2025-2026学年人教版数学八年级上册期末综合测试题（2）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级上册数学 期末测试题（2） 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷Ⅰ（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分 ） 1.是大气中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 2.下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 3.下列尺规作图，能判断是边上的中线的是（   ） A. B. C. D. 4.下列各式中，变形正确的是（    ） A. B. C. D.  5.下列因式分解正确的是（   ） A. B. C. D. 6.周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值元的晚餐，出发前名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共人，则所列方程为（    ）． A. B. C. D. 7.多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A. B. C. D. 8.如图，，，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 9.如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A. B. C. D. 10.如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 卷Ⅱ（选择题） 二、填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知三角形的两边长分别是，，则第三边长的取值范围是______________． 12.若代数式有意义，则实数的取值范围是_________________ 13.若，则的值为______________． 14.已知：，则___________． 15.如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则_______________． 16.如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点，则、、、中某三条线段存在等量关系是_______________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 计算 （1）； （2）． 18.(8分) 解方程 （1）； （2）． 19.(6分) 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的；（其中分别是，，的对应点，不写画法） （2）的坐标分别为______、_____、________； （3）在第四象限内有一点，连接和，与轴交于点，则 _______（填、或），画图并说明理由． 20.(6分) 如图，是中边上一点，连接，且． （1）图中共有几个三角形，分别是哪些？ （2）若，，求的度数． 21.(7分) 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）解决问题：因式分解：； （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 22.(8分) 已知和位置如图所示，，，． （1）求证：； （2）求证：． 23.(9分) 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用，两种型号机器人搬运原料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运千克，且型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过小时需完成对千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？ 24.(10分) 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图：________；图：；图：_________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则_________． （3）若，为非负数，，，则_________． （4）若，则__________． （5）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 25.(12分) 如图①，点在线段上（点不与端点，重合），分别以，为边在的同侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点． （1）与的数量关系是_______，的度数是_______． （2）如图②，当点在线段外，其他条件不变时，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出正确结论，再说明理由． （3）如图③，点为四边形内一点，且满足，，，对角线，交于点，．求四边形的面积． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级上册数学 期末测试题（2） 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷Ⅰ（选择题） 一、 选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分 ） 1.是大气中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【解答】解：． 故选：． 2.下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题词考查轴对称图形的概念，解题关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判定即可． 【解答】选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； 选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； 选项不是轴对称图形，故此选项符合题意； 选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：．   3.下列尺规作图，能判断是边上的中线的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查作图基本作图，三角形的中线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的中线的定义判断即可． 【解答】解：观察图形可知，选项中，，故线段是的中线， 故选：． 4.下列各式中，变形正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项分析判断即可求解． 【解答】解：、，故该选项不正确，不符合题意；     、 ，分子、分母乘的数不是同一个，故该选项不正确，不符合题意；     、 ，由于，分子、分母同时除以，故该选项正确，符合题意；     、，当时成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：．  5.下列因式分解正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查的是利用公式法，十字乘法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据因式分解逐个判断即可． 【解答】解：．不能用完全平方式进行因式分解，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 6.周末几名同学计划去聚餐，订了一桌价值元的晚餐，出发前名同学临时有事情不能参加，结果每个同学比原计划多出了元的餐费，设最先打算参加聚餐的同学共人，则所列方程为（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设最先打算参加聚餐的同学共人，则分摊餐费为元，实际分摊餐费为元，根据每个同学比原计划多出了元的餐费，列出分式方程即可求解． 【解答】解：设最先打算参加聚餐的同学共人， 根据题意，得． 故选：． 7.多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【解答】解：， 又多项式可以因式分解成，，为整数， ， ，， ， 即的值是． 故选：． 8.如图，，，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由全等的性质，得，由三角形内角和定理，得，于是， 【解答】解：， , 故选：． 9.如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于，于，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如图，连接，过点作于，于， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 平分， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：． 10.如图，在，，分别为边上的高，连接，过点作交于点，过点作交于点．下列结论：①；②平分；③；④为的中点．其中结论正确的个数是（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】B 【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明，即可证得，由此判断①；证明是等腰直角三角形，求得，由此判断②；延长交于点，证明，由此判断③；无法判断④． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，，故①正确； ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分，故②正确； 延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 无法证明为的中点，故④不正确； 故选：． 卷Ⅱ（选择题） 二、填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.已知三角形的两边长分别是，，则第三边长的取值范围是______________． 【答案】 【解析】本题考查三角形三边关系的运用，熟记三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．根据三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，即可解决问题． 【解答】解：三角形的两边长分别是和， 第三边长的取值范围是，即． 故答案为：． 12.若代数式有意义，则实数的取值范围是________且___________ 【答案】且 【解析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不等于零，进行求解即可． 【解答】解：代数式有意义， ， 且， 故答案为：且． 13.若，则的值为______15__________． 【答案】 【解析】本题考查同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．运用同底数幂的乘法的逆应用解决即可． 【解答】， ． 故答案为：． 14.已知：，则___________． 【答案】 【解析】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出的值，再将多项式进行因式分解，再利用整体代入法，进行计算即可． 【解答】解：， ， ； 故答案为：4 15.如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则______15__________． 【答案】 【解析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，求出即可． 【解答】解：连接， 边的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 16.如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点，则、、、中某三条线段存在等量关系是________________． 【答案】 【解析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【解答】解：，是等边三角形， ，，， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 如图，在上截取，连接， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， ， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 计算 （1）； （2）． 【答案】 【解析】（1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 18.(8分) 解方程 （1）； （2）． 【答案】 无解 【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 所以是分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 经检验：不是原方程的解， 原分式方程无解． 19.(6分) 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的；（其中分别是，，的对应点，不写画法） （2）的坐标分别为____3___,____0___、___4____,_____2__、____1___,__3_____； （3）在第四象限内有一点，连接和，与轴交于点，则 _______（填、或），画图并说明理由． 【答案】见解答 ；；；；； ；画图理由见解答 【解析】（1）按照轴对称图形的特点作图即可； （2）根据图形各点位置即可作答； （3）连接，可得，再根据三角形三边关系求解即可． 【解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，，． 故答案为：；；；；；． （3）解：如图，连接， 点与点关于轴对称， ， ， ． 故答案为：． 20.(6分) 如图，是中边上一点，连接，且． （1）图中共有几个三角形，分别是哪些？ （2）若，，求的度数． 【答案】图中共有个三角形，分别是，， 【解析】（1）根据三角形的定义解答即可； （2）由可得，再根据三角形内角和定理即可求解； 【解答】（1）解：图中共有个三角形，分别是，，． （2）解：，，， ， ． 21.(7分) 阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）解决问题：因式分解：； （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】 三角形为等边三角形，理由见解析 【解析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【解答】（1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 这个三角形为等边三角形． 22.(8分) 已知和位置如图所示，，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】证明见解答 证明见解答 【解析】（1）证明，得出对应边相等即可； （2）证出，然后证明，得出对应角相等即可． 【解答】（1）解：证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 23.(9分) 随着科技创新发展，人形机器人集成人工智能、高端制造、新材料等先进技术，有望成为继计算机、智能手机、新能源汽车后的颠覆性产品，发展潜力大，应用前景广．为提高工作效率，某工厂使用，两种型号机器人搬运原料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运千克，且型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料； （2）从生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作．如果要求不超过小时需完成对千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？ 【答案】型机器人每小时搬运千克原料，型机器人每小时搬运千克原料 型机器人至少要搬运千克原料． 【解析】（1）设型机器人每小时搬运千克原料，则型机器人每小时搬运千克原料，根据工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设型机器人要搬运千克原料，则型机器人要搬运千克原料，根据工作时间工作总量工作效率，结合工作时间不能超过小时，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：型机器人每小时搬运千克原料，型机器人每小时搬运千克原料； （2）设型机器人要搬运千克原料， 由题意得： 解得： 答：型机器人至少要搬运千克原料． 24.(10分) 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图，图阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图：__________；图：；图：__________． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则_____13_____． （3）若，为非负数，，，则__________． （4）若，则____10______． （5）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】， 【解析】（1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，再求出的值即可． 【解答】（1）解：图是边长为的正方形，因此面积为， 组成图 四个部分的面积和为， 因此， 图阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图阴影部分也可以看作大正方形减去空白部分的面积，即， 因此有， 图左图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 图右图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 因此有， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3），， 则， ． （4），， 则 ． （5）设， 则， ， ， 解得：， 阴影部分的面积为． 25.(12分) 如图①，点在线段上（点不与端点，重合），分别以，为边在的同侧作等边三角形和等边三角形，连接，交于点． （1）与的数量关系是________，的度数是________． （2）如图②，当点在线段外，其他条件不变时，中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出正确结论，再说明理由． （3）如图③，点为四边形内一点，且满足，，，对角线，交于点，．求四边形的面积． 【答案】， 中的结论仍然成立．理由见解析 【解析】（1）通过证明，得出与的数量关系，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质求出的度数； （2）同样尝试证明，看是否能得到与中相同的结论； （3）通过证明三角形全等，将四边形的面积转化为与相关的三角形面积进行计算． 【解答】（1）解：①设交于点： 都是等边三角形， ， ， 在和中： ， ，． ， ． 故答案为：，． （2） 解：中的结论仍然成立． 理由：如图，交于点． （3） 都是等边三角形， ， ， ． 在和中： ， ． ， ，即． （4） 解：如图，交于点． （5） ， ， ． 在和中： ， ． ， ， ， ． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $