第25讲 直线与圆的方程（知识清单+11题型讲解练+强化训练）讲义-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

该高中数学讲义聚焦直线与圆的方程高考核心考点，系统梳理11个知识点及11类高频题型，按知识逻辑与考频分层架构。通过考点清单梳理、题型方法指导、真题强化训练环节，帮助学生构建知识网络，突破倾斜角与斜率、直线与圆位置关系等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用“举三反三”题型设计，如直线倾斜角与斜率专题结合变式题训练数学思维，强化训练分选择、填空、解答题分层提升解题规范（数学语言）。通过几何法与代数法对比教学，助力学生高效掌握核心方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第25讲 直线与圆的方程 知识清单 知识点01：直线的方向向量 知识点02：直线的倾斜角 知识点03：直线的斜率 知识点04：直线方程的五种形式 知识点05：两条直线的位置关系 知识点06：三种距离公式 知识点07：圆的定义和圆的方程 知识点08：点与圆的位置关系 知识点09：直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 知识点10：圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 知识点11：直线被圆截得的弦长 题型讲解 （举三反三） 题型1：直线的倾斜角与斜率 题型2：求直线的方程 题型3：直线方程的综合应用 题型4：两条直线的平行与垂直 题型5：两直线的交点与距离问题 题型6：对称问题 题型7：圆的方程 题型8：与圆有关的轨迹问题 题型9：与圆有关的最值问题 题型10：直线与圆的位置关系 题型11：圆与圆的位置关系 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01：直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 知识点02：直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点03：直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 知识点04：直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点05：两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 知识点06：三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点07：圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 知识点08：点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 知识点09：直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点10：圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 知识点11：直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 题型1：直线的倾斜角与斜率 【例1-1】（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2021·江西鹰潭·模拟预测）直线的倾斜角是 （    ） A．对 B．错 【例1-3】（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2021·新疆乌鲁木齐·二模）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 题型2：求直线的方程 【例2-1】（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·湖南长沙·三模）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【例2-3】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【变式2-1】（2022·江西抚州·模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【变式2-3】（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 题型3：直线方程的综合应用 【例3-1】（2022·内蒙古呼和浩特·二模）直线l：与函数的图象有两个公共点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2022·全国·模拟预测）已知直线交抛物线于A，两点，且A，位于轴的两侧，（为坐标原点），为抛物线的焦点，与的面积分别为，，则当取得最小值时，直线的方程为 . 【例3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，于点． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 【变式3-1】（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·山西·模拟预测）函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为 . 【变式3-3】（2025·辽宁鞍山·一模）为坐标原点，是抛物线的动点，分别为椭圆的右顶点、右焦点，且为的中点，． (1)求椭圆方程； (2)动直线，恒过定点，过作抛物线的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 题型4：两条直线的平行与垂直 【例4-1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 【例4-2】（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 【例4-3】（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【变式4-1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【变式4-3】（2021·全国·模拟预测）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 题型5：两直线的交点与距离问题 【例5-1】（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【例5-2】（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【例5-3】（2023·江西九江·模拟预测）设函数，其中. (1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积； (2)若，且不等式的解集是，求的值. 【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【变式5-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 【变式5-3】（2024·河北·模拟预测）已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． (1)求的离心率； (2)设点，求的面积． 题型6：对称问题 【例6-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【例6-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则 【例6-3】（2025·江西南昌·二模）已知抛物线，过点作斜率大于直线与曲线交于、两点.原点关于的对称点为记为点. (1)求证：： (2)当在抛物线上时，求三角形的面积. 【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【变式6-3】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. (1)求的方程; (2)若点关于直线对称的点在上，求的值. 题型7：圆的方程 【例7-1】（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（2024·江苏·三模）在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 【例7-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【变式7-1】（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 . 【变式7-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l：上两点A，B关于原点O的对称点分别为点C，D，且四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的外接圆方程为 . 题型8：与圆有关的轨迹问题 【例8-1】（2023·北京·三模）设，已知点在线段上运动，其中．点满足，点满足，且组成的图形的面积是，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例8-2】（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 【例8-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【变式8-1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）在中，的角平分线交边于点，若，则面积的最大值为 . 【变式8-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 题型9：与圆有关的最值问题 【例9-1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【例9-3】已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【变式9-1】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·天津南开·一模）直线被圆截得的弦长的最小值为 【变式9-3】（2021·上海虹口·一模）已知点、，直线（其中），点P在直线l上．    (1)若是常数列，求的最小值； (2)若是等差数列，且，求的最大值； (3)若是等比数列，且，求的取值范围． 题型10：直线与圆的位置关系 【例10-1】（2025·陕西西安·二模）圆与直线相切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ． 【例10-3】（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【变式10-1】（2025·广东·模拟预测）若圆上点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·山西临汾·一模）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是 . 【变式10-3】（2024·安徽·一模）已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为. (1)求的取值范围； (2)是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由. 题型11：圆与圆的位置关系 【例11-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【例11-2】（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【例11-3】（2023·黑龙江·模拟预测）已知圆． (1)证明：圆C过定点； (2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 【变式11-1】（2025·河北保定·模拟预测）在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式11-2】（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【变式11-3】（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 一、单选题 1．（2025·四川南充·一模）设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 7．（2020·湖北武汉·模拟预测）若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·湖南·一模）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 10．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知圆，点，（   ） A．若过点A作圆C的切线有且仅有一条，则 B．若圆C上总存在两点到点的距离为，则 C．若过点A且横纵截距相等的直线被圆C截得的弦长为，则 D．若圆C与圆心在上且半径为1的圆交于M，N两点，则当最大时， 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知直线：和圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．存在使得直线与直线：垂直 三、填空题 12．（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为 . 13．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 14．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ． 四、解答题 15．（2021·江苏·模拟预测）已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 16．（2020·福建厦门·模拟预测）已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上， （1）判断圆与圆的位置关系； （2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值. 17．（2022·云南昆明·模拟预测）已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值． 18．（2025·青海海南·模拟预测）已知抛物线，点关于直线的对称点为，且在上． (1)求直线的方程； (2)求的标准方程； (3)求直线被截得的弦长． 19．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知 ，圆C：与x轴交于O ，B． (1)证明：在x轴上存在异于点A的定点，使得对于圆C上任一点P，都有为定值； (2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点，过（1）中的点作垂直于x轴的直线l，直线OM与l交于点N，直线AN与直线MB交于点R，求证：点R在椭圆上运动． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 直线与圆的方程 知识清单 知识点01：直线的方向向量 知识点02：直线的倾斜角 知识点03：直线的斜率 知识点04：直线方程的五种形式 知识点05：两条直线的位置关系 知识点06：三种距离公式 知识点07：圆的定义和圆的方程 知识点08：点与圆的位置关系 知识点09：直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 知识点10：圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 知识点11：直线被圆截得的弦长 题型讲解 （举三反三） 题型1：直线的倾斜角与斜率 题型2：求直线的方程 题型3：直线方程的综合应用 题型4：两条直线的平行与垂直 题型5：两直线的交点与距离问题 题型6：对称问题 题型7：圆的方程 题型8：与圆有关的轨迹问题 题型9：与圆有关的最值问题 题型10：直线与圆的位置关系 题型11：圆与圆的位置关系 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01：直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 知识点02：直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点03：直线的斜率 (1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)  (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 知识点04：直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点05：两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 知识点06：三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点07：圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 知识点08：点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 知识点09：直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点10：圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 知识点11：直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 题型1：直线的倾斜角与斜率 【例1-1】（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 【例1-2】（2021·江西鹰潭·模拟预测）直线的倾斜角是 （    ） A．对 B．错 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，可得出该直线倾斜角，由此可得出结论. 【详解】直线的斜率为，该直线的倾斜角为. 故选：B. 【例1-3】（2024·上海·三模）已知直线的倾斜角为，且直线与直线：垂直，则 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线、互相垂直算出的斜率，进而求出倾斜角的大小． 【详解】直线即，斜率， 因为直线、互相垂直，所以直线的斜率， 直线的倾斜角为，则，结合，可知． 故答案为：． 【变式1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 【变式1-2】（2021·新疆乌鲁木齐·二模）已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为，则其一条边所在直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以正方体的一顶点为坐标原点建立坐标系，设正方形的一对角线的倾斜角为，则，可得到正方形边的倾斜角，利用两角和差的正切公式，即可求解. 【详解】 以正方形的顶点为坐标原点，建立如图坐标系， 根据题意，对角线的斜率为，设其倾斜角为， 则正方形的倾斜角分别为， 又， 所以两直角边的斜率分别为或. 故选: B. 【变式1-3】（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 题型2：求直线的方程 【例2-1】（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】直线的斜率为1，则直线的倾斜角为. 故选：A. 【例2-2】（2025·湖南长沙·三模）过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断. 【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 【例2-3】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式. 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 【变式2-1】（2022·江西抚州·模拟预测）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程． 【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线 的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率 则的欧拉线的方程为，即 故选：D． 【变式2-2】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 【变式2-3】（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【分析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由题意可得，化简得出，可知为的正约数，列举出的所有可能取值，即可得解. 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 题型3：直线方程的综合应用 【例3-1】（2022·内蒙古呼和浩特·二模）直线l：与函数的图象有两个公共点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线l：过点，函数表示半圆，根据直线与半圆有两个公共点求解. 【详解】解：直线l：过点， 函数变形为其图象如图所示： 由图象知：，， 因为直线l：与函数的图象有两个公共点， 所以， 故选：C 【例3-2】（2022·全国·模拟预测）已知直线交抛物线于A，两点，且A，位于轴的两侧，（为坐标原点），为抛物线的焦点，与的面积分别为，，则当取得最小值时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用设而不求的方法得到的表达式，再利用均值定理去求其取得最小值时的k值，进而得到直线的方程 【详解】由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，由得， 所以，，. 因为，所以， 解之得，所以，则， 则直线的方程为，直线过定点. 由题可得，又， 所以， （当且仅当，即时等号成立） 由得， 所以当取得最小值时，直线的方程为. 故答案为： 【例3-3】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，于点． (1)求直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的斜率，根据垂直得到直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）联立直线与抛物线的方程，根据，结合韦达定理求出的值，由弦长公式求出，即可得到的面积. 【详解】（1）由题意可得直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由得，， 设点，，则， 因为，则，解得， 所以，， 由弦长公式可得. 因为，故. 所以的面积为. 【变式3-1】（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 【变式3-2】（2023·山西·模拟预测）函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为 . 【答案】1 【分析】利用导数求出切线的斜率，得到切线方程，求出与坐标轴交点即可得解. 【详解】由题意可得， 则，， 故的图象在处的切线方程为，即.令， 得；令，得，则所求图形的面积为. 故答案为：. 【变式3-3】（2025·辽宁鞍山·一模）为坐标原点，是抛物线的动点，分别为椭圆的右顶点、右焦点，且为的中点，． (1)求椭圆方程； (2)动直线，恒过定点，过作抛物线的切线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）写出抛物线焦点，结合抛物线定义及已知得坐标，进而得到椭圆参数，即可得方程； （2）已知直线过定点，设过点的切线方程，结合切点在抛物线上及椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、面积公式、基本不等式求面积的最值. 【详解】（1）抛物线焦点，由抛物线定义得：， 因为，所以，即也为抛物线焦点， ，，， ； （2）由恒过， 根据对称性，不妨令在第一象限，则，则处切线斜率为， 过点的切线方程：，，则， ， ，得，， 所以，， 到直线的距离， ， 则面积： 当且仅当时等号成立. 题型4：两条直线的平行与垂直 【例4-1】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若直线与直线互相平行，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1 【答案】A 【分析】根据平行直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A 【例4-2】（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 【例4-3】（2025·上海黄浦·三模）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 【变式4-1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式4-2】（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 【变式4-3】（2021·全国·模拟预测）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【答案】， 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 题型5：两直线的交点与距离问题 【例5-1】（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 【例5-2】（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 【例5-3】（2023·江西九江·模拟预测）设函数，其中. (1)当时，求曲线与直线围成的三角形的面积； (2)若，且不等式的解集是，求的值. 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）由题知，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可； （2）分和两种情况求解得的解集为，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 所以，，设； 直线与交于点，与直线交于点， 且， 点到直线的距离， 所以，要求图形的面积； （2）解：当时，，，即，解可得，此时有， 当时，，，即，解可得， 又由，则，此时有， 综合可得：不等式的解集为， 因为不等式的解集是 所以，，解可得； 所以，. 【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 【变式5-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 【答案】 1 或 【分析】由题意作图，根据三角形的面积计算，结合正弦函数的性质，可得面积最值，根据等腰直角三角形的性质，可得的值，分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立方程求交点，由两点距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】 由，则其圆心，半径，设， 易知，则当时，取得最大值为， 在等腰中， 当直线的斜率不存在时，直线， 代入直线，解得，则； 代入直线，解得，则； 所以，显然此时取得最大值为. 当直线的斜率存在时，可设直线， 联立可得，解得，，则； 联立可得，解得，，则； ， 由，则，解得，即直线， 所以取得最大值为，则直线或. 故答案为：；或. 【变式5-3】（2024·河北·模拟预测）已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点． (1)求的离心率； (2)设点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解； （2）先得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）由题，， 且在上有， 解得． 故椭圆的标准方程为， 离心率． （2）因为直线经过，两点， 可得直线的方程为， 联立， 解得或， 所以直线与椭圆的另一交点为， 则， 又点到直线的距离． 故的面积． 题型6：对称问题 【例6-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知抛物线：上存在两点，关于直线：对称，若，则（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设直线为，联立抛物线可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目条件可计算出直线方程，再借助线段的中点在上计算即可得. 【详解】设直线为，代入抛物线得， 则，，∴， 直线为，线段的中点记为， 则，. 又中点在上，∴. 故选：B. 【例6-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则 【答案】 【分析】先根据圆关于直线对称，得到直线经过圆心，求出圆心，再运用弦长公式求解即可. 【详解】圆0，即，圆心， 因为圆关于直线对称，所以，解得， 所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离， 所以． 故答案为：. 【例6-3】（2025·江西南昌·二模）已知抛物线，过点作斜率大于直线与曲线交于、两点.原点关于的对称点为记为点. (1)求证：： (2)当在抛物线上时，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理计算出，即可证得结论成立； （2）设关于直线的对称点，根据点与点关于直线对称解出点的坐标，由点在抛物线上求出的值，列出韦达定理，根据三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）设、， 由题意，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程得，则， 由韦达定理可得，，， ，所以. （2）设关于直线的对称点，则， 解得，，即， 又因为点在抛物线上，则，解得 所以，，， 所以， 所以. 【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点关于直线的对称点为，则，解之即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 又点在曲线上，所以， 所以. 故选：D 【变式6-2】（2023·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，求出与轴的交点，设出直线的方程，根据点关于直线的对称点在轴上，列出方程，即可得到结果. 【详解】    直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为，则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式6-3】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. (1)求的方程; (2)若点关于直线对称的点在上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到； （2）根据题意，由点关于线对称可得点关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果. 【详解】（1）    因为的外接圆的面积为，则其半径为， 且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即，所以的方程为. （2）设点关于直线对称的点为， 则两点连线的中点坐标在直线上，即， 化简可得①， 由对称性又可知，和所在直线与垂直，则②， 联立①②可得，，解得，所以， 又因为在抛物线上，则，即， 即， 即，即， 所以， 其中时，，所以， 所以，即. 题型7：圆的方程 【例7-1】（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【详解】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 【例7-2】（2024·江苏·三模）在中，为的中点，延长与的外接圆交于点，则 . 【答案】 【分析】根据三角形边长和内角的特点，建立直角坐标系，设出圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的一般方程，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】如图建系，，    设的外接圆的方程为， ， 即， ，即 ， 故答案为： 【例7-3】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·山西晋中·三模）已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 【变式7-2】（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法及圆的一般方程即可求解. 【详解】设圆的一般式方程为：， 因为圆经过点, 所以,解得， 所以圆的一般式方程为：. 故答案为：. 【变式7-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l：上两点A，B关于原点O的对称点分别为点C，D，且四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的外接圆方程为 . 【答案】 【分析】设点再根据C，D两点均在直线：上，再应用点到直线距离得出，进而得出半径即可得出标准方程. 【详解】设，，则，， C，D两点均在直线：上，故直线CD即为. 而直线AB与直线CD的距离，由可知， 故由平面几何知识可得， 由对称性可知正方形ABCD的外接圆圆心为O，半径为1，于是四边形ABCD的外接圆方程为， 故答案为：. 题型8：与圆有关的轨迹问题 【例8-1】（2023·北京·三模）设，已知点在线段上运动，其中．点满足，点满足，且组成的图形的面积是，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设，，，根据题意可得的轨迹，在为圆心，半径为1的圆上，由，可知组成的图形为矩形和两个半圆组成，即可求. 【详解】设，，，，则， ，则 所以，即在以为圆心，半径为1的圆上， 又，所以组成的图形， 其面积. 故选：B. 【例8-2】（2025·上海杨浦·三模）已知三角形的，则三角形的面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设出点坐标，根据列等式，即可得到的轨迹.再求点到的距离范围即可得到三角形的面积的取值范围. 【详解】以为坐标原点所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，. 因为，所以，化简得， 则点的轨迹为以为圆心，半径为的圆（除去两点）. 则点到直线的最大距离即为半径，此时三角形的面积. 又点到直线的距离可趋近于，所以三角形的面积的取值范围为. 故答案为： 【例8-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 【变式8-1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）在中，的角平分线交边于点，若，则面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】由角平分线定理可得，再建系可得点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去，结合圆的知识即可求得面积取最大值. 【详解】因为角的平分线交于点，则，故，则. 以为坐标原点建立如图平面直角坐标系， 因为，故，设， 则，化简可得，即， 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去. 故时，面积取最大值为. 故答案为：3. 【变式8-3】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）通过线线垂直证明平面，即可完成证明； （2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【详解】（1） 由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，以1为半径的圆弧， 由于线段的中点，所以该圆弧经过点， 故动点的轨迹是四分之一圆弧， 线段的轨迹形成的面积为圆锥侧面的，面积为； （ⅱ）由（ⅰ）可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 题型9：与圆有关的最值问题 【例9-1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知，是单位向量，，的夹角为，若向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，进而求出最大值. 【详解】，且，的夹角为， 在平面直角坐标系中，令，设， 则，由，得， 因此点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以的最大值为. 故选：D 【例9-2】（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 【例9-3】已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 【变式9-1】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 【变式9-1】（2024·天津南开·一模）直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】 【分析】求得圆的圆心和半径，求得直线恒过的定点，可得经过点与线段垂直的弦的长度最短，由勾股定理计算即可． 【详解】直线恒过定点， 而圆的圆心为，半径为2， 可得在圆内，经过点与线段垂直的弦的长度最短， 此时弦长为． 故答案为：． 【变式9-3】（2021·上海虹口·一模）已知点、，直线（其中），点P在直线l上．    (1)若是常数列，求的最小值； (2)若是等差数列，且，求的最大值； (3)若是等比数列，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若是常数列，直线，的最小值即为点到的距离； （2）若是成等差数列，则直线恒过点，，点在以为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若是成等比数列，设，从而由得到，进而求得，再利用两点距离公式得到关于的函数，由此得解. 【详解】（1）若是常数列，则， 故直线的方程为， 则点到直线的距离为， 所以的最小值为； （2）若是成等差数列，则， 所以直线即， 整理得： 由，可得，此时直线恒过点， 又因为即， 所以点在以为直径的圆上， 因为，， 所以圆心为，半径， 圆的方程为， 最大值即为点到圆心的距离再加半径， 所以； （3）若是成等比数列，则，且，，， 将两边同时除以得：， 设，所以， 所以，， 设，则，， 因为，所以，可得①， 又因为点在上，所以②， 将①代入②可得，即， 所以， 所以 令，， 所以， 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：由是成等差数列可得直线恒过点，可得，点在以为直径的圆上，利用圆的性质是解决第二问的关键. 题型10：直线与圆的位置关系 【例10-1】（2025·陕西西安·二模）圆与直线相切，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】方程化为， 因此已知圆的圆心为，半径， 由圆与直线相切，得，解得， 所以圆的半径为. 故选：D 【例10-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得. 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 【例10-3】（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 【变式10-1】（2025·广东·模拟预测）若圆上点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心和切点坐标，可得切点与圆心连线的斜率的值，即可求出切线的斜率k，进而可得切线方程，将切线方程与抛物线联立，根据题意，可得，即可求得答案. 【详解】易知圆心坐标为，故切点与圆心连线的斜率为， 故切线的斜率， 所以该切线方程为，即， 联立，则， 由公共点唯一可知：，解得（舍）或． 故选：D 【变式10-2】（2024·山西临汾·一模）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是 . 【答案】相离 【分析】根据点与圆的位置关系得到，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】因为点在圆内，所以， 圆的圆心到直线的距离为， 又，则，所以直线与圆相离. 故答案为：相离. 【变式10-3】（2024·安徽·一模）已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为. (1)求的取值范围； (2)是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在满足条件的圆，其方程为 【分析】（1）根据，即可根据点点距离公式求解， （2）根据点斜式得直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线的方程为，利用与圆相切，即可列方程求解. 【详解】（1）设为椭圆上任意一点，则，， 则. 则.故. （2）由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在. 又直线的方程为，即为， 同理直线的方程为.    则，故. 而，故，又因为. 故，同理：. 故直线的方程为. 若直线与圆相切，则，令. 故，即. 故或或， 因为，所以不满足， 故存在满足条件的圆，其方程为 【点睛】关键点点睛：根据直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式可得满足，可得直线的方程为，即可利用相切以及距离公式列方程求解. 题型11：圆与圆的位置关系 【例11-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】由直线与圆相切求出，进而判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 圆的圆心，半径， 而，所以圆和圆相交. 故选：C 【例11-2】（2024·江西·模拟预测）写出圆与圆的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据圆的方程判断两圆位置关系，即外切，进而求切点，结合已知求公切线方程，即可得答案. 【详解】由题设，圆心、，则，即两圆外切， 设切点为，，得，所以， 又过与垂直的直线为两圆的内公切线，斜率为， 该公切线方程为，整理得． 设两圆的一条外公切线与两圆的切点分别为， 连接，作，垂足为（如图）， 则， 所以， 所以直线，即直线的斜率为， 设直线为，则， 所以，故为． 由图易知，另一条外公切线的方程为． 故两圆的公切线方程为或或（填其中之一即可）． 故答案为：（答案不唯一） 【例11-3】（2023·黑龙江·模拟预测）已知圆． (1)证明：圆C过定点； (2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)面积最小值为， 【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可； （2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）依题意，将圆的方程化为 ， 令，即，则恒成立， 解得，即圆过定点； （2）当时，圆， 直线， 设，依题意四边形的面积， 当取得最小值时，四边形的面积最小， 又，即当最小时，四边形的面积最小， 圆心到直线的距离即为的最小值， 即 ，即四边形面积最小值为， 此时直线与直线垂直， 所以直线的方程为，与直线联立，解得， 设以为直径的圆上任意一点：， 故圆的方程为， 即，又圆， 两式作差可得直线方程.    【变式11-1】（2025·河北保定·模拟预测）在平面内与点距离为1，与点距离为2的直线共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分析得到与点距离为1，与点距离为2的直线为以为圆心1为半径的圆和以为圆心2为半径的公切线，根据两圆的位置关系得到公切线的条数. 【详解】∵在平面内与点距离为1的直线的是以为圆心1为半径的圆的切线， 同理可得与点距离为2的直线是以为圆心2为半径的圆的切线， 满足条件的直线为两圆的公切线， ， 两圆的位置关系为外离，公切线有4条， 故满足条件的直线有4条. 故选：D 【变式11-2】（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【变式11-3】（2023·河北·三模）已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． (1)求的轨迹方程； (2)当，求的方程及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【详解】（1）设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. （2）当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 一、单选题 1．（2025·四川南充·一模）设，若直线平分圆的周长，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】易知直线过圆心，得，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，直线过圆心. 由，得， 则圆心坐标为，半径为， 有，即. 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知圆 与圆有两个交点，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆相交的性质直接得出. 【详解】由题意知：圆心与圆心， 则圆心距， 因为圆与圆有两个交点， 所以， 解得：. 故选：D 3．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 5．（2025·四川成都·模拟预测）设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理的逆定理建立的等式，计算出的值，利用圆的面积公式求解. 【详解】：的圆心为，半径为， 到直线的距离为， ，，，， 圆的面积为. 故选：A. 6．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可. 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 7．（2020·湖北武汉·模拟预测）若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，即可分析出直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，再结合图像求出直线与圆相切和过点时的斜率，即可写出斜率k的取值范围. 【详解】因为圆为以为圆心2为半径的圆，经过一四象限， 又直线过定点， 所以直线与圆相交的两个交点只能位于第一象限，如下图所示， 又易知圆与轴的两个交点，， 当直线经过点时，， 如图，当直线经过点，即直线与圆相切时，设圆心到直线的距离为， 则，整理得到，解得， 结合图像可知， 故选：D. 8．（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆的有公共点关系列式求出范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 二、多选题 9．（2025·湖南·一模）已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 【答案】AC 【分析】对于A，利用由求解即可；对于B，利用直线与圆位置关系求解即可；对于C，由的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率，结合斜率公式即可求解；对于D，根据几何关系，得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】已知圆的方程可化为， 故圆心，半径， 对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确； 对于B：当时，直线， 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，故B错误； 对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率， 设，则直线的方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 解得，所以，故C正确； 对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误． 故选：AC． 10．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知圆，点，（   ） A．若过点A作圆C的切线有且仅有一条，则 B．若圆C上总存在两点到点的距离为，则 C．若过点A且横纵截距相等的直线被圆C截得的弦长为，则 D．若圆C与圆心在上且半径为1的圆交于M，N两点，则当最大时， 【答案】BD 【分析】对于，根据切线的条数即可知点在圆；即可判断选项；对于，将问题转化为圆与圆相交，利用圆与圆的位置关系求解；对于，分为直线在坐标轴上的截距相等且不为和直线在坐标轴上的截距为两种情况，利用几何关系依次求解即可；对于，将问题转化为当最大时，求的长度. 【详解】圆的圆心为，半径为， 对于选项,过点A作圆C的切线有且仅有一条，则点在圆上，即， 解得，故错误； 对于选项，此问题等价于圆与圆相交， 两圆心的距离为，即， 解得，故正确； 对于选项，当直线在坐标轴上截距相等且不为时，设过点的直线方程为， 将点的坐标代入直线方程得， 圆的圆心到该直线的距离，由几何关系可知 解得，则； 当直线在坐标轴上截距相等且为时，设过点的直线方程为， 同理由几何关系可知，解得， 将点的坐标代入直线方程得，故错误； 对于选项，如图所示，,圆的直径为，则， 当最大时，，在△中，,故正确； 故选： . 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知直线：和圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．存在使得直线与直线：垂直 【答案】BD 【分析】求得直线恒过定点，即可判断A；判断点在圆内，即可判断B；当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短，求出最短弦长，即可判断C；求出的值，即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，因为直线恒过定点，且点在圆：内， 所以直线与圆相交，故B正确； 对于C，当直线与直线垂直时，所截得的弦长最短， 此时圆心到直线的距离， 由弦长公式可得此时的弦长为，故C错误； 对于D，因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以当时，直线与直线垂直，故D正确． 故选：BD. 三、填空题 12．（2025·上海杨浦·一模）圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】圆的圆心到直线的距离为. 故答案为：. 13．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 14．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为 ． 【答案】 【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解. 【详解】函数的图象关于点中心对称， 不妨设直线AC的方程为， 由，得， 解得或或， 则， 同理可得， 由，得， 即， 即， 即， 令，则这两条直线的斜率之和为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：不妨设直线AC的方程为，由，求出，即可． 四、解答题 15．（2021·江苏·模拟预测）已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将点代入后计算即可得圆的方程，化为标准方程即可得圆心坐标与半径长； （2）由题意可得直线方程，借助弦长公式计算即可得. 【详解】（1）将点代入， 则，解得， 即， 故圆的标准方程为， 故圆心，半径； （2）由题意得直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离， 则弦长． 16．（2020·福建厦门·模拟预测）已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上， （1）判断圆与圆的位置关系； （2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值. 【答案】（1）两圆相离；（2）证明见解析. 【解析】（1）先求得点关于直线对称点的坐标，可得圆的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离. （2）设，则，可得.设点，求得和的值，可得的值，即为与的面积之比. 【详解】（1）由于点，关于直线对称点，， 故圆的方程为：. 把点，在圆上，可得， 故圆的方程为：. 可得圆，，， 根据，故两圆相离. （2）设， 则， . 设点， 则. ； ； ， ， 即. 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 17．（2022·云南昆明·模拟预测）已知点，动点M满足，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合，由向量的坐标运算化简即可求解曲线C的轨迹方程； （2）设，分别由点斜式求出直线和直线的方程，令可求，相乘即可求证. 【详解】（1）设点，因为，所以，化简得，所以曲线的轨迹方程为； （2）设点， 则直线的方程为，令得，所以， 直线的方程为，令得，所以， 所以． 18．（2025·青海海南·模拟预测）已知抛物线，点关于直线的对称点为，且在上． (1)求直线的方程； (2)求的标准方程； (3)求直线被截得的弦长． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）分析可知直线与直线垂直，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）方法一：设点，根据点、关于直线对称可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的标准方程； 方法二：求出直线与直线的交点坐标，可知该交点为线段的中点，可得出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的标准方程； （3）方法一：将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，可得到关于的一元二次方程，求出交点横坐标，再利用弦长公式可求得结果； 方法二：将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，可得到关于的一元二次方程，求出交点纵坐标，再利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，所以直线与直线垂直. 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）（方法一）设点，则，解得，所以， 将点的坐标代入的方程，得，解得， 所以的标准方程为. （方法二）由得， 所以直线与直线的交点坐标为，则线段的中点为， 因为点，所以， 将点的坐标代入的方程，得，解得， 所以的标准方程为. （3）（方法一）设直线交抛物线于点、， 联立得，解得，， 故； （方法二）设直线交抛物线于点、， 联立得，解得，， 故. 19．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知 ，圆C：与x轴交于O ，B． (1)证明：在x轴上存在异于点A的定点，使得对于圆C上任一点P，都有为定值； (2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点，过（1）中的点作垂直于x轴的直线l，直线OM与l交于点N，直线AN与直线MB交于点R，求证：点R在椭圆上运动． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，应用距离公式列出等式，与圆方程联立，应用待定系数法，即可求出； （2）设直线，与圆方程联立，求出点坐标，进而得到点坐标，求得，设，列出等式，化简即可. 【详解】（1）设，若，由点在圆上化简得：， 又因为在圆上，则， 联立化简得 所以，解得 ∴存在定点 （2）设直线 联立圆方程，化简得， 解得或，所以， 则直线, 所以，， ， 设，则， 化简得， 所以点R在椭圆上运动.      1 学科网（北京）股份有限公司 $