精品解析：北京市海淀区北京交通大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年北京交大附中九年级（上） 12月月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A. B. C. D. 4. 如图，圆O的直径，是圆O的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 6. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 7. 今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 8. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 11. 如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为___________． 12. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 13. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为______cm． 14. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 15. 有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上任意一点，点是第一象限角平分线上一点（不含原点），，以为一边作正，则 （1）外接圆的半径是___________． （2）点到原点距离的取值范围是___________． 三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28每题7分） 17. 解方程：． 18. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 19. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 20. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求⊙O的半径． 21. 已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … （1）求二次函数解析式，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）根据图象写出当时，的取值范围为__________； （3）根据图象写出当时，的取值范围为__________． 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 23. 关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，则的值______． 24. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，如果，求的长． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； （2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 26. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）当时，若，求的最大值； （3）对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接．作的平分线交于点，交直线于点，连接． （1）如图1，当点在正方形的内部时，用等式表示线段之间的数量关系___________． （2）当点在正方形的外部时，在图2中依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知点和点，线段和线段外的一点，给出如下定义：若时，则称点为线段的限角点，且当时，称点为线段的最佳限角点． （1）①如图，在点中，线段的限角点是___________； ②若点在轴负半轴上，写出满足条件的点的纵坐标的范围___________； （2）在直线上存在线段的限角点，求的取值范围； （3）在直线上存在线段的最佳限角点，直接写出的取值范围___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京交大附中九年级（上） 12月月考数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 2. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 3. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在白砖上的概率是． 故选：B． 4. 如图，圆O的直径，是圆O的弦，，垂足为M，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于的直径，则的半径为，又已知，则可以求出，，连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】解：连接， ∵的直径， ∴的半径为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 5. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象及性质．通过比较原抛物线的顶点坐标与平移后图象的顶点坐标，确定平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，平移后图象的顶点为， ∴需向上平移个单位． 故选：A． 6. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， 分别与相切于点C，D， ∴， ， ∴， 的长， 故选：B 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 7. 今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（ ） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设该群有人，每人收个红包，总收红包数为，解方程，求正整数解即可． 【详解】解：设该群有人，每人收个红包，列出方程为： 即 解得或（舍去） 因此，该群一共有人， 故选：C． 8. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数，根据关于原点对称的点的坐标特征，原点的对称点的横纵坐标均互为相反数，由此建立方程求解a和b的值，进而计算的值即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 11. 如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当点D在优弧上时，当点D在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，即可得出答案． 【详解】解： 分两种情况： 当点D在优弧上时，根据圆内接四边形的性质，可知， 当点D在劣弧上时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，正确理解题意是解题的关键． 12. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 2 … y … m 0 c … 关于的方程的解为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称性，由点和点纵坐标相同，求得对称轴，再利用对称轴求点的对称点，从而得到方程的解． 【详解】解：由二次函数可知，当时，，故点在函数图象上． 由表可知，当时，，故点也在函数图象上． 点和点纵坐标相同， ∴函数图象的对称轴为直线． ∵点在函数图象上，其关于对称轴的对称点为， ∴当时，． 因此方程的解为或． 故答案为：，． 13. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为______cm． 【答案】7.5 【解析】 【分析】首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是(12﹣x) cm，MF＝6 cm，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可． 【详解】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN＝CD＝12 cm 设OF＝x cm，则ON＝OF， ∴OM＝MN﹣ON＝ (12﹣x) cm，MF＝6 cm， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2， 即：（12﹣x）2+62＝x2， 解得：x＝7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形． 14. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_________米. 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1) 设函数解析式为y=ax2+bx+c 把A. B. C三点分别代入得出c=2.5 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解得a=2，b=−4，c=2.5. ∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5. ∵2>0 ∴当x=1时,ymin=0.5米． 15. 有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，连接、；根据扇形性质，得，结合圆周角性质，得；根据直径对应圆周角为直角的性质计算，得；通过三角函数计算，得；根据弧长公式，计算得，从而完成求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点，连接、 ， ∵在扇形中，， ∴， ∵为直径， ∴ ， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆、直角三角形两锐角互余、扇形、圆锥、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、三角函数、弧长公式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上任意一点，点是第一象限角平分线上一点（不含原点），，以为一边作正，则 （1）外接圆的半径是___________． （2）点到原点距离的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理，线段垂直平分线的判定，一点与圆上一点距离的最值等知识． （1）设外接圆圆心为P，连接，则，由圆周角定理得， 由勾股定理即可求得外接圆的半径； （2）连接，交于H，则垂直平分，由勾股定理求得，由直角三角形的性质得，从而，由，当O、P、C三点共线时，最大，类似地可求得的最小值． 【详解】解：（1）如图，设外接圆圆心为P，连接， 则， 由圆周角定理得， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图，连接，交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 由勾股定理求得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当O、P、C三点共线时，最大， 由（1）知， ∴最大值为； 当点C在边的左侧时，， 当O、P、C三点共线时，最小， 此时， ∴最小值为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28每题7分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 18. 如图，在等腰直角中，，D为边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转到，连接． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵绕点C逆时针旋转到， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，面积相等． （1）通过证明，即可求证； （2）先求出，在根据勾股定理求出，由全等的性质得出，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，都是整数，请直接写出符合条件的整数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，然后进行求解即可； （2）根据（1）中得出的的取值范围，得出整数的值为，分别求出方程的解，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 是整数， ∴整数的值为， 当时，方程为， 解得：，符合题意． 当时，，此时方程解不为整数． 当时，方程为，此时方程解不为整数． 当时，方程为， 解得：，符合题意． 综上所述，的值为2或5． 20. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵与都是弧所对圆周角， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案； （2）连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等． 21. 已知二次函数部分自变量与函数值的对应值如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … （1）求二次函数解析式，并在平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）根据图象写出当时，的取值范围为__________； （3）根据图象写出当时，的取值范围为__________． 【答案】（1）， 二次函数的图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据函数解析式画函数图象，根据函数自变量求函数取值范围，掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解函数解析式，根据函数解析式，用描点法即可求解； （2）求出函数图象与轴的交点是，，根据函数图象解答即可； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，；当时，；当时，， ∴，解方程得， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 当时，，解得， ∴函数图象与轴的交点是，， 根据图象写出当时，的取值范围为； 故答案为： 【小问3详解】 解：当时，根据图象可知， 当时，；当当时，；当时，． ∴当时，． 故答案为： 22. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（：泥塑、：机器人编程、：航空航天体验），甲和乙两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）甲同学选择项目的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求甲和乙选择不同体验项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图或列表表示出所有等可能的结果数，以及甲和乙选择不同体验项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：甲同学从、、三个项目中随机选择一个， 甲选择项目的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中甲和乙选择不同体验项目的结果有种， 甲和乙选择不同体验项目的概率为． 23. 关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： （1）表格中t的值为______； （2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； （3）记的两个变形为和，则的值______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）把展开得到，据此得到，解方程即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由（2）的结论可得：，，从而得到，代入进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵是变形得到的， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）的结论可得：，， ， ， ． 故答案为：． 24. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接交于，如果，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， 是的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ∴垂直平分， ，， ， ， ， 半径于点， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径对的圆周角是直角及平行线的性质得，由等腰三角形的性质得垂直平分，从而可证明，得，即可证明结论； （2）由切线的性质及互余关系得，结合已知得，由此求得，由直角三角形的性质求得圆的半径，进而求得，再由直角三角形的性质即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和都是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，涉及较多的知识，灵活运用这些知识是关键． 25. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x/m 3 h 4 4.5 竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25 根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ； （2）在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 26. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． （1）求点的坐标（用含的式子表示）； （2）当时，若，求的最大值； （3）对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2）的最大值 （3）或 【解析】 【分析】（1）令即可求解； （2）令，求得A、B的坐标，即可求得的长，由则可求得a的值，从而求得二次函数解析式，再由求得关于t的函数式，即可求得其最大值； （3）由求得关于t的函数式，分两种情况考虑，利用函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：对于，令，得， ∴； 【小问2详解】 解：令， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴ 令，整理得：， ∵M、N不重合， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，其中， 对于一次函数，且， 当时，函数取得最大值17，从而取得最大值， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：令， 整理得：， 由题意知，方程必有两个不相等的实数根，设这两个实数根分别为， ∴， ∴，其中， ∵M、N不重合， ∴， 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 综上，a的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一次函数的性质，解不等式组等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是关键． 27. 已知正方形，将线段绕点旋转得到线段，连接．作的平分线交于点，交直线于点，连接． （1）如图1，当点在正方形的内部时，用等式表示线段之间的数量关系___________． （2）当点在正方形的外部时，在图2中依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 补全的图形如下： 线段，，之间的数量关系为：； 证明：如图，过点B作于H， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点B作交的延长线于点M，由旋转的性质及角平分线的意义证明，得，再由旋转及等腰三角形的性质可得，从而证明，得，由勾股定理即可得三线段，，的关系； （2）补全图形；过点B作于H，由正方形的性质、旋转的性质及等腰三角形的性质可得；再证明，得，，从而得，由勾股定理得，进而有． 【小问1详解】 解：如图，过点B作交的延长线于点M， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是四边形与三角形的综合，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，熟练运用这些知识是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知点和点，线段和线段外的一点，给出如下定义：若时，则称点为线段的限角点，且当时，称点为线段的最佳限角点． （1）①如图，在点中，线段的限角点是___________； ②若点在轴负半轴上，写出满足条件的点的纵坐标的范围___________； （2）在直线上存在线段的限角点，求的取值范围； （3）在直线上存在线段的最佳限角点，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①描出三个点，分别构造等腰直角三角形，利用三角形外角的性质，根据线段的限角点含义即可判断； ②确定出点P的轨迹，过H作x轴的垂线交于点M、N，则，，设，分别交y轴负半轴于点F、G，设，其中a、b均为负，根据，由勾股定理建立方程求得a与b的值，则点P的纵坐标介于a与b之间，从而求解； （2）当直线与相切于点Q，设，根据切线的性质得到关于x的一元二次方程，根据判别式为0可求得m的值；同理当直线与相切于点R时，也可求得m的值，从而可确定m的范围； （3）直线与阴影部分的公共点均是线段的最佳限角点，因此当直线与线段有公共点时满足条件；确定点S、T的坐标，把S、M、N、T四点坐标代入中即可求得n的值，从而确定n的范围． 【小问1详解】 解：①∵， 如图，由题意得，且，在上取，连接， 则是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴点不是线段的限角点； ∵三点的横坐标相同， ∴这三点在垂直于x轴的直线上，且， 分别作等腰直角三角形，其中， 在中，， ∴点不是线段的限角点； 在中，，且， 即， ∴点是线段的限角点； 故答案为：； ②如图，阴影部分（包括边界）任意一点均满足点P是线段的限角点；其中小圆的半径为，圆心， 过H作x轴的垂线交于点M、N，则，， 两段大弧所在圆的圆心分别为M、N，半径为，且， 设，分别交y轴负半轴于点F、G，设，其中a、b均为负， ∴， ∴，， 解得：或， ∵a、b均为负， ∴， 由题意知，点P在y轴负半轴上， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当直线与相切于点Q， 设， ∵，， ∴， 整理得：， 由题意知，上述方程有两个相等的实数解， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当直线与相切于点R时，设， ∵，， ∴， 整理得：， 由题意知，上述方程有两个相等的实数解， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当时，在直线上存在线段的限角点， 【小问3详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线与阴影部分的公共点到的距离都相等， 即直线与阴影部分的公共点均是线段的最佳限角点， 因此当直线与线段有公共点时满足条件； ∵， ∴，， ∵，， 把S、M的坐标分别代入中， 得：，， 解得：，， 当时，满足条件； 把T、N的坐标分别代入中， 得，， 解得：，， 当时满足条件； 综上，n的取值范围为：或； 故答案为：或． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，一次函数，直线与圆相切的性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，涉及到的知识点多，确定点P的范围、数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $