精品解析：广东省普宁市华侨中学2025-2026学年高二上学期第三次考试数学试题

2025-2026学年普宁市华侨中学第三次考试卷高二数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 2. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得，即可求得等差数列的公差. 【详解】在等差数列中，已知，， 则 ，即， 故 ， 故选：D 3. 已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可得方程，解得的值，即可得解. 【详解】因为双曲线（，）的上焦点为， 所以，渐近线方程为，则， 因为，所以，解得，即，可知， 则该双曲线实半轴长为 故选：B. 4. 对于空间任意两个非零向量，，“”是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分和必要条件的定义法，结合向量的数量积公式，进行推导即可得解. 【详解】根据向量的夹角范围，若，可以为钝角也可能为角， 故推不出为钝角， 若为钝角，则利用向量数量积公式可得， 故为钝角能推出， 所以“”是“为钝角”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，若与平行，则（ ）． A. 2 B. 1 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，可得出，利用椭圆定义求出，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】由题意可得，则， 所以，由椭圆定义可得， 由余弦定理可得. 故选：A. 7. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可. 【详解】由题可知：，焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为，如图， 所以,即， 又或 则或， 则. 故选：C 8. 已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】设直线，，， 由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将代入选项中的通项公式，看得到的数列是否与已知数列一致即可. 【详解】对于，符合题意，故A正确； 对于，符合题意，故B正确； 对于，不符合题意，故C错误； 对于，符合题意，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知直线，圆，则下列说法错误的有（ ） A. 时，圆关于直线l对称 B. 时，直线l与圆有两个交点 C. 存在，使得直线l与圆没有交点 D. 若直线l被圆截得的弦长为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，根据选项内容逐一计算判断. 【详解】圆，即的圆心，半径， 对于A，当时，直线，点在直线上， 故直线经过圆的圆心，所以圆C关于直线l对称，A正确； 对于B，当时，直线，圆心到直线的距离为， 因此直线l与圆C相切，直线l与圆只有一个公共点，B错误； 对于C，直线过定点，而，即点在圆上， 对任意实数，直线l与圆都有交点，C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为，而圆心到直线的距离为， 则，化简得，解得，D正确. 故选：BC 11. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公共弦所在的直线方程的斜率等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断两圆相交；再将两圆方程相减，整理得公共弦直线方程，即可求得其斜率. 【详解】由题意圆和圆的标准方程分别为和， 两圆的圆心距为，且，所以两圆相交. 因此公共弦所在直线方程为， 整理得，即，所以其斜率为. 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量法求点到平面的距离即得. 【详解】由题， 点到平面的距离. 故答案为： 14. 已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，垂直，其中，，为的内角． （1）求的大小； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用垂直关系的坐标表示，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，结合基本不等式，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由，垂直，得， 即， 整理得， 在中，由正弦定理得，由余弦定理得， 所以的大小为. 【小问2详解】 由（1）知，在中，，则， 由，得， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以的面积的最大值是4. 16. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. 【小问2详解】 该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 17. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆心且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. 【小问1详解】 由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 18. 已知四棱锥，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：由平面，平面，故， 又，，、平面， 故平面，由，则平面， 又平面，故平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）可建立适当空间直角坐标系，再求出平面与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面，故， 故、、两两垂直， 故可以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设， 则、、、、， 则、、， 设平面与平面法向量分别为、， 则有，， 取，，则、，，， 即、， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，已知椭圆的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中， ①证明：直线过定点，并求出定点坐标； ②求面积的最大值. 【答案】（1）； （2） ①证明：由（1）得，， 直线，的方程分别为，， 由，得， ，可得， ， 由，得， ，可得， ， ， 直线的方程为：， 即， 可得直线过定点. ②. 【解析】 【分析】（1）由椭圆性质求得，从而可得椭圆方程； （2）①写出直线，方程，与椭圆方程联立求出，的坐标，再求得直线方程后，由方程判断出定点；②设，，设的方程为：，代入椭圆方程可得韦达定理，然后利用点坐标求得，利用函数性质得最大值. 【小问1详解】 椭圆的长轴长为4， ，， 又椭圆的离心率为， ，， ， 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②设的方程为：， 由，得， 设，，则，， ， 令，， 由，且函数在递增， 时， 取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年普宁市华侨中学第三次考试卷高二数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知双曲线（，）的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实半轴长为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 对于空间任意两个非零向量，，“”是“为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，若与平行，则（ ）． A. 2 B. 1 C. 6 D. 3 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足.若椭圆的离心率为，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 数列的通项公式可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，圆，则下列说法错误的有（ ） A. 时，圆关于直线l对称 B. 时，直线l与圆有两个交点 C. 存在，使得直线l与圆没有交点 D. 若直线l被圆截得的弦长为，则 11. 已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 若，则的面积为 C. 椭圆上存在4个点，使得 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公共弦所在的直线方程的斜率等于________． 13. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是___________. 14. 已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，垂直，其中，，为的内角． （1）求的大小； （2）若，求的面积的最大值． 16. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 17. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 18. 已知四棱锥，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，已知椭圆的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆的离心率为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中， ①证明：直线过定点，并求出定点坐标； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $