17.5 反证法 （课件） 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该初中数学课件核心内容为反证法的概念、步骤及应用。课堂导入通过直接证明与间接证明对比，承接已学直接证明方法，以“三角形最多一个直角”为例搭建探究支架，逐步抽象反设、归谬、结论步骤。 其亮点在于以探究活动为主线，通过三角形、平行线等实例培养推理意识，总结反设关键词训练数学语言精确性，分层作业和互动问题发展创新意识。帮助学生掌握间接证明逻辑，提升推理能力，教师可借助清晰结构高效教学。

冀教版八年级数学上册 第十七章 特殊三角形 17.5 反证法 在证明命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接证明的方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 导入新课 3 活动一：探究反证法的概念和步骤 求证：一个三角形中最多有一个直角. 已知：如图，△ABC. 求证：在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角. 高效课堂 4 高效课堂 证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. ∵∠A＋∠B＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＞180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，一个三角形中有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果一个三角形中含有直角，那么它只能有一个直角. 5 高效课堂 反证法：在证明一个命题时，先假设原命题的结论不正确，再从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的.这种证明命题的方法叫作反证法. 反证法是一种间接证明的方法. 6 高效课堂 能根据上面的证明过程说出用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤吗？ 第一步，假设命题的结论不成立.(反设) 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.(归谬) 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.(结论) 7 活动二：学以致用，应用新知 例1 用反证法证明平行线的性质定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角. 求证：∠1＝∠2. 高效课堂 8 高效课堂 证明：如图.假设∠1≠∠2. 过点G 作直线MN,使得∠EGN=∠1. ∵∠EGN＝∠1， ∴MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1＝∠2. 9 高效课堂 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 10 高效课堂 (1)首选的是哪一种方法？ (2)如果选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ (3)能不用反证法吗？准备怎样证明？ 11 高效课堂 证明：假设△ABC与△A'B'C'不全等，即BC≠B'C'.设BC＜B'C'. 如图，在B'C'上截取C'D＝CB，连接A'D. 在△ABC和△A'DC'中，∵AC＝A'C'，∠C＝∠C'，CB＝C'D， ∴△ABC≌△A'DC'(SAS). ∴AB＝A'D(全等三角形的对应边相等). ∵AB＝A'B'(已知)， ∴A'B'＝A'D(等量代换). ∴∠B'＝∠A'DB'(等边对等角). 12 ∴∠A'DB'＜90°(三角形的内角和定理)， 即∠C'＜∠A'DB'＜90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角). 这与∠C'＝90°相矛盾. 因此，BC≠B'C'的假设不成立，即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A'B'C'. 高效课堂 13 活动三：总结常见关键词的反设 命题“今天是晴天”的反设如何表述？ 今天不是晴天. 命题“至少有3个人迟到”，反设又该如何表述？ 没有人迟到或只有1~2人迟到. 常见的问题关键词，如是、大于、小于、至少有一个、至多有一个的反设分别如何表述？ 高效课堂 14 高效课堂 常见的问题关键词，如是、大于、小于、至少有一个、至多有一个的反设分别如何表述？ 1.“是”→“不是”. 2.“大于”→“小于或等于”. 3.“小于”→“大于或等于”. 4.“至少有一个”→“一个都没有”. 5.“至多有一个”→“至少有两个”. 15 课堂评价 C C 16 答案 假设存在最大的整数，设为M.但M＋1也是整数，且M＋1＞M，这与M是最大的整数矛盾，所以假设不成立.所以，不存在最大的整数. 课堂评价 17 课堂总结 通过今天的学习，你有什么收获？ 18 作业设计 基础性作业：教材做一做，教材练习题，教材习题第1，2题. 提高性作业：教材习题第3，4题. 拓展性作业：教材习题第5，6题. 19 感 谢 观 看 $