19.1 二次根式及其性质 课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件系统呈现二次根式的概念及性质，通过复习平方根与算术平方根知识，结合长方形围栏面积、自由落体时间等实际问题抽象概念，性质部分借助正方形面积探究和填表验证，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，体现数学眼光与思维，如用围栏面积问题培养抽象能力，填表归纳性质2和3发展推理意识。含视频资源辅助理解，练习分层从基础判断到拓展提升，课堂小结结构化，助力学生建立知识体系，教师可直接用于教学提升效率。

19.1 二次根式及其性质 课时1 二次根式的概念 第十九章 二次根式 R·八年级数学下册 学习目标 1.理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. 2.理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. 3.会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式（组）模型来培养全面思考问题的正确习惯． 复习回顾 你能说出下列问题的结果吗？ （1）16的平方根是______，算术平方根是______. （2）0的平方根是______，算术平方根是______. （3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？ ±4 4 0 0 ﹣2没有平方根，也没有算术平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 如果𝑥2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根. 探索新知 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： （1）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为______m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______. （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h= 5t2. 如果用含有h的式子表示t，则t为______． 上面的问题结果分别是： ， ， . （1）这些式子表示的意义是？ 分别表示65，a2+1， 的算术平方根． （2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2； 含有“ ”. ②被开方数为非负数. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式. a叫作被开方数. 二次根式 的两个必备特征 1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）； 2.被开方数必须是非负数. 1.判断下列各式是否为二次根式． 6 （x，y异号） 分析： 是否含二次根号 是 被开方数是否为非负数 是 是二次根式 否 不是二次根式 否 √ × × √ √ × √ × √ 2.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2.它的长、宽各应取多少？ 【选自教材第3页 练习 第1题】 解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得2x×3x=18，解得x1= ， x2= (舍). 答：它的长取 cm，宽取 cm. 例1 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 二次根式 有意义的条件是：被开方数为非负数，即a≥0. 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） x可以为任意实数 x≥0 x可以为任意实数 x＞0 x＞﹣1 x≤1且x≠0 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0. 1.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ；（2） ；（3） . 2.当a=5时， 的值是______. a≥1 a≤5 a≥ 【选自教材第3页 练习 第2、3题】 点击图片播放视频 2.二次根式 中，字母x的取值范围是（ ）. A.a＜2 B.a≤2 C.a≥2 D.a＞2 随堂练习 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）. A. B. C. D. B D 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； 解：根据题意可得-x2+2x-1≥0， ∴-(x2-2x+1)≥0. ∴x2-2x+1≤0. ∴(x-1)2≤0. ∵(x-1)2≥0， ∴当x=1时， 在实数范围内有意义. 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （2） . 解：根据题意可得-x2-2x-3≥0， ∴-(x2+2x+3)≥0. ∴x2+2x+3≤0. ∴(x+1)2+2≤0. ∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0. ∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 4.已知x，y为实数，且y= − +4，求 的算术平方根. 解：因为x，y为实数，y= − +4， 所以 x−9≥0， 9−x≥0. 所以 = =6，所以 的算术平方根为 . 所以x=9，y=4. 拓展提升 已知 a 满足 ，求 a 的值. 解：由a−5≥0，得a≥5，所以4−a＜0，所以｜4−a｜=a−4. 因为 ， 所以 ，所以 . 所以a−5=16，所以a=21. 课堂小结 二次根式 定义 在有意义条件下求字母的取值范围 含有二次根号 被开方数为非负数 被开方数≥0 分母≠0 19.1 二次根式及其性质 课时2 二次根式的性质 第十九章 二次根式 R·八年级数学下册 学习目标 1.经历二次根式的三条性质的探究概括过程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用. 2.利用二次根式的性质进行计算和化简，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯． 复习回顾 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式. a叫作被开方数. 探索新知 我们知道，二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 性质1：二次根式的双重非负性 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 1.已知实数m，n满足|m+3|+ =0，则m=_____，n=_____. 2.已知(x−2)2+ =0，则 xy 的值为_____. −3 1 问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 正方形的边长为 . 用边长表示正方形的面积为 . 又因为面积为a. 所以 =a. 这个式子对所有的二次根式都成立吗？ 问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？ a(a≥0) 0 0.5 3 … 0 … ( )2 0 0.5 3 … 算术平方根 平方运算 根据问题2直接写出结果，然后根据问题2的探究过程说明理由： =____； =____； =____； =____. 3 0.5 0 把上述计算结论推广到一般，并用字母表示： 一般地， . 性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 例2 计算： （1）( )2； （2）( )2. 解：（1）( )2=1.5； （2）( )2 积的乘方：(ab)2=a2b2 =22×( )2 =4×5=20. 1.计算. 【选自教材第4页 练习 第1题】 （1）( )2； （2）( )2. 解：（1）( )2=3； （2）( )2=32×( )2=9×2=18. 2.在实数范围内分解因式： （1）x2-7； （2）x4-4x2+4. 解：（1）x2-7=(x+ )(x- )； （2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( )2]2=(x+ )2(x- )2. 这里逆用了( )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用. 问题3：填一填，你发现了什么？ a(a≥0) 2 0.1 0 … a2 4 0.01 0 … 2 0.1 0 … 平方运算 算术平方根 观察两者有什么关系？ 思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？ a(a＜0) −2 −0.1 −3 … a2 4 0.01 3 … 2 0.1 3 … 平方运算 算术平方根 归纳小结 把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示： 性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 例3 化简： （1） ； （2） . 解：（1） = =4； （2） = =5. 化简： 【选自教材第4页 练习 第2题】 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 0.3 ﹣π 讨论：如何区别 与 ？ 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 取值范围 a≥0 a取任何实数 运算结果 a ｜a｜ 表示意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 点击图片播放视频 随堂练习 1.化简 的结果是( ). A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4 2.当1<x<3时， 的值为( ). A.3 B. −3 C.1 D. −1 C D 3.a，b，c为三角形的三边长，化简： . 解：由三角形两边之和大于第三边得： a+b-c>0，a+c-b>0. 所以 =a+b-c+(a+c)-b=2a. 拓展提升 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： =_____. 解析：由实数a，b在数轴上的对应点的位置可得−1＜a＜0，1＜b＜2，所以a+1＞0，b−1＞0，a−b＜0， 所以 =a+1−(b−1)+(b−a)=2. 2 课堂小结 二次根式的性质 拓展 a为全体实数 【双重非负性】 $