17.5反证法随堂演练2025-2026学年冀教版数学八年级上册

17.5 反证法 一、选择题 1．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，这与已知条件a2+b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（　　） A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法 2．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（　　） A．a=-2 B．a=-1 C．a= 1 D．a=2 3． 用反证法证明命题“若|a|<3， 则 '时，应假设(　　) A．a>3 B．a≥3 C． D． 4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（　　） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 5．要说明命题“若a>b，则a2>b2” 是假命题，可设（　　） A．a=3，b=4 B．a=4， b=3 C．a=－3，b=－4 D．a=－4，b=－3 6．用反正法证明命题“如图，如果 ， ，那么 ”时，证明的第一个步骤是（　　） A．假设 不平行于 B．假设 不平行于 C．假设 D．假设 不平行于 7．用反证法证明：在 中， 中不能有两个角是钝角时，假设 中有两个角是钝角，令 ，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（　　） A．已知 B．三角形内角和等于 C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对 8．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（　　） A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 9．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（　　） A．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45° B．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60° C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50° 10．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（　　） A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数 11．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 ”的过程如下： 已知： ； 求证： 中至少有一个内角小于或等于 . 证明：假设 中没有一个内角小于或等于 ，即 ，则 ， 这与“__________” 这个定理相矛盾， 所以 中至少有一个内角小于或等于 . 在证明过程中，横线上应填入的句子是（　　） A．三角形内角和等于 B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 C．等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于 D．等式的性质 12．设a、b、c是互不相等的任意正数，则x、y、z这三个数（　　） A．都不大于2 B．至少有一个大于2 C．都不小于2 D．至少有一个小于2 13．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事.老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事.”“小张也没做这件事.” 小王：“我没做这件事.”“小陈也没做这件事.” 小张：“我没做这件事.”“我也不知道谁做了这件事.” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（　　） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 二、填空题 14．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设　 　 ． 15．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：正确的顺序应为　 　 ． ①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°． 16．用反证法证明：已知直线a、b被直线c所截，∠1+∠2≠180°．求证：a与b不平行． 证明：假设　 　， 则：∠1+∠2=180°（　 　） 这与　 　矛盾，故假设不成立．所以a与b不平行． 17．4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有　 　局为平局. 18．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 　 　． 三、解答题 19．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行． 20．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0． 21．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）： （1）若，则a=3； （2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线． 答案 1．B 解：推理使用的证明方法是：反证法． 故答案为：B． 2．A 用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2， ∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1， ∴A符合题意； 故答案为：A． 3．C 解：反证法证明命题“若 则 时，应假设 故答案为：C . 4．D 解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 5．C 解：A选项和D选项中，a＜b，不满足条件，不能作为反例，不符合题意； B选项中，a=4， b=3，满足a>b，也满足a2>b2，不能作为反例，不符合题意； C选项中，a=－3，b=－4，满足a>b，a2＜b2，能作为反例，符合题意. 故答案为：C. 6．B 命题的结论为 ， ∴反证法的第一步应为：假设CD不平行于EF． 故答案为：B． 7．B 解： ， ＞ 这与 互相矛盾， 故答案为： 8．C 在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C． 9．B 解：A、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故A选项正确； B、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故B选项错误； C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项正确； D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项正确． 故选：B． 10．B 解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立， 而命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“假设a，b，c都不是偶数”， 故选：B． 11．A 证明：假设 中没有一个内角小于或等于 ，即 ，则 ， 这与“三角形内角和等于 ” 这个定理相矛盾， 所以 中至少有一个内角小于或等于 . 故答案为：A 12．B 解：a、b、c是互不相等的任意正数，不妨设a＞b＞c＞0， ∵a＞b＞c＞0， ∴z一定大于2，而x，y不确定． 故至少有一个大于2． 故选B． 13．B 解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾；2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故答案为：B. 14．每一个内角都大于60° 解：根据反证法可知：每一个内角都大于60°． 故答案为：每一个内角都大于60°． 15．③①② 解：反证法的步骤为：假设结论成立，推出矛盾，推出假设不成立，结论成立． 以上证明过程正确的步骤：③①②． 故答案为：③①②． 16．a∥b；两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180° 假设a∥b，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，a与b不平行． 故答案为：a∥b；两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°. 17．1 解：如果没有平局，则每个人的得分都是偶数，又由于没有人全胜，故各人的得分只能是0、2或4分，从而，必有两个人得分相同，矛盾， 下面的例子说明恰有一局为平局是可能的.如下图所示： 所以至少有一局为平局. 故答案为：1. 18．902班 假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．则甲猜测是正确的。 故答案为：902班． 19．证明：如图所示：已知l1‖l3，l2‖l3， 假设l1不平行于l2，l1‖l3 则 l2不平行于l3与条件l2‖l3矛盾， 所以l1‖l2． ​ 20．证明：假设如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a≠0或b≠0， ∵（1）当a≠0且b≠0， ∴a2＞0，b2＞0， ∴a2+b2＞0， ∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确． 同理可得：（2）a≠0且b=0，（3）a=0且b≠0时， 与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确． 21．（1）解：是假命题， 当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题； （2）是真命题， 证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠DFC=∠DEB=90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS） ∴BD=CD， ∴AD是△ABC的中线， ∴所以命题（2）是真命题． 　 学科网（北京）股份有限公司 $