4.1 无理数&4.2 平方根与立方根（随堂小练）-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第四章 1无 1在2338,7-2200.451454455 1 127,3分中，无理数的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列说法正确的是 A.有理数只是有限小数 B.号是无理数 C.无理数是无限不循环小数 D号是无限不循环小数 3.面积为8的正方形的边长为a,则a的值() A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.大于4 4.如图是宝安公园一角的平面地图，利用软件测得 起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点 B到终点C的距离是30米，如果∠ABC= 90°，那么A,C两点的距离大约是 () 30米 B 起点A宝乐门 30米 A.30米 B.40米 C.60米 D.70米 5.如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙 上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下 滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD () B D A.小于2米 B.等于2米 C.大于2米 D.无法判断 6.如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每 一个小方格的边长为1个单位长度.请解决下 面的问题： 实数 理数 (1)阴影正方形的面积是多少？ (2)阴影正方形的边长是有理数吗？ 7.小明家新买了一张边长是1.3m的正方形桌 子，原有的边长是1m的两块台布都不适用 了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按下列方法（如 图)，将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小 明的姥姥算一算，这块大台布能盖住现在的新桌 子吗？（不考虑损耗） 囚一 ·23· 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.32的算术平方根是 () 10.小明家新买一套面积为128m2的房子，他打 A.±3 B.3 算用200块相同的正方形地砖铺地，每块地砖 C.√3 D.-3 的边长为多少？ 2.已知一个数的算术平方根是0.01，则这个数是 () A.0.1 B.0.01 C.0.001 D.0.0001 3.下列四个数中，负数是 ( A.|-2 B.-√2 C.(-√2)2 D.(-2) 4.已知2a-18+b-1=0,则分的算术平方根 是 () A.3 B.±3 C.-3 n号 5.若实数x,y满足x2-6x十9十√y-5=0,则 以x,y的值为两直角边的直角三角形的斜边 长是 () A.4 B.6 C.√34 D.√41 6.一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表 面积增加了36dm2,原来长方体的体积是 dm3. () A.108 B.81 C.432 D.648 7.当x= 时，√2x一1的值为1. 8.已知√9.31≈3.0512，√0.931≈0.9649，则 √93.1≈ 9比较大小号和受 3 ·24· 第2课时 1.下列说法正确的是 A.-4是16的平方根 B.0没有平方根 C.25的平方根是5 D.√/49=±7 2.如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个 数是 () A.1 B.-1 C.0 D.±1 3.若一个等腰直角三角形的斜边长为8√2cm,则 这个三角形的面积为 cm2. 4.有一运算程序如下： 输入x☑一+1一（卫一输出/ 若输出的值是25，则输入的值可以是 5.已知(m+n+3)(m+n-3)=16,则m+n的 值为 6.解方程： (1)4x2-16=0; (2)(x-1)2=0.25. 7.已知b与c满足√6十3+|c一2|=0，某正数的 平方根分别是a十3和2a一15. (1)求a,b,c的值. (2)求(a十b)2025(c-3)2026的值. 平方根 8.如图，将一个棱长为6dm的正方体容器装满 水，然后将水全部倒人一个长为12dm、宽是高 的2倍的长方体容器里，恰好装满.求长方体容 器的高。 ·25· 第3课时 1.下列说法正确的是 A.64的立方根是士4 B.一27没有立方根 C.立方根等于本身的数是0和1 D.-27=-3 2.已知一a=-2,则a的值为 A.8 B.±8 C.±4 D.4 3.已知x-2=x-2,则x2-x的值为() A.0或1 B.0或2 C.0或6 D.0或2或6 4.如图，在数轴上的两个点表示为实数a,b,化 简：√/(a-b)7-|a+b|+a3= 0 5.根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出 a= ,b= 开立方 8 2 -2 2024 m -m 6.已知-1285≈-10.87，/12850≈23.42， a≈1.087，/12.85≈b,则a= ,b= 7.每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这 时是一年秋季的中期，所以被称为中秋.自古 便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师 傅制作的正方体月饼礼盒的体积为216cm3, 而王师傅制作的正方体月饼礼盒的体积比李 师傅制作的小91cm3,求王师傅制作的正方体 月饼礼盒的表面积. ·26。 立方根 8.求下列各式中x的值. (1)(x-3)3=-64; (2)3(x一1)3+27=-54. 9.已知甲正方体纸盒的底面积为25cm,乙正方体 纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大387cm3, 求乙正方体纸盒的棱长. 第4课时 估算 1.估计√30的值在 8.已知一个数的两个平方根分别是a+3和 A.6与7之间 2a-15,1+b的立方根为-2，c是√1T的整数 B.5与6之间 部分 C.4与5之间 (1)求a,b,c的值， D.3与4之间 (2)求2a十b+c的平方根. 2.若a=√7，b=√5，c=2,则a,b,c的大小关系 为 () A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 3.已知a,b是两个连续整数，a<1十√7<b,则 a十b的值为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 4.如图，点P,Q在数轴上表示的实数分别 是一√3和1.3，则P,Q两点之间表示的无理数 9.《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中 可能是 所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形 0 成了极高的工艺水平和独特的工艺门类.现有 - 0 1.3 一张长28cm,宽21cm的长方形绣布，刺绣师 A.-√2 B.√2 傅想利用这张绣布裁出一张面积为375cm2的 C.3 D.-√5 完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请 5.兴华小学有一块面积为70m的正方形菜地供 说明理由.（π取3） 学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在 ( A.11~12m之间 B.9~10m之间 C.8~9m之间 D.7~8m之间 6.比较大小：⑧ 3+1 2 7.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角 形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分 别为a,6,c,记p=a十+c,那么其面积S= 2 √(p-a)(p一b)(p一c).如果某个三角形的 三边长分别为2,4,4，其面积S介于整数n和 n+1之间，那么n的值是 ·27·因为AB=AC,∠BAC=90°， 所以∠ACE=∠B=∠ACB=45°， 所以∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°， 所以CE2+CD2=ED2,所以BD2+CD2=DE2 第2课时验证勾股定理及其计算 1.D2.C3.A4.C5. 6.解：(1)因为∠A=∠B=∠CED=90°， 所以S梯形ABCD= 2a+b)a+b)=2a2+ab+26, 1 1 S梯形ABD=SAADE十SABE十S△cDE=2ab十2b+2c1 所以2a2+ab+ 2a6+ 1 2ab+2c2, 整理，得a2十b2=c2. (2)设AH=x. 因为AB=21,所以BH=AB-AH=21-x. 因为CH⊥AB, 所以△ACH和△BCH都是直角三角形. 在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH=AC2-AH, 在Rt△BCH中，由勾股定理，得CH=BC2一BH, 所以AC2一AH=BC2一BH, 所以102-x2=172-(21-x)2, 解得x=6,即AH=6, 所以CH2=AC2-AH2=102-62=64, 所以CH=8. 2 一定是直角三角形吗 1.D2.543.90° 4.解：(1)AB⊥BC.理由如下： 由题意，可知AB=160m,AC=200m,点C在点B的 东方120m处，即BC=120m. 因为AB2+BC2=1602+1202=2002=AC2, 所以△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， 所以AB⊥BC. (2)由题意，可知BC⊥CD,CD=50m. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC2+CD2 1202+502=16900, 所以BD=130m, 所以AB+BD=160+130=290(m) 而AC+CD=200+50=250(m). 因为290>250，所以AB+BD>AC+CD. 所以小亮跑的路线更短. 5.解：(1)CE⊥AB.理由如下： 因为CE2+BE2=2.42+1.82=9,BC2=9, 所以CE2+BE2=BC2, 所以△BCE是直角三角形，且∠BEC=90°， 所以CE⊥AB. (2)因为CE⊥AB, 所以5Ae=7AB,CE=7ABX2,4=3, 1 所以AB=2.5,所以AE=AB-BE=0.7, 所以AC2=AE2+CE2=0.72+2.42=6.25, 所以AC=2.5. 6.解：设AB=AC=a,则AD=a一3. 因为BC=5,CD=4,BD=3, 所以BD2+CD2=BC2, 所以∠BDC=90°，所以∠ADC=90° 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2, 所以。2=(a-3+,所以e-答， 所以AD=25 7 =6-3=6 ·50· 3勾股定理的应用举例 第1课时勾股定理的实际应用（一） 1.D2.A3.D4.240 5.解：(1)因为AC=15km,BC=20km,AB=25km, 所以AC2+BC2=152+202=252=AB2, 所以△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， 又因为CD⊥AB, 所以SA=弓AC·BC=2CD·AB. 所以cD=AC:BC_15X20-12(km). AB 25 故修建的公路CD的长是l2km (2)在Rt△BDC中，由勾股定理，得BD2=BC2-CD2= 202-122=256,所以BD=16km, 所以CD+BD=12+16=28(km), 所以一辆货车从C处经过D处到B处的路程是28km. 6.解：(1)因为AB⊥BC,所以∠B=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2=AB2+BC2=92+122=225,所以AC=15km 答：无人机飞行路径AC的长为15km. (2)因为AD2=172=289,CD2+AC2=82+152=289, 所以AD2=CD2+AC2, 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， 所以AC⊥CD. 第2课时勾股定理的实际应用（二） 1.C 2.解：因为AC⊥BC,AB=500m,AC=400m, 所以根据勾股定理，可得BC2=AB2-AC2=90000, 所以BC=300m, 所以该汽车的速度为 =30(m/s) 因为27<30，所以可疑汽车超速了， 3.解：树枝落地时不会砸到小轿车.理由如下： 因为∠C=90°，所以△ABC为直角三角形 在Rt△ABC中， 因为∠C=90°，AC=4.5m,AB=12-4.5=7.5(m), 所以BC2=AB2-AC2=7.52-4.52=36, 所以BC=6m. 因为CD=6.5m,所以CD>BC, 所以树枝落地时砸不到小轿车， 4.解：(1)村庄能听到宣传.理由如下： 因为村庄A到公路MN的距离为600m<1000m, 所以村庄能听到宣传。 (2)如图，过点A作AB⊥MN于点 B,假设当宣讲车行驶到O点时开 始影响村庄，行驶到Q点时结束对 M 村庄的影响，连接AO,AQ, 0 AO=AQ=1 000 m,AB=600 m, 所以B02=BQ2=10002一6002=640000， 所以BO=BQ=800m, 所以OQ=B0+BQ=800+800=1600(m), 所以影响村庄的时间为1600÷200=8(min), 所以村庄总共能听到8min的宣传. 第四章实数 1无理数 1.A2.C3.B4.B5.A 6.解：(1)设阴影正方形的边长为x.由勾股定理，得x2 12+22=5,所以阴影正方形的面积是5. (2)阴影正方形的边长不是有理数.因为任意一个整数或 分数的平方不可能是5，所以阴影正方形的边长不是有 理数. 7.解：设新台布的边长为am,则a2=12+12=2. 因为1.32=1.69<2，a>0,所以a>1.3, 所以这块大台布能盖住现在的新桌子 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.B2.D3.B4.A5.C6.B7.18.9.649 9解：因为号)=（停）=且>号 3 所以号所以-- 2 10.解：由题意，得每块地砖的面积为128÷200=0.64(m), 所以每块地砖的边长为√0.64=0.8(m). 答：每块地砖的边长为0.8m 第2课时平方根 1.A2.C3.324.4或-65.±5 6.解：(1)4x2-16=0,4x2=16,x2=4,x=士2，即x1=2, x2=-2. (2)(x-1)2=0.25,x-1=士0.5，即x1=1.5,x2=0.5. 7.解：(1)由题意，得b+3=0,c-2=0, 所以b=一3，c=2. 因为某正数的平方根是a十3和2a一15， 所以a+3十2a-15=0,解得a=4. (2)当a=4,b=一3，c=2时， (a+b)2025(c-3)2026=(4-3)225(2-3)2026=1. 8.解：设长方体容器的高为xdm,则宽为2xdm 依题意，得12X2x·x=63, 解得x=3(负值已舍). 故长方体容器的高为3dm, 第3课时立方根 1.D2.A3.D4.2b+a5.-8-2024 6.1.2852.342 7.解：由题意，得王师傅制作的正方体月饼礼盒的边长= 3/216-91=3/125=5(cm), 所以王师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为=5×5× 6=150(cm). 8.解：(1)因为(x-3)3=-64, 所以x一3=一4，所以x=一1. (2)3(x-1)3+27=-54, 整理，得(x一1)3=27， 开立方，得x-1=一3，解得x=一2. 9.解：因为甲正方体纸盒的底面积为25cm, 所以甲正方体纸盒的棱长为√2=5cm, 所以甲正方体纸盒的体积为53=125cm3 因为乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大 387cm°， 所以乙正方体纸盒的体积为125+387=512(cm3), 所以乙正方体纸盒的棱长为512=8cm 第4课时估算 1.B2.A3.C4.A5.C6.>7.3 8.解：(1)因为√<√1Π<√16，即3<√/Π<4， 所以√I1的整数部分c=3. 因为一个数的两个平方根分别是a+3和2a一15,1+b的 立方根是一2， 所以a+3+2a-15=0,1十b=(-2)3=-8, 解得a=4,b=一9. (2)由(1)可知a=4,b=一9，c=3, 所以2a+b十c=2×4十(-9)+3=8-9十3=2， 所以2a+b十c的平方根为士√2， 9.解：他不能裁出来.理由如下： 设完整圆形绣布的半径为rcm. 依题意，得πr2=375. 因为π取3，所以r2=125, 解得r=√125（负值已舍去）. 因为√/125>√/121=11，所以r>11, 所以2r>21,所以他不能裁出来. 3用计算器开方 1.C2.A3.D4.B5.C6.-4 7.(1)11(2)121(3)111(4)11111(5)11111111 (6)202(7)212 8.解：因为正方形的面积为30m2,四个小正方形的面积均是 2m,所以正方形的边长为√30m,小正方形的边长为 √2m,所以a=√30-2√2≈2.6(m). 4实数 第1课时实数的有关概念及分类 1.D2.C3.A4.B5.C6.C 7.解：正数集合：{0.1515515551…（每两个1之间5的个 数逐次加1)，一1,0.4，（一10），…}： 无理数集合：{0.1515515551…（每两个1之间5的个数 逐次加1D,一合…： 分数袋合：号引0，-5.6： 20 非负整数集合：{0，-1|，-（一10），…}. 8.解：(1)W3+2(W3-1)=√3+23-2=33-2. 255+后)-5×w5+5x后3+1=4 (3)8+3√2-√25-√2=2+3√2-5-√2=2√2-3. 9.解：(1)因为长方形ABCD的长为2，宽为1， 所以长方形的面积为2×1=2. 因为将长方形分割后拼成的正方形的面积不变， 所以正方形的面积为2，则正方形的边长为2， 如图所示 D中点C A 2B (2)正方形的边长为2，由勾股定理，得√+1严=√2，如 图所示， -10E2345 点E即为所求点的位置. 第2课时实数的运算与大小比较 1.B2.D3.D4.A5.B6.D 7.(1)>(2)> 8.解：(1)原式=3一(3一√2)一5 =3-3+√2-5 =√2-5. (2)原式=2-15-2 =-15. ·51·