第21讲 三角函数的应用（知识清单+4题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册考试满分全攻略同步备考系列

本讲义聚焦三角函数的应用，系统梳理简谐运动的振幅、周期、频率等物理量描述，以及三角函数模型的建立与求解步骤，构建从函数性质到实际应用的递进学习支架。 资料以摩天轮、筒车等生活实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过“举三反三”题型设计培养推理能力与模型意识，课中辅助分层教学，课后强化训练助力查漏补缺。

第21讲 三角函数的应用 知识清单 知识点01：简谐运动的物理量的描述 知识点02：三角函数模型的应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：函数式y=Asin（ωx+φ）描述简谐运动时的基本概念 题型2：知模型求参数 题型3：建立三角函数模型 题型4：三角函数模型的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、简谐运动的物理量的描述 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 知识点二、三角函数模型的应用 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型，求得结果. (4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验. 题型1：函数式y=Asin（ωx+φ）描述简谐运动时的基本概念 【例1-1】（20-21高一·全国·单元测试）已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1-2】（20-21高一·江苏）已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0， 1)，则该简谐运动的振幅为 ，初相为 . 【例1-3】已知，分别表示下面两个简谐振动：，，求复合振动的振幅、周期和频率和圆频率． 【变式1-1】简谐运动的频率 . 【变式1-2】已知某简谐振动的函数表达式为，.求这个简谐振动的振幅､周期与初相. 【变式1-3】如图为某简谐振动的图象，它符合（，，）的形式． (1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相； (2)求该简谐振动的函数解析式； (3)求该函数的单调递增区间． 题型2：知模型求参数 【例2-1】（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 【例2-2】（22-23高一上·江苏连云港·期末）某一天时的温度变化曲线近似地满足，其中表示时间，表示温度，则这一天中时的最大温差为 度. 【例2-3】风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【变式2-1】（20-21高一上·江苏无锡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为 米. 【变式2-2】（23-24高一上·江苏）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象. (1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【变式2-3】（21-22高一上·江苏南通·期末）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系． (1)求的表达式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． 题型3：建立三角函数模型 【例3-1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则 . 【变式3-1】（20-21高一下·江苏苏州·月考）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为，当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（    ） A．y=sin B．y=sin C．y=sin D．y=sin 【变式3-2】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    【变式3-3】某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变． (1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式； (2)画出这个函数的图象． 题型4：三角函数模型的应用 【例4-1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（   ） A．10min B．12min C．14min D．16min 【例4-2】（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为 分钟. 【例4-3】（2021高一上·江苏·专题练习）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？ (3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 【变式4-1】（2021高一上·江苏·专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【变式4-2】（22-23高一上·江苏常州·期末）常州环球港摩天轮被誉为“龙眼”，是国内最高的屋顶摩天轮.如图所示，该摩天轮直径88米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高.摩天轮采用放射辐条式，共有48个轿厢，一次可供192人观光，逆时针运转一圈需要18分钟.若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，那么摩天轮转动一周中能有 分钟会有这种最佳视觉效果. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏镇江·期中）如图，是底部为不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某测量小组为了测得改建筑物的高度，选择了一条水平基线，在两处用测角仪分别测得的仰角分别为，（三点共线）．已知测角仪的高度为，，则该建筑物的高度约为（　　）m． A．35 B．18 C．17 D．15 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．（20-21高一·江苏）从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（    ） A．2h米 B．h米 C．h米 D．2h米 4．（20-21高一上·江苏南通·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，则点P第一次到达最高点需要的时间为（    ） A．7 B． C．6 D．5 5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 6．已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏常州·期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（    ）（参考数据：，，） A．5800 B．6000 C．6600 D．7000 8．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 10．（24-25高一下·江苏·月考）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 11．（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 三、填空题 12．（22-23高一上·江苏盐城·期末）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面22m（即长），摩天轮的半径长为20m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点处，此时有，则距离地面的高度为 ． 13．（22-23高一上·江苏连云港·期末）一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动3圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示建立平面直角坐标系，将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，则 ． 14．（22-23高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．    四、解答题 15．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 16．（21-22高一上·江苏徐州·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间． 17．（21-22高一上·江苏盐城·期末）一半径为的水轮(如图所示)，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间． (1)将点到水面的距离(单位：，在水下，则为负数)表示为时间(单位：)的函数； (2)点第一次到达最高点大约需要多长时间？ 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 19．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 三角函数的应用 知识清单 知识点01：简谐运动的物理量的描述 知识点02：三角函数模型的应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：函数式y=Asin（ωx+φ）描述简谐运动时的基本概念 题型2：知模型求参数 题型3：建立三角函数模型 题型4：三角函数模型的应用 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点一、简谐运动的物理量的描述 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 知识点二、三角函数模型的应用 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型，求得结果. (4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验. 题型1：函数式y=Asin（ωx+φ）描述简谐运动时的基本概念 【例1-1】（20-21高一·全国·单元测试）已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解. 【详解】由题意可知，A＝，32＋2＝52， 则T＝8，ω＝＝， y＝sin. 由sin φ＝，得sin φ＝. ∵|φ|＜， ∴φ＝. 因此频率是，初相为. 故选：C 【例1-2】（20-21高一·江苏）已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0， 1)，则该简谐运动的振幅为 ，初相为 . 【答案】 2 【分析】利用图象所过的点可求，从而可求振幅和初相. 【详解】因为图象过，故即，而，故， 故简谐振动的初相为，又由的解析式可得振幅为2， 故答案为：2，. 【例1-3】已知，分别表示下面两个简谐振动：，，求复合振动的振幅、周期和频率和圆频率． 【答案】振幅为2、周期为6、频率为、圆频率． 【分析】利用两角和与差的正弦公式化简可得，再根据的物理意义即可得答案． 【详解】 振幅为2、周期为、频率为、圆频率． 【变式1-1】简谐运动的频率 . 【答案】/0.0625 【分析】根据角频率与频率f之间的关系求解. 【详解】由题意：； 故答案为：. 【变式1-2】已知某简谐振动的函数表达式为，.求这个简谐振动的振幅､周期与初相. 【答案】振幅，周期，初相. 【解析】根据的物理意义确定． 【详解】解：由题设可知： 振幅 周期 初相 【变式1-3】如图为某简谐振动的图象，它符合（，，）的形式． (1)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相； (2)求该简谐振动的函数解析式； (3)求该函数的单调递增区间． 【答案】(1)振幅，周期，频率为，初相位为. (2) (3) 【分析】（1）根据图象可得振幅、周期、频率和初相. （2）由（1）可得函数的解析； （3）根据（2）的结果结合正弦函数的性质可求单调递增区间. 【详解】（1）由图象可得振幅，，故周期，所以频率为， 又，故， 所以，而，故， 故初相位为：. （2）由（1）可得. （3）因为，故令， 解得， 故该函数的增区间为. 题型2：知模型求参数 【例2-1】（23-24高一上·江苏连云港·期末）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（    ） A．50 B．70 C．90 D．130 【答案】B 【分析】根据频率公式进行计算. 【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为. 故选：B 【例2-2】（22-23高一上·江苏连云港·期末）某一天时的温度变化曲线近似地满足，其中表示时间，表示温度，则这一天中时的最大温差为 度. 【答案】20 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大、最小值作答. 【详解】当时，，则当时，，当时，， 所以这一天中时的最大温差为度. 故答案为：20 【例2-3】风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． (1)求函数的解析式； (2)当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】(1) (2)秒 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【详解】（1）由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． （2）令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 【变式2-1】（20-21高一上·江苏无锡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为 米. 【答案】0.25 【解析】根据时，盛水筒到水面的距离，由函数关系式，求出，再将代入函数关系式，即可得出结果. 【详解】因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式，且时，盛水筒M与水面距离为2.25米， 所以，则， 又，所以，则， 因此当时，， 即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为米. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高一上·江苏）已知某海滨浴场海浪的高度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时的浪高数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观察，的曲线可近似地看成是函数的图象. (1)根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【答案】(1)，， (2)5个小时 【分析】（1）由表中数据知，然后利用周期公式可求出，再由，和，，可求出，从而可求出解析式， （2）利用余弦函数的性质解即可得答案. 【详解】（1）由表中数据知，所以. 由，，得. 由，，得，故，， 所以函数解析式为：. （2）由题意知，当时才可对冲浪者开放，所以， 所以，所以，， 即，. 又因为，故可令 得，或，或. 所以在规定时间10：00至20：00之间，有5个小时可供冲浪者活动，即上午10：00至下午3：00. 【变式2-3】（21-22高一上·江苏南通·期末）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系． (1)求的表达式； (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． 【答案】(1) ，;(2) 8小时. 【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式； (2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解. 【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以，，， 所以，解得． 所以，． (2)由(1)得，， 所以， 所以， 解得， 因为， 所以，． 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时． 题型3：建立三角函数模型 【例3-1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 【例3-2】如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得P离地面的距离h与时间t之间的函数关系. 【详解】以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 风车上翼片端点P所在位置可由函数，来刻画，而且， 又设P的初始位置在最低点，即， 在中，，所以， 又，，， 则. 故选：A. 【例3-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则 . 【答案】 【分析】由函数模型，通过圆的半径为，圆心距离水面，可以计算出与的值，通过每分钟转动5圈，计算出周期即可求得的值，最后通过点位置求解的值.进而求得函数解析式. 【详解】由题意知，函数模型中，由于圆的半径为，圆心距离水面，可得：，， 又，所以， 又，得：，显然，所以， 综上可得：. 故答案为： 【变式3-1】（20-21高一下·江苏苏州·月考）如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p（x，y）．若初始位置为，当秒针从P0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（    ） A．y=sin B．y=sin C．y=sin D．y=sin 【答案】C 【分析】先确定函数的周期，再假设函数的解析式，进而结合待定系数法可求函数的解析式，注意秒针是顺时针走动． 【详解】解：由题意，函数的周期为， 设函数解析式为（因为秒针是顺时针走动）， 初始位置为，， 时，， ， 可取， 函数解析式为 故选：C． 【变式3-2】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    【答案】 【分析】依题意设，再根据题意和函数的周期求出，即可得到函数解析式； 【详解】依题意设，则，周期，又，解得，所以. 故答案为：. 【变式3-3】某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变． (1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）设函数表达式，结合三角函数的最值、最小正周期及特殊点代入即可得解； （2）根据解析式列表作图即可. 【详解】（1）设， 由题意，解得，且，解得， 又因为当时，取最小值， 所以，即， 可取，所以； （2）列表： t 0 1 4 7 10 12 0 y 700 800 900 800 作出函数图象如下：    题型4：三角函数模型的应用 【例4-1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（   ） A．10min B．12min C．14min D．16min 【答案】B 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【详解】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 【例4-2】（25-26高一上·江苏盐城·期中）如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为 分钟. 【答案】6 【分析】根据给定信息，由正弦函数的实际应用求出运动轨迹的函数解析式，再列出不等式并求得答案. 【详解】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离地面的高度为，， 依题意得为轨迹最低点，，周期，解得， 由，得，则，， 由，得，即， 而，即，因此，解得， 所以在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为. 故答案为：6 【例4-3】（2021高一上·江苏·专题练习）若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1)单摆运动的周期是多少？ (2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？ (3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 【答案】(1) (2)从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动; 从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动 (3) 【分析】（1）根据周期的定义，由图象观察可以得出； （2）完成一次往复运动，即在函数图象上呈现一个周期的图象，结合图象确定正确答案； （3）根据周期函数的运算，可以计算出秒相当于运动几个周期，还剩多少时间，可以算出位移． 【详解】（1）从题图可以看出，单摆运动的周期是； （2）若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动；若从点算起，到曲线上的点表示完成了一次往复运动； （3），所以小球经过相对于静止位置的位移是． 【变式4-1】（2021高一上·江苏·专题练习）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（    ） A．小球在开始振动即时的位置在 B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为 C．小球往复运动一次所需时间为 D．每秒钟小球能往复振动次 【答案】D 【分析】对于A,把代入已知函数，求得值即可得初始位置； 对于B,由解析式可得振幅，即为所求； 对于C,由函数的解析式及周期公式即可求解； 对于D,由频率与周期的关系即可求解． 【详解】对于A,由题意可得当时，， 故小球在开始振动时的位置在；故A正确； 对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为； 故B正确； 对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确； 对于D,由C可知，，可得频率为（），即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确. 故选：D． 【变式4-2】（22-23高一上·江苏常州·期末）常州环球港摩天轮被誉为“龙眼”，是国内最高的屋顶摩天轮.如图所示，该摩天轮直径88米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高.摩天轮采用放射辐条式，共有48个轿厢，一次可供192人观光，逆时针运转一圈需要18分钟.若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果，那么摩天轮转动一周中能有 分钟会有这种最佳视觉效果. 【答案】6 【分析】设摩天轮转动t分钟时游客的高度为h米，由题意求周期，进而列出函数解析式，则满足题意的最佳视觉效果时，化简利用范围即可得出t的范围，即可得出答案. 【详解】设摩天轮转动t分钟时游客的高度为h米， 摩天轮逆时针运转一圈需要18分钟， 则轿厢每分钟旋转角为， 由题意得：， 若游客在距离地面至少98米的高度能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果， 则当时能够获得俯瞰常州市美景的最佳视觉效果， 化简为， ， ， 解得，即， 则摩天轮转动一周中能有6分钟会有这种最佳视觉效果， 故答案为：6. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏镇江·期中）如图，是底部为不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某测量小组为了测得改建筑物的高度，选择了一条水平基线，在两处用测角仪分别测得的仰角分别为，（三点共线）．已知测角仪的高度为，，则该建筑物的高度约为（　　）m． A．35 B．18 C．17 D．15 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用三角函数求出高度，得到答案. 【详解】延长交于点，则，，， 因为，，所以，故， 在Rt中，， 故. 故该建筑物的高度约为. 故选：B 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的频率为周期的倒数，结合正弦函数周期的定义即得答案. 【详解】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4， 所以， 则. 故选：D. 3．（20-21高一·江苏）从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（    ） A．2h米 B．h米 C．h米 D．2h米 【答案】A 【分析】由图可得，，，进而可得结果 【详解】 如图所示，，， 故答案为：A 4．（20-21高一上·江苏南通·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，则点P第一次到达最高点需要的时间为（    ） A．7 B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】设点离水面的高度为，根据题意求出，再令可求出结果. 【详解】设点离水面的高度为， 依题意可得，，， 所以， 令，得，得，， 得，， 因为点P第一次到达最高点，所以， 所以. 故选：D 5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【详解】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 6．已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 7．（22-23高一上·江苏常州·期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（    ）（参考数据：，，） A．5800 B．6000 C．6600 D．7000 【答案】C 【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小. 【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km， 令，则， ∵，，， ∴， 又， 所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼. 故选：C. 8．（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【答案】BC 【分析】求出的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据的值可计算出小球在往复振动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程，求出的可能取值，可判断C选项；求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 对于A选项，函数的最小正周期为， 所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对； 对于C选项，因为当时，， 由可得或， 解得或， 易知，，则的可能取值有：、、、、、、， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对； 对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次， 所以，，因为，则， 所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 10．（24-25高一下·江苏·月考）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中错误的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】ACD 【分析】根据周期求出，代入得到，进而得到函数解析式判断A；再代值判断B；根据正弦函数的性质判断C；利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·江苏淮安·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（    ） A． B．点P第一次到达最高点需用时5s C．点P再次接触水面需用时10s D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为 【答案】BC 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 三、填空题 12．（22-23高一上·江苏盐城·期末）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面22m（即长），摩天轮的半径长为20m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点处，此时有，则距离地面的高度为 ． 【答案】10 【分析】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系，设点的方程为，由题意求得解析式，当代入计算即可得出结果. 【详解】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系如图所示，设点的方程为，摩天轮的半径长为20m得 依题意得得： 又因为，所以，此时， 又当时，，所以取， 所以， 所以当时，，所以距离地面的高度 故答案为：10. 13．（22-23高一上·江苏连云港·期末）一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动3圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示建立平面直角坐标系，将点P到水面的距离z（单位：m．在水面下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，则 ． 【答案】 【分析】先设，再利用题给条件求得各参数值，进而求得函数的解析式. 【详解】设， 水轮每分钟逆时针转动3圈，则函数的最小正周期为20s，则， 由水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，可得， 又，则，又，则， 则 故答案为： 14．（22-23高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．    【答案】 4 【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可； （2）解不等式即得. 【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径， 风车转动一圈为秒，则角速度， 如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系， 设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设， 以为始边，为终边的角不妨取， 那么经过（秒）后，运动到点， 于是，以为始边，为终边的角为， 由三角函数定义知， 则， 所以. （2）令， 所以, 所以. 当时，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒. 故答案为：；.    四、解答题 15．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【答案】最小值为；最大值为. 【分析】连接AP，设，通过三角函数将PQCR面积表示出来，再根据θ取值范围找出面积最值. 【详解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 16．（21-22高一上·江苏徐州·期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足． (1)求函数的解析式； (2)当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间． 【答案】(1)； (2)20秒. 【分析】(1)根据OA求出R，根据周期T＝60求出ω，根据f(0)＝－2求出φ； (2)问题等价于求时t的间隔. 【详解】（1）由图可知：， 周期， ∵t＝0时，在，∴， ∴或，， ，且，则. ∴. （2）点到水面的距离等于时，y＝2， 故 或，即，， ∴当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间20秒. 17．（21-22高一上·江苏盐城·期末）一半径为的水轮(如图所示)，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间． (1)将点到水面的距离(单位：，在水下，则为负数)表示为时间(单位：)的函数； (2)点第一次到达最高点大约需要多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出角速度、振幅得，令求得，从而得到； （2）令，则，再根据的范围得到答案． 【详解】（1）由题意知，每分钟逆时针转3圈，即转动弧度，所以角速度，水轮半径为4，所以振幅为4，故， 时，，所以，所以， （2）令，则， 所以，所以， ， 所以点第一次到达最高点需． 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【答案】(1) (2)小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 (3)4分钟 【分析】（1）法一：设，通过最大值，最小值，列出方程求得，再由周期及具体点求解；法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由周期得到，再结合求解即可； （2）由求解即可； （3）由求解即可； 【详解】（1）方法一：设 由题意知，最大值是41米，最小值是1米， 即，解得 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到 ，得，不妨取 所以 方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度 设经过分钟后，小王同学在点的位置，则 所以点的纵坐标 所以 （2）由题意知，得 因为，所以或10 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 （3）由题意知，即， 根据图像解得 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟 19．（23-24高一上·江苏无锡·期末）深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要，其中心距离地面，半径如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，经过时间单位：之后，请解答下列问题． (1)求出你与地面的距离单位：与时间之间的函数解析式； (2)当你登上摩天轮后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，求两人距离地面的高度差单位：关于的函数解析式，并求高度差的最大值． 【答案】(1) (2),. 【分析】（1）分析题意，建立直角坐标系后，确定数学模型，分别求出即得； （2）根据题意，设出两人距离地面的高度得到关于的函数解析式，经过三角恒等变换，化成正弦型函数，利用正弦型函数的性质即可求得. 【详解】（1） 如图，设摩天轮最低处为点,以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系.依题意，点，以为终边的角为， 因摩天轮每转一圈需要，则摩天轮转动的角速度为，由题意可得：； （2）设朋友登上摩天轮的时间为，其与地面的距离为， 则我已在摩天轮上的时间为，我与地面的距离为， 故， 由可知：，故当或时，， 即在或时，两人距离地面的高度差最大，为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数学建模和三角恒等变换、正弦型函数的性质的应用,属于难题.解决实际应用的问题，关键在于建立坐标系后，对实际问题的分析理解，找到适合的数学模型，求出参数值，再运用该模型解决实际应用问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $