2025-2026学年人教版数学八年级上册期末综合测试题（3）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级上册数学 期末测试题（3） 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷Ⅰ（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分 ）   1.（    ） A. B. C. D. 2.下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（   ） A. B. C. D. 3.若点，与点关于轴对称，则（      ） A. B. C. D. 4.如图，，分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）． A.的对边 B.是的中线 C. D.是的中线  5.若方程那么、的值 A. B. C. D. 6.若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 7.已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.只有甲正确 D.只有乙正确 8.等腰中，，是的中点，交延长线于，交的延长线于，若，则的面积为（    ） A. B. C. D. 9.有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 10.如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 卷Ⅱ（选择题） 二、填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为纳米，已知纳米米．用科学记数法表示纳米为____________米． 12.若，则的值为__________．  13.已知，且，则__________． 14.如图，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，，则与的关系式是__________________． 15.如图，分别是外部的两点，连接，与交于点，若，，，则的度数为___________． 16.如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则当最短时，____________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(8分) 因式分解： （1）． （2） 计算： （3） （4） 18.(6分) 解分式方程： （1） （2） 19.(6分) 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）在坐标平面上找到一点，使与全等，写出点的坐标． 20.（6分）如图，在中，，为边上一点，点在的延长线上，连接，，若，，求的度数． 21.(8分) 阅读材料:若，求、的值. 解:， ， ， 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求边的最大值. （3）若已知，求的值. 22.(8分) 如图，，是的中点，平分． （1）求证：平分； （2）若，，求四边形的面积． 23.(8分) 如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图是由图中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图中的阴影部分的面积是，图中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 _______， _______； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式：_______ （3）试利用这个公式计算： 24.(10分) 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的表示_______(填序号)，解法二所列方程中的表示_______(填序号): ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，则至多购进甲种商品多少件? 25.(12分) 如图，，，轴于点，轴于点． （1）求证：； （2）如图，连接，交于点，连接，求证：点为中点； （3）如图，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，连接，，且，点为中点．连接，，求证：． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级上册数学 期末测试题（3） 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷Ⅰ（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分 ）   1.（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法逆运算，积的乘方逆运算法则将原式变形为，即可求解． 【解答】解： 故选：． 2.下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可． 本题考查的是因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义． 【解答】解：．左边为，右边为，展开右边得，次数高于左边，且与原式不等，故错误； ．左边为，右边为，此过程为整式乘法，而非因式分解，故错误； ．左边为，右边为。此变形为配方法，未写成乘积形式，故错误； ．左边为，整理为，可提取负号得，括号内为完全平方式，故右边为，符合因式分解定义，故正确． 故选：． 3.若点，与点关于轴对称，则（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据轴对称的坐标特点求解确定即可． 【解答】，与点关于轴对称， ， 故选． 4.如图，，分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）． A.的对边 B.是的中线 C. D.是的中线 【答案】D 【解析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【解答】解：、在中，的对边是，正确，不符合题意； 、是的中线，正确，不符合题意； 、，分别是的边，的中点， ，正确，不符合题意； 、是的中线，选项错误，符合题意； 故选：．  5.若方程那么、的值 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由分式的加减运算法则可得： 【解答】解： ，解得： 故选． 6.若，，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键． 将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得，结合已知条件代入计算． 【解答】解： 代入已知条件 和 ，得： ， 故选． 7.已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.只有甲正确 D.只有乙正确 【答案】C 【解析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【解答】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选． 8.等腰中，，是的中点，交延长线于，交的延长线于，若，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可利用证明得到，进而由线段中点的定义得到，再求出线段的长即可得到答案． 【解答】解：在等腰中，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 故选：． 9.有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用． 设正方形，正方形的边长分别为，根据图形作答即可． 【解答】设正方形，正方形的边长分别为，由甲得：， 由乙得：， ，． 由丙得知：． 故选：． 10.如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明，即可证得，由此判断①；证明是等腰直角三角形，求得，由此判断②；延长交于点，证明，由此判断③；无法判断④． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，，故①正确； ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分，故②正确； 延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 无法证明为的中点，故④不正确； 故选：． 卷Ⅱ（选择题） 二、填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为纳米，已知纳米米．用科学记数法表示纳米为____________米． 【答案】 【解析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：纳米米， 故答案为：． 12.若，则的值为_______3_______． 【答案】 【解析】本题考查同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．运用同底数幂的乘法的逆应用解决即可． 【解答】， ． 故答案为：．   13.已知，且，则___________． 【答案】 【解析】本题考查了利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意，合理分组，将两多项式相减得到，，的关系，代入等式求解即可得到答案． 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14.如图，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，，则与的关系式是_____________________． 【答案】 【解析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质和三角形的外角性质、利用等量代换是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，根据“两直线平行，内错角相等”可得，利用三角形的外角性质及等量代换即可求解． 【解答】解：和的平分线交于点， ，， 又，， ， ，， ， 整理得：， 故答案为：． 15.如图，分别是外部的两点，连接，与交于点，若，，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，邻补角的性质，设 交于点，先证明，得到，进而由三角形内角和定理可得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】如图，设 交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16.如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则当最短时，_______2__________． 【答案】 【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂直平分线的性质、三角形重心的性质等知识点，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得是的对称轴，，，；再说明当三点共线时，有最小值，易得点为的重心，最后根据重心的性质即可解答． 【解答】解：是等边三角形，、分别是、中点， 是的对称轴，，，， 如图：点关于的对称点在上，连接， 是的垂直平分线， ， 点是的中点， 如图：连接，则， ， 当三点共线时，有最小值， 点是的中点，中点， 点为的重心， 故答案为 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(8分) 因式分解： （1）． （2） 计算： （3） （4） 【答案】 【解析】（1）变形后先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式分解； （3）把原式变形为，再用平方差公式计算； （4）利用平方差公式计算即可． 【解答】（1）解：原式 ． （2）解： ； （3）解： （4）解： 18.(6分) 解分式方程： （1） （2） 【答案】 【解析】（1）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可； （2）方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可． 【解答】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 19.(6分) 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）在坐标平面上找到一点，使与全等，写出点的坐标． 【答案】画图见解析，，， 画图见解析，的坐标为或或 【解析】（1）根据轴对称的性质画出图形，再根据图形写出各点坐标即可； 根据全等三角形的判定方法解答即可； 本题考查了画轴对称图形，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可得，，，； （2）解：如图所示，点均符合题意，即为所求， 点的坐标为或或． 20.（6分）如图，在中，，为边上一点，点在的延长线上，连接，，若，，求的度数． 【答案】 【解析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．分析题意，设，由是的外角，可知；已知，在中利用三角形内角和为，可表示出的度数；由于是的外角，再利用三角形外角性质求解，问题即可得解． 【解答】解：设， ． ， ． ， ． ， ． 21.(8分) 阅读材料:若，求、的值. 解:， ， ， 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求边的最大值. （3）若已知，求的值. 【答案】 【解析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，即可求出的值； （2）将已知等式分为，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出的长； （3）由，得到，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为，两非负数分别为求出与的值，进而求出的值，即可求出的值． 【解答】（1） 解得：， ； （2） ， 解得：， 三角形两边之和第三边 ，， 又是正整数，的最大边的值为，，，的最大值为； （3），即，代入得：，整理得：，，且，即，，，则7 故答案为7 22.(8分) 如图，，是的中点，平分． （1）求证：平分； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】见详解 【解析】（1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）根据全等三角形的性质可得，，可求，再利用梯形的面积公式可得答案． 【解答】（1）解：证明：过点作于点， 平分 是的中点， 又， 平分． （2） 平分， 同理可得：， ， 23.(8分) 如图所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图是由图中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图中的阴影部分的面积是，图中阴影部分，请直接用含，的代数式表示 _______， _______； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式：_______ （3）试利用这个公式计算： 【答案】； 【解析】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式； （2）根据面积相等可得； （3）从左到右依次利用平方差公式即可求解． 【解答】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 故答案为：； （3）解：原式 ． 24.(10分) 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题 题目：某商店准备购进甲乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的表示__①_____(填序号)，解法二所列方程中的表示___③____(填序号): ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 （2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． （3）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，则至多购进甲种商品多少件? 【答案】①，③ 甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元 至多购进甲种商品件 【解析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 【解答】（1）解：由甲商品数量乙商品数量，可得：中的表示甲种商品每件进价元， 由甲商品进价乙商品进价可得：中的表示甲种商品购进件； 故答案为：①，③； （2）解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元； （3）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品件． 25.(12分) 如图，，，轴于点，轴于点． （1）求证：； （2）如图，连接，交于点，连接，求证：点为中点； （3）如图，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，连接，，且，点为中点．连接，，求证：． 【答案】证明见解答 证明见解析 证明见解答 【解析】（1）根据即可证明； （2）过点作轴，交于点，得出，由平行线的性质得，由轴得，证明，从而得出，推出，根据证明，得出，再由全等三角形的性质得到，即可得证； （3）延长到，使，连接，，延长交于点，根据证明，得出，，故，由平行线的性质得出，进而推出，根据证明，故，，即可证明． 【解答】 （1）解：证明：轴于点，轴于点， ， ，， ，， ； （2）证明：如图，过点作轴，交于点， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ，即点为中点； （3） 证明：如图，延长到，使，连接，，延长交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $