精品解析：广东省茂名市信宜市2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级综合练习（二） 数学 （考试范围：八年级上册第一至第五章；满分120分；用时120分钟．） 注意事项： 1．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. 0.01001 D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 12，15，18 C. 5，12，13 D. 4，4，7 3. 若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A. B. C. D. 4. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于 的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 8. 正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 8的立方根是________． 12. 计算：______． 13. 若点，在直线上，则与的大小关系是：______．（填“>”“<”或“＝”） 14. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________________ 15. 将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 18. 为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 19. 规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）在y轴上画出点P，使最小． 21. 若关于，的方程组与方程组的解相同，求： （1）两个方程组的相同解； （2）的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式． （2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）直接写出的面积． 23. 【综合与实践】某兴趣小组利用物理学中杠杆原理制作简易跷跷板，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试．请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，在木板的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线．质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为y米，根据杠杆原理可得：． 【方案设计】目标：设计有标注刻度的简易跷跷板，使得两边分别坐上人后跷跷板平衡．设定，，零刻度线与末刻度线的距离定为1米． 任务一：确定l和a的值． （1）当跷跷板左边不坐上小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板平衡，则l与a的关系式：________； （2）当跷跷板左边坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移至末刻度线时，跷跷板平衡，则l与a的关系式：________； （3）根据（1）和（2）的结论可得l与a的值：________，________； 任务二：确定刻度线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数表达式； （5）从零刻度线开始，小孩这端的质量每增加5千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板保持平衡，求相邻刻度线间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级综合练习（二） 数学 （考试范围：八年级上册第一至第五章；满分120分；用时120分钟．） 注意事项： 1．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. 0.01001 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义；根据无理数是无限不循环小数逐一判断即可． 【详解】解：A、，为整数，是有理数，不符合题意； B、 0是整数，是有理数，不符合题意； C、 0.01001是有限小数，是有理数，不符合题意； D、是开方不尽的数，是无理数，符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 12，15，18 C. 5，12，13 D. 4，4，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股数的定义是解题关键． 勾股数是三个正整数，且满足勾股定理 ．通过计算各组数的平方和与平方是否相等来判断． 【详解】解：A：∵ ，， ∴， ∴ 不是勾股数，不符合题意； B：∵ ，， ∴， ∴ 不是勾股数，不符合题意； C：∵ ， ∴， ∴ ， ∴ 是勾股数，符合题意； D：∵ ，， ∴， ∴ 不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 若式子有意义，则实数x的值可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，建立不等式求解，即可确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数，解得． 选项中只有，因此的值可能是4， 故选：D． 4. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．通过加减消元法直接求解方程组． 【详解】解： 得 ， 将代入①得， 解得， 方程组的解为， 故选：C． 5. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的定义以及根据图象判断是否为的函数，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：选项A：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项B：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义，符合题意； 选项C：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项D：当取一个大于的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 故选B． 6. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了各象限坐标符号特征，解题的关键是牢记各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限． 此题中，横坐标为负，纵坐标为正，可判断点在第二象限，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， 横坐标为为负，纵坐标为为正， 故点在第二象限， 故选：B． 7. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于 的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数 和 的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ， ∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即， 故答案为：C． 8. 正比例函数中y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正比例函数的性质可得，从而得出，进而得出一次函数的图象在第一、二、四象限，即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数中y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，如图： 9. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知．，， 由勾股定理得， 故离门4米远的地方，灯刚好打开． 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 10. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 所列方程组为：． 故选：C． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 8的立方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 12. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先化简算术平方根和立方根，然后进行加法运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：2． 13. 若点，在直线上，则与的大小关系是：______．（填“>”“<”或“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，理解题意，分别算出，，即可得出． 【详解】解：∵点，在直线上 ∴，， ∵， ∴， 故答案为：> 14. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 15. 将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律． 根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 同理可得，，， ，， ，， ......， ，（为正整数）， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，平方差公式，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）根据平方差公式进行展开，再运算减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 把②代入①可得：， 解得：， 把代入②得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为 18. 为了防控流感，我校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲，乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）由于部分区域需要重点消毒，我校准备花60元再次购买这两种消毒液，有多少种购买方案． 【答案】（1）甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶 （2）三种 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据“购买了甲，乙种消毒液共100瓶，其中甲种每瓶6元，乙种每瓶9元”建立二元一次方程组求解； （2）设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据(1)求得的单价以及“花60元再次购买这两种消毒液”得到二元一次方程，再求出其正整数解即可． 【小问1详解】 解：设买甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意， 得， 解得， 答：甲种消毒液购买了40瓶，乙种消毒液购买了60瓶． 【小问2详解】 解：设买甲种消毒液购买了m瓶，乙种消毒液购买了n瓶，根据题意， 得，化简得， ∵m，n为正整数， ∴或或． ∴有三种购买方案． 19. 规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）的面积为______； （3）在y轴上画出点P，使最小． 【答案】（1） 如图所示：，即为所求； （2） （3）如图 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据分割法即可求得的面积； （3）连接与y轴的交点为P，可使最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为：； 故答案为：6.5； 【小问3详解】 连接与y轴的交点为P，P点即为所求． 【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 若关于，的方程组与方程组的解相同，求： （1）两个方程组的相同解； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． 【小问2详解】 解：把代入方程组， 得， 解得， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式． （2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）直接写出的面积． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据图象解答即可； （3）先求出B点坐标，再利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ，即点C坐标为， 一次函数经过、点， ， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由图象可得不等式的解为：； 【小问3详解】 一次函数与y轴交于B， ， 点C坐标为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式等知识，根据待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值是解题关键． 23. 【综合与实践】某兴趣小组利用物理学中杠杆原理制作简易跷跷板，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试．请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，在木板的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线．质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板保持平衡． 设大人与零刻度线的距离为y米，根据杠杆原理可得：． 【方案设计】目标：设计有标注刻度的简易跷跷板，使得两边分别坐上人后跷跷板平衡．设定，，零刻度线与末刻度线的距离定为1米． 任务一：确定l和a的值． （1）当跷跷板左边不坐上小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板平衡，则l与a的关系式：________； （2）当跷跷板左边坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移至末刻度线时，跷跷板平衡，则l与a的关系式：________； （3）根据（1）和（2）的结论可得l与a的值：________，________； 任务二：确定刻度线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数表达式； （5）从零刻度线开始，小孩这端的质量每增加5千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板保持平衡，求相邻刻度线间的距离． 【答案】（1）5a；（2）；（3），；（4）：（5）相邻刻度线间的距离为0.25m 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，根据杠杆原理，可得，代入数据可以得解； （2）依据题意得，，进而计算可以得解； （3）依据题意，由（1）与（2）可得，，求出后再求得，可以得解； （4）依据题意，由（3）可知，，，故，计算即可得解； （5）依据题意，由（4）可知，，故当时，；当市，，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据杠杆原理， ． ． ． 故答案为：． （2）由题意得，． ． 故答案为：． （3）由题意，由（1）与（2）可得，， ． ． 故答案为：；． （4）由（3）可知，，， ． ． （5）由（4）可知，， 当时，；当时，． 相邻刻度线间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $