：，， 则当点F、G、三点共线时，有的最小值为， 此时周长为， 其中为定值， 过作交延长线于点K， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 故， 则周长最小值为； 综上，由于，故周长最小值为． 故选：B． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)的直径是 【思路点拨】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 基础夯实 1．（24-25九年级下·湖南永州·期中）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 根据垂径定理可得，再对运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：∵直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【规范解答】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 3．（2024·广东·模拟预测）如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．根据垂径定理得出，再根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解：∵直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】连接，根据已知易得：，再根据垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答． 【规范解答】解： 过点作，连接 ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线， ∴， 在中，， 设的半径是， 则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·广东中山·月考）如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 过点O作于点D，连接，根据垂径定理求出的长，再由勾股定理即可得出的长． 【规范解答】解：过点O作于点D，连接， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【规范解答】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 9．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，为⊙的直径，是弦，且于点E，连接、、，，，求弦的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵AB⊥CD， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·重庆永川·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【思路点拨】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【规范解答】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 培优拔高 11．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中， ，，过点A，C，交边于点D，且 ，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形以及圆心角、弧、弦间的关系． 连接，并延长交于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知是等腰三角形，由其“三线合一”的性质证得是的中垂线．在直角中根据勾股定理求得线段的长度，进而根据垂径定理来求线段的长度． 【规范解答】解：如图，连接，并延长交于点E． ∵ ， ∴， ∵点O是等腰的外心， ∴，且． 在直角中，， 则． ∵， ∴，即， ∴，即线段的长度是4， 故选：B． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，解决此题的关键是合理的利用垂径定理；先根据垂径定理得到的长，根据勾股定理和线段的和差得到的长度，进而即可得到答案； 【规范解答】解：连接， ∵为的直径， ， ∴， ∵弦于E， ∴， 在中，， ∴ 即 ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：D． 13．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，一个隧道的横截面形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径为（   ） A．8米 B．米 C．7米 D．6米 【答案】B 【思路点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，学会利用垂径定理和勾股定理求线段的长度是解题的关键． 先利用垂径定理得到的长，再设圆的半径为x米，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出x的值即可解答． 【规范解答】解：由题意得，且过圆心O， ∴米， 设圆的半径为x米，则米， 在中，， ∴ 解得， ∴圆的半径为米． 故选：B． 14．（2025·上海·模拟预测）在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质综合，垂径定理的推论等知识点，连接，证，得；；再证，推出，，；由题易知：，可推出，，即可求解； 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵ ∴； ∵， ∴； ∴；； ∵， ∴； ∵ ∴； ∴，， ∴； 作，如图所示： 则； ∵， ∴四边形矩形， ∴； 同理可得：； ∴； ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴， 故答案为： 15．（23-24九年级下·安徽宿州·期末）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理，中位线定理，勾股定理，由，得，，然后通过中位线定理可得，设的半径为，则，由勾股定理得，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查圆周角定理、含角的直角三角形、垂径定理，根据圆周角定理求出的度数，由垂径定理求出，从而求出即可． 【规范解答】解：如图，设交于点E． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径长为4． 故答案为：4． 17．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】由是的中点可想到垂径定理以及弧相等则弧所对的弦相等，进而作辅助线、、，可得到等腰三角形和直角三角形，由矩形的性质，同角或等角的余角相等可推出，又有，可得，利用相似三角形的性质可求出，设，在中，用勾股定理列方程即可求出． 【规范解答】解：如图，连接、、， ∵是的中点，点是圆心， ∴，（垂径定理）， ∴， 作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴（等边对等角），（等腰三角形三线合一）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴：：， ∴ ， ∴在中，， 即， 解得， 故答案为：． 18．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）如图，在化学实验中，一个底部呈球形的烧瓶，其纵截面是如右图的．瓶内液体的最大深度为，液面的宽度的长为，求的半径． 【答案】 【思路点拨】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．设的半径为，即，进而表示出的长，由垂径定理可知，在中，由勾股定理可得，列式解方程即可得解． 【规范解答】解：设的半径为，即， ， 由垂径定理可知， 在中，，即， 解得， 即的半径为． 19．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知在中，． (1)求证：； (2) 直径于点D，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查的是垂径定理、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）延长交于点F，连接，证明，，即可求解； （2）由垂径定理可知，根据全等三角形的判定定理得出，故可得出的长，根据勾股定理即可求出的长． 【规范解答】（1）证明：如图，延长交于点F，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：设的半径为r， ∵，过圆心，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 20．（25-26九年级下·浙江温州·月考）如图，是四边形的外接圆，直径与弦交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）结合圆周角定理，证明，利用相似三角形性质即可证明； （2）作于点，延长交于点，利用等腰三角形性质得到，，再结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及垂径定理“知二推三”推出，过圆心，最后结合等腰三角形性质，以及弧、弦、圆心角之间的关系，即可证明； （3）连接，过点作于点，结合圆周角定理，证明，利用相似三角形的性质，得到，设，则，利用勾股定理得到，进而算出，再利用勾股定理建立方程求解，即可解题． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：作于点，延长交于点， ， ，， ， 过圆心， ， ， ， ； （3）解：连接，过点作于点， ，， ， ， ， 由（2）知，，， ， ， ∴ ， 设，则， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $