6.3：角【十三大考点+十三大题型】-2025-2026学年人教版七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

本初中数学讲义聚焦“角”的核心知识，系统梳理角的两种定义、五类分类、四种表示方法、角度制换算、比较方法、平分线性质及余角补角概念，构建从基础概念到性质应用的完整学习支架。 资料以13类题型为载体，从基础辨析（如角的定义判断）到生活应用（钟面角、方向角）再到综合压轴（动态旋转问题），培养学生数学眼光（观察生活中的角）、思维（推理角平分线关系）和语言（规范几何表达）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升解题能力。

6.3：角 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：角的定义 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 知识点二：角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 知识点三：角的表示方法： 角的表示 图例 适用范围 注意事项 用三个大写字母表示 记作：∠ABC或∠CBA 任何情况都适用 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧. 用一个大写字母表示 记作：∠O 1）以这个字母为顶点的角只有一个； 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示. 用一个数字表示 任何情况都适用 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母 用一个希腊字母表示 知识点四：角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 知识点五：角的大小的比较： 1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 知识点六：角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 知识点七：余角和补角 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 【题型探究】 题型一：角的基本概念 【例1】．（2024七年级上·全国·专题）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．周角就是一条直线 B．一条直线便是一个平角 C．由两条射线组成的图形叫作角 D．由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角 【答案】D 【分析】本题考查了角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、周角的两边重合成一条射线，而不能说周角就是一条直线，所以A选项错误； B、角有顶点，则一条直线不能说是一个平角，所以B选项错误； C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以C选项错误； D、由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角，所以D选项正确． 故选：D． 题型二：角的表示与分类 【例2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式1】．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法，掌握角的概念是解题的关键． 根据角的概念和角的表示方法回答即可． 【详解】解：和是同一个角，①正确； 和是同一个角，②正确； 和是对顶角，但不是同一个角，③错误； 和不是同一个角，④错误， 正确的有两个，为①②． 故选：B ． 题型三：钟面角 【例3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求钟面角，分别求出每分钟时针所走的角度，结合角度加减即可得到答案. 【详解】解：由题意可得， 每分钟时针走：， ∴时针和分针之间形成的角为：， 故选：B． 【变式1】8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，根据钟表上每一个大格之间的夹角是，当分针指向12，时针与分针构成的角，得出此时时针距分针是4个大格，应考虑两种情况，但从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求． 【详解】解：钟表上每一个大格之间的夹角是， 当分针指向12，时针与分针构成的角时，此时时针距分针是4个大格， 从6点钟到12点钟，只有8点钟符合要求， 故选：B． 【变式2】．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键． 【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格． 所以时针和分针构成的角的度数为 ． 故选：． 题型四：方向角 【例4】．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，学校A在点O的北偏西方向上，小明家B在点O的南偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，熟练掌握方向角的运算是解题关键．如图（见解析），先根据方向角的定义可得，，，再根据角的和差求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，， ∴． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，若射线的方向是南偏东，，则射线的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角；根据题意得到，求出，即可解答． 【详解】解：如图， ∵射线的方向是南偏东， ∴， ∵， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 题型五：角的单位和角度制 【例5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）根据，用换算即可 ； （2）根据，，用逆向换算即可 ； （3）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解； （4）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3），， ； 故答案为：；；； （4）， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习） ； ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算，关键记住角度单位进率：．根据角度单位进率，易知；对于小数度，整数部分为度，小数部分乘以60得分，分的小数部分乘以60得秒． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵的整数部分为，小数部分转换为分：，其整数部分作为分，小数部分转换为秒：， ∴． 故答案为：①1，②45，③28，④48． 【变式2】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）角度换算： （1）用度，分，秒表示为 ； （2） ； 【答案】 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）． 故答案为：． 题型六：角的度数比较大小 【例6】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，则 ．（填“>”、“<”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题考查度分秒的换算以及角度大小比较，需先将角度统一单位后再比较． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为:． 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查角的度数大小比较，需要统一单位后比较．根据，将转换为度分形式，再与比较． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七：三角板中角度计算问题 【例7】．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，将一副三角板叠放，使直角顶点重合，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角板中角的和差运算，掌握角的和差关系是解题的关键． 由题意得，，则，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 题型八：几何图形中的角度计算问题 【例8】．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，，是的3倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的运算，弄清角之间的关系是解题的关键． 先说明，再结合可求得，进而求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角的和差计算，根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【详解】解：设，则，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九：角平分线问题 【例9】．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，，平分，若， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及角的和差，依据角平分线的定义，得到，再根据计算求解，即可解题． 【详解】解：，平分， ， ， ； 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的有 个． 【答案】4 【详解】解：∵，平分， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴，，故②正确； ∴与可以拼成一个直角，故③正确； ∵， ∴与可以拼成一个平角，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：4． 题型十：角n等分线的有关计算 【例10】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式1】．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 【变式2】．（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 题型十一：计算余角或补角 【例11】．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于点处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算及直角三角板特性，根据角度的计算及直角三角板特点即可判断得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意得，， ∴， ∴，不符合题意； 、根据三角板可知，，不符合题意； 、由题意得，， ∴， ∴，符合题意； 、由题意得，， ∴， ∴，不能说明，不符合题意； 故选：． 【变式1】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确； B、∵， ∴， ∴选项不正确； C、∵， ∴选项正确； D、∵, ∴选项正确． 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的邻补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴与互余，故②正确； 的补角只有一个，而图中的邻补角只有，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①②④． 故选：B． 题型十二：等角（同角）余角或补角相等应用 【例12】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD交于点O，的余角比小，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，角的和差倍分关系，设通过“的余角比小”列方程即可求解． 【详解】解：设 的余角比小 . 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，． （1）图中所有互余的角有 ． （2）图中所有互补的角有 ． 【答案】 与，与，与，与 与，与，与，与，与，与，与 【分析】根据余角和补角的定义，利用同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等确定等角，问题即可得以解决． 【详解】解： , 互余的角有：共四对. . 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与，共7对. 故答案为：①与，与，与，与. ②与，与，与，与，与，与，与． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，按同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的性质解决问题，注意要不重不漏． 题型十三：角的综合压轴问题 【例13】．（25-26七年级上·四川成都·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．     【答案】（1）；（2），理由见解析；变式探究：，理由见解析； 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，三角板角度特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差求出，再结合角平分线定义求出，最后根据计算求解，即可解题； （2）猜想，设，再类比（1）的推理过程整理说明即可． 变式探究：猜想，设，再类比（2）的推理过程整理说明即可． 【详解】解：（1），， ， 平分， ， ； （2），理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 变式探究：，理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 【变式1】．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）综合与探究 数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺的直角顶点O放在直线上，过点O作平分线． 【操作发现】 （1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值： 请依据上表，写出与的数量关系__________． 【思考论证】 （2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺在直线上方绕顶点O旋转时（到达边时停止旋转），与是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（），为的角平分线，当时，求t的值． 【答案】（1）；（2）满足，见解析；（3）的值为或 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练地利用方程解决问题是解本题的关键． （1）由表格数据可得结论； （2）设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论； （3）分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）根据表中数据得：， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ②当时，，则，    ∵为的角平分线，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 【变式2】．（25-26七年级上·山西临汾·月考）综合与探究 【问题情境】 某校七年级数学学习小组在课后进行综合探究实践活动.海阔天空小组进行了如下探究： 已知点O是直线上一点，.现将直角三角尺的直角顶点放在点O处． 【解决问题】 （1）如图1，落在直线上，若，求的度数； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （2）将直角三角尺放至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． （3）将直角三角尺放至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）和互补，理由见解析；（3）. 【分析】本题主要考查了余角与补角和角平分线． （1）先根据余角的定义和已知条件，求出，再根据求出答案即可； （2）先根据，，结合图形求出即可； （3）先根据，把用表示出来，再根据角平分线的定义证明，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：和互补，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和互补； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上4 点整时，时针与分针的夹角为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角，关键是结合实际生活和角的含义进行解答． 钟面被12小时等分，每个小时对应角，4点整时，时针指向4，分针指向12，故夹角为． 【详解】解：∵钟面圆周角为，每小时对应角度为， ∴4点整时，时针从12点位置转过． 故选：A． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【详解】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【详解】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算问题． 由，，可得，结合，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26七年级上·河南新乡·月考）小豫在绘制开封古城文旅地图时，结合龙亭与山陕甘会馆的实际地理位置，下列说法正确的是（   ） A．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 B．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 C．山陕甘会馆在龙亭的北偏西方向上 D．山陕甘会馆在龙亭的南偏西方向上 【答案】A 【分析】本题考查方位角，根据图示及方位角的表示方法即可求解． 【详解】解：由图可知，山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上． 故选：A． 6．（25-26七年级上·河南平顶山·月考）如图，直线，相交于点O，射线平分，是直角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，由射线平分，，得出，由是直角，根据得出答案． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴． 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知与互补，与互余，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的意义是解决问题的关键． 与互补，与互余，列出关系式，然后根据求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与互补，与互余， ， ， ， ． 故选：B． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 9．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． ∵， ∴， 的余角为， ①：符合的余角，故正确； ②：，不成立，故错误； ③：，故错误； ④：，则，不成立，故错误． 能正确表示的余角的有①共1个． 故选：A． 10．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的补角为或． 故选B． 二、填空题 11．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，平分，且，度数是 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的和差，关键是熟练应用知识点解题； 根据角平分线的定义可得，再将与作差即可求得结果． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知，，平分，且，则 ．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由角平分线的定义可得的度数，再根据角的和差关系求． 【详解】解：因为平分，， 所以， ①如图， 又因为， 所以； ②如图， 所以； 故答案为或． 13．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ，用度分秒表示 ′ ″． 【答案】 【分析】本题考查了角度的四则运算，角的单位与角度制，解题的关键是掌握，． 对于角的加法运算，将度与度相加、分与分相加，再根据进行进位处理；对于度转换为度分秒，利用，．将小数部分逐步转换． 【详解】解∶； 故答案为∶ ；；；． 15．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查余角，补角，角平分线的定义，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用余角，补角，角平分线的定义，根据，设，则，求得，利用列方程，即可求解． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 三、解答题 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 【答案】(1)2700(2)1.3(3)52，21，36(4)49.5225 【详解】（1）解：， 故答案为：2700； （2）解：， 故答案为：1.3； （3）解：， 故答案为：52，21，36； （4）解：，，， ， ∴． 故答案为：． 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 18．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 19．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，． (1)如图，若在直线上方，，求的度数； (2)如图，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角是得，即可求得的度数； （2）利用角的和差关系结合角平分线的定义分别表示，，然后求和即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 21．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查角平分线的相关计算和角的和差等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键． （1）根据直线平分求出再求出根据平分即可得到的度数； （2）根据角平分线定义得到得到，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ （2）∵分别平分和， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 22．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 【详解】（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3：角 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：角的定义 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 知识点二：角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 知识点三：角的表示方法： 角的表示 图例 适用范围 注意事项 用三个大写字母表示 记作：∠ABC或∠CBA 任何情况都适用 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧. 用一个大写字母表示 记作：∠O 1）以这个字母为顶点的角只有一个； 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示. 用一个数字表示 任何情况都适用 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母 用一个希腊字母表示 知识点四：角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 知识点五：角的大小的比较： 1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 知识点六：角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 知识点七：余角和补角 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 【题型探究】 题型一：角的基本概念 【例1】．（2024七年级上·全国·专题）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【变式2】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．周角就是一条直线 B．一条直线便是一个平角 C．由两条射线组成的图形叫作角 D．由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角 题型二：角的表示与分类 【例2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【变式1】．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：钟面角 【例3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）钟表上的时间显示为，此时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】8．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）把钟面上的时针与分针都看作射线，时针与分针就构成一个角，从6点钟到12点钟，当分针指向12时，时针此时恰好与分针构成的角，则此时是（   ） A．7点钟 B．8点钟 C．9点钟 D．10点钟 【变式2】．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型四：方向角 【例4】．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，学校A在点O的北偏西方向上，小明家B在点O的南偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·广东茂名·月考）如图，若射线的方向是南偏东，，则射线的方向是（　　） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【变式2】．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型五：角的单位和角度制 【例5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习） ； ． 【变式2】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）角度换算： （1）用度，分，秒表示为 ； （2） ； 题型六：角的度数比较大小 【例6】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知，，则 ．（填“>”、“<”或“＝”） 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式2】．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 题型七：三角板中角度计算问题 【例7】．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，将一副三角板叠放，使直角顶点重合，若，则 度． 【变式1】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【变式2】．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 题型八：几何图形中的角度计算问题 【例8】．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，已知，，是的3倍，则的度数为 ． 【变式1】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图所示，，，则的度数是 ． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 题型九：角平分线问题 【例9】．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，，平分，若， ． 【变式1】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的有 个． 题型十：角n等分线的有关计算 【例10】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【变式1】．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【变式2】．（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 题型十一：计算余角或补角 【例11】．（24-25七年级上·陕西咸阳·月考）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于点处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C．与互为余角 D．与互为补角 【变式2】．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，点在同一条直线上，射线和在直线的同侧，，分别是和的平分线．有下列结论： ①； ②与互余； ③的邻补角有两个； ④． 其中，正确的结论为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型十二：等角（同角）余角或补角相等应用 【例12】．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD交于点O，的余角比小，则的度数为 ． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，． （1）图中所有互余的角有 ． （2）图中所有互补的角有 ． 题型十三：角的综合压轴问题 【例13】．（25-26七年级上·四川成都·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．     【变式1】．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）综合与探究 数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺的直角顶点O放在直线上，过点O作平分线． 【操作发现】 （1）“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值： 请依据上表，写出与的数量关系__________． 【思考论证】 （2）老师进一步提出了如下问题：当三角尺在直线上方绕顶点O旋转时（到达边时停止旋转），与是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）“创新小组”又提出如下问题：将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（），为的角平分线，当时，求t的值． 【变式2】．（25-26七年级上·山西临汾·月考）综合与探究 【问题情境】 某校七年级数学学习小组在课后进行综合探究实践活动.海阔天空小组进行了如下探究： 已知点O是直线上一点，.现将直角三角尺的直角顶点放在点O处． 【解决问题】 （1）如图1，落在直线上，若，求的度数； 【深入探究】未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： （2）将直角三角尺放至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． （3）将直角三角尺放至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含的代数式表示） 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上4 点整时，时针与分针的夹角为（　） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南新乡·月考）小豫在绘制开封古城文旅地图时，结合龙亭与山陕甘会馆的实际地理位置，下列说法正确的是（   ） A．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 B．山陕甘会馆在龙亭的南偏东方向上 C．山陕甘会馆在龙亭的北偏西方向上 D．山陕甘会馆在龙亭的南偏西方向上 6．（25-26七年级上·河南平顶山·月考）如图，直线，相交于点O，射线平分，是直角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知与互补，与互余，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 二、填空题 11．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，，平分，且，度数是 ． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）已知，，平分，且，则 ．（用含的式子表示） 13．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ，用度分秒表示 ′ ″． 15．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 三、解答题 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 17．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 18．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求证：． 19．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，． (1)如图，若在直线上方，，求的度数； (2)如图，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 21．（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 22．（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． (1)如图1，已知，，是的相生角，求的度数； (2)某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． (3)若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $