2.1 轴对称及其性质&2.2 简单的轴对称图形&2.3 利用轴对称进行设计（随堂小练）-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

第2课时用“ASA”与“AAS”判定三角形全等 1.C2.C3.C4.B5.63 6.解：因为ABFC,所以∠A=∠ACF,∠ADE=∠F, 又因为点E是DF的中点，所以DE=FE, 所以△ADE≌△CFE(AAS), 所以AD=CF=8,所以BD=AB一AD=15-8=7. 7.解：(1)因为AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE, 所以∠B=∠D=∠ACE=90°， 所以∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE, 所以∠BAC=∠DCE. I∠B=∠D, 在△ABC和△CDE中，{AB=CD, ∠BAC=∠DCE, 所以△ABC≌△CDE(ASA). (2)BD=AB十DE.理由如下： 由(1)可知，△ABC2△CDE, 所以BC=DE,所以BD=CD十BC=AB十DE, 第3课时用“SAS”判定三角形全等 1.D2.B3.C4.755.90° 6.解：(1)在△AOD和△BOC中， (OA=OB, ∠AOD=∠BOC, OD=OC, 所以△AOD≌△BOC(SAS). (2)由(1)知△AOD2△BOC,所以AD=BC. 7.解：(1)因为DEBC,所以∠ABC=∠DEB. 在△ABC和△DEB中， AB=DE, ∠ABC=∠DEB, BC=EB, 所以△ABC≌△DEB(SAS),所以AC=DB. (2)由(1)知△ABC≌△DEB, 所以∠D=∠A=30°. 因为DEBC,所以∠FBC=∠D=30° 因为∠BED=40°，所以∠EBC=40°， 所以∠FBE=∠FBC+∠EBC=30°+40°=70°. 第4课时用适当的方法判定三角形全等 1.A2.C3.A4.35.90 6.解：作DE⊥AC,垂足为点E,如图， 则∠AED=∠CED=90° 因为∠DAE=∠DCE,DE=DE, 所以△AED≌△CED(AAS), 所以AD=CD. 在△ABD与△CBD中， AD=CD, ∠ADB=∠CDB,所以△ABD≌△CBD(SAS), BD-BD, 所以∠ABD=∠CBD,所以BD平分∠ABC (AC=AD, 7.解：在△ABC和△ABD中，BC=BD, AB=AB, 所以△ABC≌△ABD(SSS),所以∠CAB=∠DAB 在△AEC和△AED中， AC-AD. ∠CAE=∠DAE,所以△AEC≌△AED(SAS). AE-AE, 4利用三角形全等测距离 1.A 2.解：小明的做法是正确的.理由如下： 由题意，知∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD=20m. ·48· 又因为光沿直线传播，所以∠ACB=∠ECD. 在△ABC和△EDC中， I∠ABC=∠EDC, BC=DC, 所以△ABC≌△EDC(ASA), ∠ACB=∠ECD, 所以AB=ED=14m,所以小明的做法是正确的. 3.解：同意.理由如下： 因为CD⊥CB,AB⊥AM,DE⊥AM, 所以∠BAC=∠CED=∠BCD=90°， 所以∠ACB+∠ECD=∠ECD+∠EDC=90°， 所以∠ACB=∠EDC. 在△ABC和△ECD中， ∠BAC=∠CED=90°， ∠ACB=∠EDC, BC=CD, 所以△ABC≌△ECD(AAS), 所以AB=EC,即EC的长度即为AB的长度. 第二章 轴对称 1轴对称及其性质 1.A2.B3.C4.25.6 6.解：(1)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED= 4 cm,FC=1 cm, 所以BC=ED=4cm, 所以BF=BC-FC=4-1=3(cm). (2)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC= 76°，∠EAC=58°， 所以∠EAD=∠BAC=76°， 所以∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58°=18° 7.解：(1)由折叠的性质，可得∠FEM=∠BEM=60°. (2)由折叠的性质，可知∠FEM=∠MEB. 因为∠AEF=70°， 所以∠FEB=180°-70°=110°， 所以∠FEM=∠MEB-2∠FEB=号XI10=55 (3)由折叠的性质，可知∠FEM=∠MEB=2∠FEB, ∠FEN=∠NEA=Z∠AER, 所以∠FEM+∠FEN=∠FEB+号 ∠AEF 因为∠FEB+∠AEF=180°， 所以∠NEM=∠FEM+∠FEN=2 ∠FEB+ 7∠AEF=2(∠PEB+∠AEF)=号X180=90 2简单的轴对称图形 第1课时线段的垂直平分线及其性质 1.C2.A3.D4.B 5.解：(1)如图1所示，点0即为所求. B. 图1 (2)如图2所示，点P即为所求 B、 米 A 图2 (3)如图3所示，点Q即为所求 B 米 图3 6解：(1)因为DE是BC的垂直平分线， 所以BE=CE,∠BED=∠CED=90° 在△BED和△CED中， (BE=CE, ∠BED=∠CED DE=DE. 所以△BED≌△CED(SAS), 所以∠CBD=∠C=35. 因为∠ADB=180°-∠CDB, ∠C+∠CBD=180°-∠CDB, 所以∠ADB=∠C+∠CBD=70° 因为在△ABD中，∠A=90°， 所以∠DBA=90°-∠BDA=90°-70°=20° (2)因为DE是BC的垂直平分线，所以CD=BD. 因为△ABD的周长为30， 所以AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=30. 因为AC=18,所以AB=30一18=12. 第2课时角的平分线及其性质 1.B2.A3.C4.C5.16.5 7.解：如图，过点C分别作CG⊥AB于 点G,CH⊥AD于点H. 因为AC为∠BAD的平分线，CG⊥ AB,CH⊥AD, 所以CG=CH. 又因为AB=AD,AE=DF, 1 所以SAAB=S△AcD=之S四边形ACD,S△AC=SADF, 所以S四边形ABCF=S△ABC十S△ACF=S△CDF+S△ACF= 1 S△ACD=之S四边形ABD· 所以四边形AECF的面积为四边形ABCD面积的一半. 第3课时等腰（边）三角形的性质 1.B2.C3.A4.B5.10 6.解：(1)因为AB=AC,∠A=∠A,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD(SAS),所以CD=BE. (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB, 因为BC=BE,所以∠ACB=∠BEC, 所以∠A=∠CBE. 因为△ABE2△ACD,所以∠ABE=∠ACD=15°， 所以∠CBE=∠DCB=∠A, 所以3∠A+30°=180°，所以∠A=50° 7.解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=∠ABC=60°，BC=AB: 所以∠BAD=∠CBE=120°. 在△ABD和△BCE中， AD=BE, ∠BAD=∠CBE,所以△ABD2△BCE(SAS), AB=BC, 所以∠ABD=∠BCE. 第4课时等腰（边）三角形的判定及含 30°角的直角三角形的性质 1.C2.D3.C4.AC=BC(答案不唯一)5.96.5.5 7.解：(1)因为△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC, 所以AC=BC,CD=CE= AC=合BC,∠C=60, 所以△CDE是等边三角形 (2)因为△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC, 所以AE,BD是△ABC的角平分线， 所以∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°， 所以OA=OB,OB=2OE, 所以AO=2OE,而AO=12, 所以OE=6. 3利用轴对称进行设计 1.C 2.解：如图所示 3.解：根据定义，可设计如下图形.（答案不唯一） 4.解：如图所示.（答案不唯一》 5.解：(1)该图是轴对称图形，对称轴如图所示. (2)共有4种方法，如图所示。 6.解：答案不唯一，如图所示 △ 机器人 文明礼貌 两盏电灯 第三章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 1.D2.B3.B4.A5.1 6.解：因为AD⊥BC于点D,所以∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2=AB2-BD2=102-62=64,所以AD=8. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 DC2=AC2-AD2=172-82=225,所以DC=15, 所以BC=BD+CD=6+15=21 7.解：BD2十CD2=DE2.理由如下： 因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE. 又因为AB=AC,AD=AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以BD=CE,∠ACE=∠B, ·49·第二章 1轴对称 1.《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大、远近 ! 皆无害焉，故日美.”这是古人对于对称美的一种 定义.这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致. 下列航空公司的标志是轴对称图形的是( 之E听丹 2.甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？( ○ 平面镜 人 第2题图 第3题图 3.如图，P是∠ACB外一点，D,E分别是∠ACB 两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好 落在线段ED上，点P关于CB的对称点P2 恰好落在ED的延长线上.若PE=3,PD=4, ED=5,则线段PP2的长为 () A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再 沿等腰三角形底边上的高对折.用剪刀在折好 的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图 案有 条对称轴， 第4题图 第5题图 5.如图，六边形ABCDEF是关于AD所在直线 对称的轴对称图形，P,Q为线段AD上任意两 点，若六边形ABCDEF的面积为12cm,则图 中阴影部分的面积为 cm2. ·12. 轴对称 及其性质 6.如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称， BC与DE的交点F在直线MN上.若ED= 4cm,FC=1cm,∠BAC=76°，∠EAC=58°. (1)求出BF的长度. (2)求∠CAD的度数. 7.如图1，点E,F分别在长方形纸片ABCD的边 AB,CD上，连接EF.将∠BEF对折，点B落 在直线EF上的点B'处，折痕为EM. D C D C M B B 图1 图2 (1)若∠BEM=60°，求∠FEM的大小. (2)若∠AEF=70°，求∠FEM的大小. (3)如图2，将∠AEF对折，点A落在直线EF 上的点A'处，得到折痕EN.求∠NEM的度数. 2简单的轴对称图形 第1课时 线段的垂直平分线及其性质 1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在5.如图，已知直线1，A,B,C三点，A,B两点 MN外，且与点A在MN的同一侧，BC交 在直线1的异侧，请按下列要求作图.（尺规作 MN于点P,则 ( 图，保留作图痕迹，不写作法) (1)在直线1上求作一点O,使到A,B两点距 离之和最短 (2)在直线L上求作一点P,使PA=PB, B (3)求作一点Q,使点Q到A,B,C三点的距离 A.BC>PC+AP B.BC<PC+AP 相等. C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP 2.线段垂直平分线的尺规作图，其依据是构造两 个全等三角形.如图，由作图可知，判定所构造 6 的两个三角形全等的依据是 () C A 6.如图，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分 个 线DE交BC于点E,交AC于点D. A.SSS B.ASA (1)若∠C=35°，求∠DBA的度数. C.SAS D.AAS (2)若△ABD的周长为30，AC=18,求AB 3.如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别 的长 垂直平分AB和BC,则以下结论不正确的是 A.AD=CD B.∠B=∠A+∠C C.∠EDF=∠ADE+∠CDF D.BE=BF 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC边 于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N,连 接AN,AE.若∠BAC=70°，则∠EAN的度数 为 () A.35° B.409 C.50° D.55° ·13· 第2课时角的平分线及其性质 1.如图，OP平分∠AOB,则下列图形能说明“角 6.如图，BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,点E 的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是 为射线BA上一动点，若OD=5,则OE的最小 ( 值为 B 7.如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平 分线，AB=AD,点E,F分别在AB,AD上， 且AE=DF,连接CE,CF.请说明：四边形 AECF的面积为四边形ABCD面积的一半. B D 2.如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是 B A.FH>HG B.FH=HG C.FH<HG D.PE<PG 3.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是 20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个 三角形，则S△AB0:S△BCo:S△cA0= () 0 C A A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 4.如图，在△ABC中，AB=3BC,BD平分 ∠ABC交AC于点D,若△BCD的面积为4， 则△ABC的面积是 A.8 B.12 C.16 D.20 B 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥ AB.若AC=2,DE=1,则S△AcD= 。14· 第3课时 等腰 1.若等腰三角形底边上的中线等于底边的一半， 则该等腰三角形底角为 () A.30 B.459 C.60 D.无法确定 2.某地所有行政村实现了5G网络覆盖，如图，为 了让安装5G设备的电线杆垂直于地面，工程 人员从电线杆DE上一点A往地面拉两条长 度相等的固定绳AB与AC,当BE=CE,且点 B,E,C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.这 种操作方法的依据是 () A.等边对等角 B.两点之间线段最短 C.等腰三角形三线合一的性质 D.垂线段最短 D 4 第2题图 第3题图 3.如图，直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在 直线b上，∠2=39°，则∠1的度数为() A.81° B.71° C.61 D.51° 4.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆 心，大于2AB的长为半径作弧，两弧相交于 M,N两点，连接MN,交AB于点H,以点H 为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C, 以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于 点D,连接CD,若∠A=26°，则∠BDC= A.64° B.58° C.52 D.60° 米M B D'H D 米N B 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点 D,点E在AB上，CB=CE,CD=5,则BE= 边)三角形的性质 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、点E分别在 边AB,AC上，且满足AD=AE,连接CD,BE. (1)试说明：CD=BE. (2)若BC=BE,∠ABE=15°，求∠A的度数. B 7.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别是 CA,AB延长线上的点，且AD=BE.试说明： ∠ABD=∠BCE. ·15· 第4课时等腰（边）三角形的判方 1.由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且 AB=BC的是 ( ② —D ③ 4 A.①②B.②③C.①③D.②④ 2.如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面 垂直(OC⊥AC于点C),跷跷板的一头A着地 时∠OAC=30°，点A,C,B在同一水平线上， 若OC=1m,则OA的长度为 () A B 、0 A C B' A.0.5m B.1m C.1.5m D.2 m 3.如图，在等边三角形ABC中，BC=8,点D是 AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F,过点 F作EF⊥BC于点E,则BE的长为() B E A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在△ABC中，AB=AC.若添加一个条件 可判定△ABC为等边三角形，则添加的条件可 以是 B 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A,B为 圆心，大于2AB的长为半径画孤，连接两孤交 点，分别交AB,BC于D,E两点，若∠B=30°， BE=6,则BC的长度是 ·16· 及含30°角的直角三角形的性质 D B 米 060°/ —B MN 第5题图 第6题图 6.如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA 上，OP=12,点M,N在边OB上，PM=PN, 若MN=1,则OM的长为 7.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥ BC,垂足分别为D,E,AE,BD相交于点O,连 接DE. (1)试说明：△CDE是等边三角形. (2)若AO=12,求OE的长. 3利用轴对称进行设计 1.如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形， 5.如图，这是由五个大小相同的小正方形拼凑而 其中有3个小正方形已经被涂上阴影，在剩余 成的， 的6个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使 图中涂上阴影的四个小正方形组成轴对称图 形，那么符合条件的小正方形共有 ( (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对 称轴. (2)若移动一个小正方形重新拼凑成一个新的 A.2个 B.3个 轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？ C.4个 D.5个 请你画出图形和对称轴. 2.下面每个图形都是由4个同样大的正方形组成 的，请在每个图形上添加一个同样大的正方 形，使其成为轴对称图形. 3.利用如图设计出一个轴对称图案 6.用两个圆、两个正三角形和两条线段设计三个 轴对称图案，并说明你所设计图案表达的含意. 4.请用两块大小一样的三角尺（两个锐角分别是 60°，30°)拼出不同的轴对称图形，至少画出 4种拼法. ·17·