精品解析：山东省烟台市招远市2025-2026学年上学期中考试九年级数学试题

2025－2026学年度第一学期期中考试 初四数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 3. 下列说法中，正确的是（） A. 在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B. 若为锐角，，则 C. D. 三角形的三边长为，则 4. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 5. 如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，如下表，则代数式的值等于（） x … －3 －2 －1 0 … y … －9 －3 －1 －3 … A. 1 B. C. D. 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共6个小题，每个3分，共18分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 12. 如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为______米． 13. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 14. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴于点A，，反比例函数的图象分别过边的中点D，顶点C，若，，则k的值为______． 16. 如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为____． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数解析式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在轴负半轴上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）． 19. 如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． （1）请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； （2）在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 20. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度． （2）求出孔子雕像的高度． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）则 ， ； （2）若时，则的取值范围是 ； （3）过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 22. 【问题提出】已知，都是锐角，，，求的度数． 【问题解决】 （1）如图，小明同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点都在格点上） 【策略迁移】 （2）已知都是锐角，，，则的度数为 ． （要求；在备用图1中画出求解过程的图形，并直接写出答案） （3）已知都是锐角，，，，求的值． （要求：1．在备用图2中画出求解过程的图形，2．简明写出过程或直接写出答案） 23. “秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． （1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ （2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 24. （1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 25. 已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标； （2）连接，点是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为 ； ②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解） （3）点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期中考试 初四数学试题 说明：1．考试时间120分钟，满分120分． 2．考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【详解】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误； B、抛物线的对称轴是，本选项错误； C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确； D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误． 故选：C． 3. 下列说法中，正确的是（） A. 在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B. 若为锐角，，则 C. D. 三角形的三边长为，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角函数的定义和性质逐项判断正误． 【详解】解：A∶在中，锐角A的两边都扩大3倍，但是邻边与斜边的比值，∴比值不变，故A错误． B∶， 设对边，邻边， 则斜边， ∴，故B正确． C∶，两者不相等，C错误． D∶不一定是直角三角形，不一定等于，D错误． 故选： 4. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，即． 将代入代数式，得：． 故选：D 5. 如图，某人从山脚下的点走了到达山顶的点，已知点到山脚的垂直高度为．若用课本上的科学计算器求坡角的度数，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及计算器．先求出，再求出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴，故A、B选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 故选：C 6. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标为，即可得到所在坐标系的原点． 【详解】解：∵， ∴对称轴是，与轴交点坐标为， ∴点是二次函数所在坐标系的原点； 故选：D． 7. 如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．由矩形的性质得，，由旋转得，，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 将矩形绕点逆时针旋转至矩形，若经过点， ，， ， ， ， 故选：A． 8. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，如下表，则代数式的值等于（） x … －3 －2 －1 0 … y … －9 －3 －1 －3 … A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，顶点坐标，掌握相关知识是解决问题的关键．由表格数据可知，当和时，y值均为，根据二次函数的对称性，对称轴为，顶点坐标为，代入顶点公式关系求解． 【详解】解：∵时，时， ∴对称轴为， ∴顶点横坐标为， 由表格知代入时， ∴顶点纵坐标， 即 ∴． 故选：A． 9. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为可得，由值几何意义可知，，利用相似三角形的性质即可得到结果． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， ， ， ， ∵， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的其中一个交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；其中正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由时函数取最大值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，②正确． ∴，①正确． ∵时， ∴时，，③不正确． 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，④正确． 故选：C． 二．填空题（本大题共6个小题，每个3分，共18分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ，， 解得：， 故答案为：1． 12. 如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，米， ， （米， 故答案为：． 13. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 【答案】－3＜x＜1 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】考点：二次函数的图象． 14. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 设，则， ， 在中，， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴于点A，，反比例函数的图象分别过边的中点D，顶点C，若，，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，三角形的面积，正确表示出线段的长度是解题的关键．设，由反比例函数的图象过顶点C，可知，由题意，，，利用三角形面积公式，根据即可求得． 【详解】解：设， ∵反比例函数的图象过顶点C， ∴， ∵的边轴于点A，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 16. 如图所示，在矩形中，，，将沿射线平移得，连接，，当是直角三角形时，平移的距离的长度为____． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类思想，当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N，结合三角形相似，三角函数解答即可． 【详解】解：①如图1所示， 当，延长交于M，过点F作，交的延长线于N． ∴． ∵， ∴． 设， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴； ②如图2所示， ，由邻补角定义可得． 在中，． 综上所述，BE的长度是或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，余弦函数的应用，熟练掌握性质，函数的应用是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数，再进行加减计算； （2）先计算特殊角的三角函数值，然后再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． （1）求反比例函数解析式； （2）请用无刻度直尺和圆规，在轴负半轴上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）． 【答案】（1） （2） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，尺规作图： （1）把代入，即可求解； （2）过点B作交x轴于点D，即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 理由：由作法得：， ∵轴，即， ∴，平行x轴， ∴，， ∴． 19. 如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧． （1）请直接写出抛物线C的对称轴 ，并写出a的值 ； （2）在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为点，抛物线．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短距离，并直接写出点的坐标． 【答案】（1），8 （2）线段的长度为， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令，转化为方程求出即可； （2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论． 【小问1详解】 解：原解析式变形为顶点式得， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为，此时取得最大值5． 把代入得 ，（舍去）． ； 故答案为：，8； 【小问2详解】 解：变形为顶点式得，，顶点坐标为， 根据平移规律可知，抛物线向左平移了3个单位，向下平移了5个单位． 点坐标为， 的坐标为，即， 线段的长度为， 线段的长度为． 20. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度． （2）求出孔子雕像的高度． 【答案】（1）台阶的高度为 （2）孔子雕像的高度为 【解析】 【分析】（1）作于，结合可得答案； （2）设，则，表示，，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：作于， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴台阶的高度为． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴孔子雕像的高度为． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）则 ， ； （2）若时，则的取值范围是 ； （3）过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图形和性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出； （2）根据图象直接得出结论； （3）先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， 当或时，， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：轴，， ， ， 点到的距离， 作轴，轴， 由勾股定理得：， ， ， ． 22. 【问题提出】已知，都是锐角，，，求的度数． 【问题解决】 （1）如图，小明同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点都在格点上） 【策略迁移】 （2）已知都是锐角，，，则的度数为 ． （要求；在备用图1中画出求解过程的图形，并直接写出答案） （3）已知都是锐角，，，，求的值． （要求：1．在备用图2中画出求解过程的图形，2．简明写出过程或直接写出答案） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解直角三角形，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是学会数形结合的思想解决问题． （1）连接，利用勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质求解； （2）构造等腰直角三角形可得结论； （3）构造直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接， ，， ， ， ， ； （2）如图，连接， 由题意，，， ， ∵， ∴， 是等腰直角三角形，且， ， 故答案为：； （3）如图，，， ， 由勾股定理得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 在中，， ， ． 23. “秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． （1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ （2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件 （2）（） （3）²，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元一次方程． （1）根据题意设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到得取值范围； （3）结合（2）中类腊肠降价元与每天的销售量件，得到类腊肠的利润，整理得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元， 根据题意得， 解得， 则每件类腊肠的售价（元， 答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件； 【小问2详解】 解：由题意得， 类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价， ， 答：； 【小问3详解】 解： ， ， 当时，有最大值， 答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 24. （1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 【答案】（1）③；（2）、、；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、三角形内角和定理以及三角形的边角关系等知识点．解题关键在于对于解直角三角形，要清楚不同条件下能否唯一确定三角形的其他元素．解三角形时，通过作高将三角形转化为直角三角形，利用三角函数建立边与角的关系．确定三角形解的个数时，根据直角三角形的边角关系和图形特点来分析边的取值范围． （1）判断解直角三角形的条件：根据直角三角形的性质和三角函数的定义，分析每个条件能否求出其他未知元素． （2）解三角形：通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出相关边的长度，再根据三角形内角和定理求出第三个角． （3）确定的取值范围：作高构造直角三角形，求出高的长度，再结合三角形解的个数与边的关系，确定的取值范围． 【详解】解：（1）判断解直角三角形的条件： ①已知两条边：根据勾股定理可求出第三边，再利用三角函数可求出两个锐角，所以能解直角三角形． ②已知一条边和一个锐角：利用三角函数可求出其他边，再根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角，所以能解直角三角形． ③已知两个角：只知道三角形的三个角，没有边的信息，无法确定三角形的大小，所以不能解直角三角形． 故答案为：③． （2） 如图，过点作于点 在中，,设，则，． 在中，,设，则． ∴ 即 ∴，，, 在中，由勾股定理可知 （3） 如图，过点作于点 在中，, ∴ 由勾股定理可知 ∴当时，无法构成三角形，故舍去； 当时，是直角三角形有一解； 当时，以为圆心，为半径画弧与有两个交点，此时有两解． 当时，有一解； 综上所述的取值范围是． 25. 已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．点向右平移4个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点E的坐标； （2）连接，点是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，点M的坐标为 ； ②点N是射线上一动点，且满足．在第四象限内过点C作射线，在射线上取一点G，使．连接．求的最小值；（请在备用图中画出草图再求解） （3）点P在抛物线的对称轴上，若，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而，证得，得到，进而有，根据勾股定理求出，即可解答； （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移4个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． 【小问2详解】 解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得：，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据平移可得：轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、N、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为， ∵ ∴， ∵， ∴在中，， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $