专题09 高二上期末真题精选：常考210题28类考点专练（期末专项训练）高二数学上学期苏教版

专题09 期末真题百练通关（210题28大常考题型） 题型1 直线的倾斜角与斜率问题 题型15 直线与圆锥曲线的位置关系 题型2 直线的方程问题 题型16 圆锥曲线中的中点弦问题 题型3 两条直线的平行与垂直问题 题型17 圆锥曲线中的面积问题 题型4 距离公式及其应用问题 题型18 等差数列的通项与性质应用问题 题型5 点与直线的对称问题 题型19 等差数列的前n项和与性质应用问题 题型6 圆的方程 题型20 等比数列的通项与性质应用问题 题型7 直线与圆的位置关系 题型21 等比数列的前n项和与性质应用问题 题型8 圆的切线与弦长问题 题型22 数列求和问题 题型9 圆与圆的位置关系 题型23 平均变化率与瞬时变化率问题 题型10 圆的公切线方程问题 题型24 求曲线的切线方程问题 题型11 椭圆的方程与性质问题 题型25 导数中的四则运算 题型12 双曲线的方程与性质问题 题型26 导数中函数的单调性问题 题型13 抛物线的方程与性质问题 题型27 导数的函数的极值（点）问题 题型14 离心率问题 题型28 导数的函数的最值问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的倾斜角与斜率问题（共8小题） 1．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 5．（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 6．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州·期末）已知点和点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 直线的方程问题（共7小题） 9．（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高二下·湖南永州·期末）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 13．（多选）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 ，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所 14．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 15．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 题型三 两条直线的平行与垂直问题（共6小题） 16．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知直线和相互垂直，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25高二上·广西南宁·期末）若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 19．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 20．（多选）（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 21．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 题型四 距离公式及其应用问题（共7小题） 22．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 24．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 26．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ． 27．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为 ． 28．（24-25高二上·河北石家庄·期末）平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为，，两条对角线交点为， (1)求边BC所在直线方程; (2)求平行四边形ABCD的面积. 题型五 点与直线的对称问题（共11小题） 29．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 33．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 35．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 36．（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 37．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 38．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 39．（24-25高二上·四川绵阳·期末）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 题型六 圆的方程（共6小题） 40．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 42.（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 43.（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 44．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程． 45．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 题型七 直线与圆的位置关系（共7小题） 46．（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 47．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 48．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 49.（多选）（24-25高二上·甘肃甘南·期末）对于直线：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．的半径为9 C．与相交 D．被截得的弦长最小值为 50.（多选）（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知点是圆：上任意一点，直线：，是直线上一点，则（    ） A．不可能是直线与圆的公共点 B．圆上有3个点到直线距离为1 C．若直线与圆相切，则长度的最小值为2 D．的取值范围是 51.（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆和y轴相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 52.（24-25高二上·广西南宁·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 题型八 圆的切线与弦长问题（共8小题） 53.（多选）（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 54.（多选）（24-25高二上·安徽六安·期末）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．不存在点，使得 D．直线过定点 55.（多选）（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（   ） A．存在圆心在上的圆与相内切 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值是 D．点关于的对称点在内 56.（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆，直线，则下列结论正确的有（   ） A．直线l过定点 B．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为 C．直线l被圆截得的弦长最小值为 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 57.（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 58.（24-25高二上·上海·期末）已知圆，直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 59.（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 60.（24-25高二上·山东淄博·期末）已知圆 与圆 ， 直线 (1)判断 与圆 的位置关系并证明； (2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 题型九 圆与圆的位置关系（共7小题） 61.（24-25高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 62.（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 63.（多选）（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知圆和圆，则（    ） A．相交 B．相离 C．公共弦所在的方程式 D．公共弦长是 64.（多选）（24-25高二上·四川乐山·期末）已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 65.（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 66.（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 67.（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 题型十 圆的公切线方程问题（共6小题） 68.（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 69.（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 70.（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 71.（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 72.（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 73.（24-25高二上·重庆·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 题型十一 椭圆的方程与性质问题（共10小题） 74．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 75．（24-25高二上·四川资阳·期末）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 76．（24-25高二上·河南周口·期末）已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是焦点在轴上的椭圆 B．点的轨迹是短轴长为1的椭圆 C．点的轨迹是离心率为的椭圆 D．点的轨迹是长轴长为10的椭圆 77．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 78．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为 ；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 79．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 80．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 81．（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点，延长交E于点B，延长交E于点C，则（    ）． A．的面积为 B．的周长为8 C． D．A到直线BC的距离为2 82．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 83．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 题型十二 双曲线的方程与性质问题（共10小题） 84．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 85．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 86．（多选）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 87．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 88．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·期末）以下四个命题中，正确的是（ ） A．设，动点P满足，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 89．（多选）（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（   ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．的最小值为 D．直线的斜率不等于 90．（多选）（23-24高二上·江苏南通·期末）已知，，点的轨迹方程为，则（    ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．直线上存在满足题意的点 C．满足的点共有2个 D．的周长的取值范围是 91．（多选）（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 92．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 93．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 题型十三 抛物线的方程与性质问题（共6小题） 94．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 95．（多选）（24-25高二上·吉林·期末）过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B． C． D． 96．（多选）（24-25高二上·云南昆明·期末）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 97．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 98．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线上一动点到直线的最短距离为 . 99．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 100．（24-25高二上·云南保山·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则 ． 题型十四 离心率问题（共9小题） 101．（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 102．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 103．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 104．（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 105．（24-25高二上·广东茂名·期末）过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 106．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 107．（24-25高二上·广西桂林·期末）设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 108．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 109．（24-25高二上·四川广安·期末）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为 ． 题型十五 直线与圆锥曲线的位置关系（共7小题） 110．（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 111．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 112．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 113．（24-25高二上·山东·月考）过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 114．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 115．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 116．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 题型十六 圆锥曲线中的中点弦问题（共7小题） 117．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 118．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 119．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 120．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 121．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 122．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 123．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型十七 圆锥曲线中的面积问题（共6小题） 124．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 125．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 126．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积. 127．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 128．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 129．（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 题型十八 等差数列的通项与性质应用问题（共6小题） 130．（24-25高二上·重庆·期末）在等差数列中，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 131．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 132．（24-25高二上·江苏南京·期末）在无穷等差数列中，若，且，则 ． 133．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 134．（24-25高二上·安徽合肥·期末）将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则 135．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 题型十九 等差数列的前n项和与性质应用问题（共8小题） 136．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 137．（25-26高二上·河南·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 138．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 139．（24-25高二上·江苏无锡·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　）    A． B． C． D． 140．（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 ． 141．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知两个等差数列2，6，10，，118及2，8，14，，116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 . 142．（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 143．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 题型二十 等比数列的通项与性质应用问题（共7小题） 144．（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 145．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 146．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 147．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 148．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式 . 149．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 150．（24-25高二上·北京东城·期末）已知数列满足：，． (1)若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和； (2)若数列是等比数列，求的通项公式． 题型二十一 等比数列的前n项和与性质应用问题（共5小题） 151．（24-25高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 152．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 153．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 154．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 155．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型二十二 数列求和问题（共7小题） 156．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 157．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 158．（25-26高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 159．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 160．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 161．（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 162．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型二十三 平均变化率与瞬时变化率问题（共7小题） 163．（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 164．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 165．（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 166．（24-25高二下·河南濮阳·期末）一质点的位移（m）与运动时间（s）的关系式为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 167．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 168．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 169．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 题型二十四 求曲线的切线方程问题（共10小题） 170．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 171．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 172．（24-25高二下·广东潮州·期末）设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 173．（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 174．（24-25高二下·广东·期末）若曲线 () 与圆有公共点，且在点处的切线相同，则（   ） A． B． C． D． 175．（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 176．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 177．（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 178．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 179．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 题型二十五 导数中的四则运算（共7小题） 180．（24-25高二下·天津西青·期末）函数 则等于（    ） A．    B． C． D． 181．（24-25高二下·辽宁·期末）运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 182．（23-24高二下·江苏镇江·期末）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 183．（24-25高二下·广东广州·期末）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 184．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 185．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 186．（24-25高二下·北京石景山·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二十六 导数中函数的单调性问题（共10小题） 187．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 188．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 189．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 190．（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 191．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 192．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 193．（24-25高二下·四川广元·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 194．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 195．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 196．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 题型二十七 导数的函数的极值（点）问题（共8小题） 197．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 198．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 199．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 200．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 201．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 202．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 203．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 204．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，函数. (1)若2是的极值点，求的值和该极值； (2)讨论函数单调性. 题型二十八 导数的函数的最值问题（共5小题） 205．（24-25高二下·天津和平·期末）已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 206．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 207．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数，. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论函数的单调性. 208．（24-25高二下·山东滨州·期末）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若，，求实数a的取值范围． 209．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数在处取到极值. (1)求； (2)设，求的最小值. 210．（24-25高二下·北京西城·期末）已知函数，. (1)当时， （ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求的值. 1．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．公差 C． D．当或时，最小 6．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（   ） A．的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为 8．已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 9．已知椭圆的焦距为. (1)求的方程； (2)过上一动点作椭圆的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值. 10．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. $专题09 期末真题百练通关（210题28大常考题型） 题型1 直线的倾斜角与斜率问题 题型15 直线与圆锥曲线的位置关系 题型2 直线的方程问题 题型16 圆锥曲线中的中点弦问题 题型3 两条直线的平行与垂直问题 题型17 圆锥曲线中的面积问题 题型4 距离公式及其应用问题 题型18 等差数列的通项与性质应用问题 题型5 点与直线的对称问题 题型19 等差数列的前n项和与性质应用问题 题型6 圆的方程 题型20 等比数列的通项与性质应用问题 题型7 直线与圆的位置关系 题型21 等比数列的前n项和与性质应用问题 题型8 圆的切线与弦长问题 题型22 数列求和问题 题型9 圆与圆的位置关系 题型23 平均变化率与瞬时变化率问题 题型10 圆的公切线方程问题 题型24 求曲线的切线方程问题 题型11 椭圆的方程与性质问题 题型25 导数中的四则运算 题型12 双曲线的方程与性质问题 题型26 导数中函数的单调性问题 题型13 抛物线的方程与性质问题 题型27 导数的函数的极值（点）问题 题型14 离心率问题 题型28 导数的函数的最值问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直线的倾斜角与斜率问题（共8小题） 1．（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解. 【详解】依题意，得，解得， 故选：C． 2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 4．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【答案】C 【分析】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果. 【详解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 5．（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 6．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 7．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 8．（25-26高二上·贵州·期末）已知点和点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点和点分别代入直线中，数形结合可得. 【详解】将点代入直线中，得，得； 将点代入直线中，得，得； 画出图形如图所示， 则该直线与线段有交点时，实数的取值范围是． 故选：C． 题型二 直线的方程问题（共7小题） 9．（24-25高二上·重庆·期末）过 、 两点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程的截距式即可求解. 【详解】设直线方程为， 由题意， 即直线方程为：， 故选：A 10．（多选）（24-25高二下·湖南永州·期末）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 11．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【详解】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为， 故选：D 12．（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 13．（多选）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD 14．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 15．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 题型三 两条直线的平行与垂直问题（共6小题） 16．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 17．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知直线和相互垂直，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据直线垂直列方程计算求参. 【详解】直线和相互垂直， 则，则. 故选：D. 18．（24-25高二上·广西南宁·期末）若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据直线垂直满足的关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 19．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 20．（多选）（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【详解】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 21．（24-25高二上·广东广州·期末）已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此 故答案为：2 题型四 距离公式及其应用问题（共7小题） 22．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可得，然后利用平行线间的距离公式可算出答案. 【详解】已知直线与直线平行，则，解得. 直线化为；直线为直线. 它们之间的距离为. 故选：A. 23．（24-25高二上·四川乐山·期末）点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 24．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 25．（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式求解即可； 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为： 26．（24-25高二上·江西九江·期末）两平行直线，之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先将变换直线为，再利用两平行线间的距离即可求得结果. 【详解】由题意得，由两平行线间的距离公式，得． 故答案为： 27．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可. 【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为3． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得， 解得． 故答案为：． 28．（24-25高二上·河北石家庄·期末）平行四边形ABCD的两条邻边AD，AB所在的直线分别为，，两条对角线交点为， (1)求边BC所在直线方程; (2)求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1)； (2)36 【分析】（1）由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求边BC所在直线的方程. （2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得，， 为对角线的交点，即AC的中点， 由中点坐标公式得， ，， 由点斜式直线方程可得， 即； （2）由，得， ， 由点到直线的距离公式可得， 题型五 点与直线的对称问题（共11小题） 29．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 30．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 31．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 32．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 33．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C 34．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 35．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 36．（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【分析】先求出关于x轴的对称点，再求出直线的方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 37．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 38．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 39．（24-25高二上·四川绵阳·期末）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 题型六 圆的方程（共6小题） 40．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D 41．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理即可得解． 【详解】设，因为，则，整理得. 故选：B． 42.（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【详解】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为： 43.（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 44．（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由题可得AB中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案. （2）联立，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C的标准方程. 【详解】（1）由题意得直线AB的斜率为， 直线AB的方程为，即， 又因为A，B两点的坐标为，，所以AB中点的坐标为， 因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即． （2）由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上， 联立，解得，所以圆心C的坐标为， 圆的半径为， 所以，圆C的标准方程为． 45．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【详解】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 题型七 直线与圆的位置关系（共7小题） 46．（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【分析】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 47．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，依据直线与圆的位置关系可得结论． 【详解】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 48．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】易知直线过定点且该点在圆内，即可知直线与圆的位置关系为相交. 【详解】将直线整理变形可得， 令，解得， 即直线恒过定点， 显然，即定点在圆内， 可知直线与圆一定相交. 故选：D 49.（多选）（24-25高二上·甘肃甘南·期末）对于直线：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．过定点 B．的半径为9 C．与相交 D．被截得的弦长最小值为 【答案】ACD 【分析】由直线过定点即可判断AC，将圆的方程化为标准式即可判断B，由直线与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，直线：可变形为， 由可得，所以直线过定点，故A正确； 对于B，圆：的标准式为， 则圆心，半径为，故B错误； 对于C，将点代入圆的标准式可得， 所以点在圆内，则直线与圆相交，故C正确； 对于D，当直线与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小， 且点和圆心的距离， 则弦长最小值为，故D正确； 故选：ACD 50.（多选）（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知点是圆：上任意一点，直线：，是直线上一点，则（    ） A．不可能是直线与圆的公共点 B．圆上有3个点到直线距离为1 C．若直线与圆相切，则长度的最小值为2 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系可判断A，由与直线距离为1的直线至多一条与圆有公共点判断B，根据切线性质转化为求圆心到直线距离的最小值即可判断C，利用三角换元求范围判断D. 【详解】由圆：知圆心为，半径， 对A，圆心到直线：的距离， 所以直线与圆相离，故A正确； 对B，设与直线：平行且距离为1的直线为， 则，解得或，由A选项可知，时直线在下方，不可能和圆有公共点，所以只有直线为有可能与圆有公共点，但至多2个，故B错误； 对C，当直线与圆相切时，，所以当取最小值时，有最小值，由A知，，所以长度的最小值为，故C正确； 对D，因为点是圆：上任意一点， 可设，则， 由可知，故D正确. 故选：ACD 51.（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆和y轴相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆心到直线距离与圆的半径比较即可判断；对于B，由圆心在直线上易判断；对于C，由直线经过的定点在圆内，即可判断；对于D，利用所求式的几何意义，结合图形即可求得其最大值. 【详解】对于A，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A错误； 对于B，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B正确； 对于C，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C正确； 对于D，依题意，在上， 而可理解为圆上的点与点的距离， 由图知，故D正确. 故选：BCD. 52.（24-25高二上·广西南宁·期末）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)若点的轨迹为曲线，已知直线的方程为，请判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)相离，理由见解析. 【分析】（1）设，根据已知得，又在圆上运动，代入求轨迹方程； （2）写出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离并判断其与半径大小，即可判断位置关系. 【详解】（1）令为线段的中点，又，则， 又在圆上运动，故， 所以，故点的轨迹方程为. （2） 由（1）知圆心，且半径， 所以圆心到的距离， 所以直线与曲线相离. 题型八 圆的切线与弦长问题（共8小题） 53.（多选）（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 54.（多选）（24-25高二上·安徽六安·期末）已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（    ） A．直线与圆相交 B．的最小值为 C．不存在点，使得 D．直线过定点 【答案】BD 【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离， 直线与圆相离，故A错误； 对于B，点在圆上，则，故B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，故C错误； 对于D，设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由， 解得，即直线过定点，故D正确. 故选：BD. 55.（多选）（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作直线，分别与相切于点，，则（   ） A．存在圆心在上的圆与相内切 B．四边形面积的最小值为 C．的最小值是 D．点关于的对称点在内 【答案】ABD 【分析】利用两圆内切的条件判断A；借助切线长定理求出面积最小值判断B；求出时对应弦长判断C；求出点关于直线的对称点到圆心距离判断D. 【详解】圆：的圆心，半径 对于A，在直线上取点，，点在圆外， 以点为圆心，为半径的圆与圆相内切，A正确； 对于B，四边形面积， 点到直线的距离，则，， 当且仅当时取等号，B正确；    对于C，当时，，由，得， 解得，C错误； 对于D，点到直线的距离为，点与点的距离为5， 点与圆心确定的直线斜率为，而直线的斜率为， 即点与确定的直线垂直于，因此点关于的对称点到点的距离为， 则点关于的对称点在内，D正确. 故选：ABD 56.（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆，直线，则下列结论正确的有（   ） A．直线l过定点 B．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为 C．直线l被圆截得的弦长最小值为 D．若点是圆上的动点，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A，将直线方程化为点斜式判断求解；对B，当圆心在直线上时，直线被圆解得的弦长最长，运算得解；对C，根据圆心与定点的连线与直线垂直，即可求解最短弦长判断；对D，根据圆的性质，，求解判断. 【详解】由题，圆，圆心，半径， 对于A，直线的方程可变为，所以直线过定点，故A正确； 对于B，当圆心在直线上时，直线被圆解得的弦长最长， 则，解得，此时直线的方程为，故B错误； 对于C，当定点与圆心的连线垂直于时，此时圆心到直线的距离最大为， 所以所截得的弦长最小为，故C正确； 对于D，根据圆的性质，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 57.（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】(1)，D在圆M内 (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 58.（24-25高二上·上海·期末）已知圆，直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列出等式求解即可； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，进而可求解； 【详解】（1）因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：， 所以直线的方程： （2）设圆心到直线的距离为， 则， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程： 59.（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 60.（24-25高二上·山东淄博·期末）已知圆 与圆 ， 直线 (1)判断 与圆 的位置关系并证明； (2)过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ， 求 的最小值. 【答案】(1) 与圆 相交. (2) 【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系； （2）先求出的 轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值. 【详解】（1）直线的方程可化为：，令， 故，故直线过定点，而， 故该定点在圆的内部，故 与圆 相交. （2）两圆的半径均为1， 因为，故即， 故，故， 故的轨迹为直线. 因为表示，而，故. 故的最小值为. 题型九 圆与圆的位置关系（共7小题） 61.（24-25高二上·天津西青·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来判断. 【详解】对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 对于圆，可得圆的圆心坐标为，半径. 可得两圆的圆心距. 因为，而圆心距，所以. 故两圆的位置关系是外切. 故选：D. 62.（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先要将圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将圆的方程化为标准方程, 圆，将其配方可得. 此时圆的圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 两圆半径之和，两圆半径之差. 因为，所以两圆相交. 当两圆相交时，公切线的条数为条. 故选：B. 63.（多选）（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知圆和圆，则（    ） A．相交 B．相离 C．公共弦所在的方程式 D．公共弦长是 【答案】ACD 【分析】A，B选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定位置关系；C选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D选项，利用C选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心到的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长. 【详解】圆即，圆心，半径， 圆即，圆心，半径， 圆心距，又因为，， 所以，所以两圆相交，故A正确，B错误； 两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C正确； 圆心到的距离为， 由垂径定理得：两圆的公共弦长为，D正确. 故选：ACD. 64.（多选）（24-25高二上·四川乐山·期末）已知和，则下列说法正确的是（   ） A．两圆相交，有两个公共点 B．两圆的公共弦所在直线方程为 C．两圆公共弦长度为 D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】确定两圆的圆心和半径，确定两圆的位置关系，可确定两圆的位置关系，判断A的真假；求两圆公共弦所在直线方程，确定B的真假；求公共弦长判断C的真假；求满足条件的圆的标准方程，判断D的真假. 【详解】因为：，所以，. ：，所以，. 所以. 对A选项：因为，即，所以两圆相交，有两个公共点，故A正确； 对B选项：由， 所以两圆的公共弦所在直线方程为即，故B正确； 对C选项：到直线的距离为：，所以两圆的公共弦长度为：，故C错误； 对D选项：设所求圆的方程为：（） 整理得：. 因为圆心在直线上，所以. 所以所求圆的方程为：即， 配方得：.故D正确. 故选：ABD 65.（24-25高二上·广东·期末）已知，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求的标准方程； (2)求与的公切线条数，并探究与是否有公共弦，若有，求出公共弦的一般式方程；若没有，说明理由． 【答案】(1) (2)2条，有， 【分析】（1）求出的中点坐标、可得圆心坐标、半径，可得的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，可求出公共弦方程． 【详解】（1）因为，所以的中点为， 且， 因为是以线段为直径的圆，即圆心为， 半径， 所以的标准方程为； （2）圆的圆心2， 又， 所以，故两圆相交，其公切线条数为2， 此时有公共弦， 则两圆方程作差得到公共弦的一般式方程为． 66.（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 67.（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 题型十 圆的公切线方程问题（共6小题） 68.（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 69.（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 70.（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可得圆心；设出两圆的公切线方程，注意讨论斜率是否存在，由切线的性质列式计算即可得公切线方程. 【详解】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 71.（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 72.（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 73.（24-25高二上·重庆·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】/// 【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径 圆的圆心为，半径 又因为 所以圆与圆相离，所以有4条公切线. 画图为： 易得或是圆和的公切线 设另两条公切线方程为： 圆到直线的距离为 圆到直线的距离为 所以 所以或 或 当时 所以，切线方程为 当时 所以 所以 所以或 当时，切线方程为 当时，切线方程为 故答案为：或或或 题型十一 椭圆的方程与性质问题（共10小题） 74．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 故选：B 75．（24-25高二上·四川资阳·期末）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 76．（24-25高二上·河南周口·期末）已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是焦点在轴上的椭圆 B．点的轨迹是短轴长为1的椭圆 C．点的轨迹是离心率为的椭圆 D．点的轨迹是长轴长为10的椭圆 【答案】D 【分析】先设，点，则， 由得，，代入，化简得到轨迹方程，结合长短轴概念，离心率公式计算判定即可. 【详解】设，则， 设点，则， 由得，， 所以，则， 代入，得， 即，则， 所以，， 所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，短轴长为， 离心率为，长轴长为，故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 77．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 78．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”．若椭圆方程为，则其蒙日圆方程为 ；点为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据过椭圆四个顶点分别作椭圆的切线，可得圆的方程，根据直线与圆相离，可得，即可由离心率公式求解. 【详解】过的四个顶点分别作椭圆的切线，则得到交点， 故这四个点在圆上，故该圆的圆心为原点，半径为， 因此蒙日圆为： 由上知的蒙日圆方程为， 由于动点在直线上，且恒为锐角， 故在圆外，因此直线与圆相离， 故，解得， 故离心率为，故， 故答案为：； 79．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，过点作斜率不为0的直线l，直l与椭圆C交于两点，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由椭圆方程及椭圆的定义求焦点相关三角形的周长即可. 【详解】由题意， 所以的周长为16. 故选：C 80．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据“两点之间，线段最短”可求得的最小值. 【详解】由椭圆，得，∴， 由得，所以圆心，半径为. 设分别与椭圆、圆交于点 则，, 所以， 当且仅当四点共线时取等号 的最小值为. 故选：A. 81．（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点，延长交E于点B，延长交E于点C，则（    ）． A．的面积为 B．的周长为8 C． D．A到直线BC的距离为2 【答案】AC 【分析】利用椭圆的性质及重要结论，来判断各选项即可. 【详解】 ，的面积为，故A正确； 周长为8，由，故的周长大于8，故B错误； 利用椭圆性质，由， ，故C正确； ，而，故A到直线BC距离为，故D错误； 当然也可以由不垂直到直线BC的距离小于2． 故选：AC. 82．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）设椭圆C：的左､右焦点分别为，是上的动点，则（    ） A． B．C的离心率为 C．面积最大值为 D．上有且只有4个点，使得是直角三角形 【答案】AD 【分析】根据椭圆的方程求得的值，结合椭圆的定义，离心率的定义和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确； 由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C错误； 因为以为直径的圆的方程为， 联立方程组，整理得，即方程组无解， 所以以点为直角顶点的不存在； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和； 过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和， 综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确. 故选：AD. 83．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【详解】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 题型十二 双曲线的方程与性质问题（共10小题） 84．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 85．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】将双曲线渐近线分别与直线联立，求得两点的横坐标，结合可得，运算得解. 【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理， 由，则，即，整理得， 所以离心率. 故选：D.      86．（多选）（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 【答案】AD 【分析】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 87．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 88．（多选）（24-25高二上·江苏盐城·期末）以下四个命题中，正确的是（ ） A．设，动点P满足，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则 C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】CD 【分析】根据双曲线的定义判断A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断B；解一元二次方程，结合双曲线、椭圆离心率的性质判断C；根据方程直接写出双曲线、椭圆的焦点坐标判断D. 【详解】A：由，结合双曲线的定义易知动点P的轨迹为双曲线的左支，错； B：由曲线为椭圆，则，可得且，错； C：，可得或，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，对； D：双曲线中，则焦点为， 椭圆中，则焦点为，即焦点相同，对. 故选：CD 89．（多选）（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（   ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．的最小值为 D．直线的斜率不等于 【答案】ABD 【分析】根据条件得到，即可求出虚轴长和离心率，从而判断出A和B的正误；对于C，求出到直线的距离，即可求解；对于D，求出过点且斜率为的直线，并判断与直线的位置关系，即可求解. 【详解】因双曲线的渐近线为，由题有，得到， 对于A，因为虚轴长为，正确， 对于B，因为的离心率为，正确， 对于C，因为直线，，所以到直线的距离为， 所以的最小值为，错误， 对于D，因为过点且斜率为的直线方程为， 即与直线平行，又是上一点， 所以直线的斜率不等于，正确， 故选：ABD. 90．（多选）（23-24高二上·江苏南通·期末）已知，，点的轨迹方程为，则（    ） A．点的轨迹为双曲线的一支 B．直线上存在满足题意的点 C．满足的点共有2个 D．的周长的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由题意可得点的轨迹方程为，设，则，再根据双曲线的定义与性质逐一判断即可. 【详解】因为点的轨迹方程为， 即， 设， 则， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，故A正确； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C错误； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 91．（多选）（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 92．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】由题意求出焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【详解】双曲线方程可化为C：，∴渐近线方程为． 又，∴，故焦点坐标为， 取其中一个焦点坐标和一条渐近线，即， ∴一个焦点到一条渐近线的距离为． 故答案为：. 93．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 题型十三 抛物线的方程与性质问题（共6小题） 94．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 95．（多选）（24-25高二上·吉林·期末）过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设AB直线方程为，根据抛物线的几何性质，设而不求法及根与系数的关系，即可分别求解． 【详解】物线C：的焦点到准线的距离为， 焦点F为，准线方程为，选项正确； 设AB直线方程为， 联立，可得，又，， ，，选项正确； ，， ，选项正确； ，， ， 选项错误． 故选：ACD. 96．（多选）（24-25高二上·云南昆明·期末）设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（    ） A．准线l的方程是 B．的最小值为4 C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切 【答案】BD 【分析】对于A，由抛物线的标准方程，可得其正误；对于B，由题意作图，根据抛物线的定义，进行等量代换，可得其正误；对于C，求出直线方程，联立方程组，写出韦达定理，利用弦长公式，可得其正误；对于D，根据圆的切线判定，结合抛物线的定义以及梯形中位线的性质，可得其正误. 【详解】对于A，由抛物线，则，所以准线的方程为，故A错误； 对于B，由题意，过作，垂足为， 设点到直线的距离为，由图可知，故B正确； 对于C，由，则直线的方程为， 代入，可得，整理可得， 由，设直线与抛物线的两个交点分别为和， 则，，所以弦长为，故C错误； 对于D，取的中点为，并过作，垂足为，记准线与轴交点为，如下图： 设以为直径的圆的半径为，由图可知其圆心为， 由图可知， 易知到轴的距离为，则圆与相切，故D正确. 故选：BD. 97．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 98．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）抛物线上一动点到直线的最短距离为 . 【答案】 【分析】设点，则过点的切线斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，结合条件可求，结合点到直线距离公式求结论. 【详解】设抛物线上动点， 由题意可得，当点到直线的距离最小时， 点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线， 设直线与抛物线相切，则的， 解得，则有，，即 ， 所以点到直线的最小距离 . 故答案为：. 99．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 【答案】 【分析】首先求出焦点坐标，依题意点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，从而得到，即可得解. 【详解】抛物线焦点为， 点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， ，解得； 故答案为： 100．（24-25高二上·云南保山·期末）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若的最小值为9，则 ． 【答案】2 【分析】联立直线与抛物线方程可得韦达定理可得，进而可得，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】，设直线的方程为， 将其代入中，得， 设，则，， ， 当且仅当时等号成立，∴由的最小值为得． 故答案为：2 题型十四 离心率问题（共9小题） 101．（25-26高二上·广东·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义及焦点三角形为直角三角形求解即可. 【详解】设，，，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且， 可得，，，可得， 所以，所以椭圆的离心率为：． 故选：A． 102．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0， b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．+1 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义（或方程）及对称性，结合菱形的性质，可得关系，进而得到双曲线的离心率. 【详解】如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,且根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以点在双曲线上，代入双曲线方程，得, 整理得：， 联立, 得：,化简得： 两边同除以,得：,解得：,. 因为双曲线的离心率大于1，所以. 方法二：如图，因为四边形OFMN为菱形，所以, 记双曲线的焦距为，右焦点为,则,根据双曲线的对称性，点的横坐标为, 所以，所以,所以点的纵坐标为, 所以,以, 由双曲线的定义，知,所以, 所以,双曲线C的离心率为. 故选：D. 103．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知、分别为椭圆C的左、右焦点，过的直线与C交于A、B两点，，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求出椭圆离心率. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 由，得，即， 整理得，解得，则，即点在轴上，    如图，在直角中，， 在中，，化简得， 所以椭圆的离心率. 故选：D 104．（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用得，即轴，进而求得，再利用勾股定理得转化为，解方程可得答案. 【详解】由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则， 于是轴，，则， 因此，即， 整理得，则，而，所以. 故选：A 105．（24-25高二上·广东茂名·期末）过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点（、均在轴右侧）.已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件结合三角形与内切圆的位置关系得出点在的角平分线上， 利用线线垂直证出四边形进而证出为正方形，由焦点到渐近线的距离结合双曲线、 、三者的几何意义，利用直线的斜率与倾斜角的关系式得出的值，结合双曲线的离心率与 的关系式得出双曲线的离心率. 【详解】如图， 设的内切圆的圆心为，则在的平分线上， 过点分别作于，于， 由得出四边形为正方形， 设，直线的方程为，则. 又因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 106．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据求解. 【详解】设，则双曲线的渐近线方程为， 因此， 故， 由于在双曲线上，故，即， 因此， 由于， 由可得，故，故离心率的最小值为， 故选：B 107．（24-25高二上·广西桂林·期末）设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用为等边三角形，构造焦点三角形，根据几何关系以及椭圆定义，得到的等量关系，即可求得离心率. 【详解】设椭圆另一焦点为，不妨设在第二象限，连接，根据题意，作图如下： 因为为等边三角形，即可得：， 则， 则， 由椭圆定义可知：， 故可得：． 故选：B 108．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，， 所以的取值范围是. 故选：D 109．（24-25高二上·四川广安·期末）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为，现有如图所示的两个椭圆，，离心率分别为，，内含于，椭圆上的任意一点M关于的极线为，若原点到直线的距离为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据定义写出极线的方程，由点到直线距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆上找到，的关系，再利用基本不等式计算可得. 【详解】设，椭圆的方程：，椭圆方程：，， 则有①， 由极线的定义得直线的方程为，即， 又原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，， 则有， 因为椭圆的离心率在内，所以， 所以， 当且仅当，即时取等，此时， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型十五 直线与圆锥曲线的位置关系（共7小题） 110．（25-26高二上·山西·期末）直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 111．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 112．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意联立直线与抛物线可求的范围，再利用命题的充分性与必要性判断即可. 【详解】命题q：直线与抛物线无公共点，把代入即无解，，又命题p：，所以q是p的充分不必要条件. 故选：A. 113．（24-25高二上·山东·月考）过点且与抛物线只有1个公共点的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】分直线与抛物线相切和与对称轴平行求解. 【详解】解：因为点A在C上， 所以过点A且与C相切的直线只有1条，该切线满足题意． 过点A且斜率为0的直线与C也只有1个公共点， 所以满足题意的直线有2条． 故选：C 114．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【详解】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A 115．（24-25高二上·北京西城·期末）已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，直线与双曲线相切时，则， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 116．（25-26高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，设点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的定义求解. （2）设直线的方程为，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算的值． 【详解】（1）已知点，，， 则，由双曲线定义可知， 点的轨迹为焦点在轴上的双曲线， 实轴长为，焦距为，因为， 所以点的轨迹方程为； （2）过点且斜率为的直线方程为， 代入双曲线方程得： 当二次项系数为时，即，方程为，有唯一解， 此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点. 当二次项系数不为时，即，需判别式， 化简得，解得，此时直线与双曲线相切，有唯一公共点. 综上，实数的值为或. 题型十六 圆锥曲线中的中点弦问题（共7小题） 117．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 118．（25-26高二上·广东·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    119．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 120．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法，结合斜率公式可得，即可根据的关系求解. 【详解】设，则且， 相减可得， 故， 故， 又，故，解得， 故长轴长为， 故选：B 121．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设，所以①，②， 所以，①②得：，即， 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以抛物线，准线方程为. 故选：B 122．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 123．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 题型十七 圆锥曲线中的面积问题（共6小题） 124．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 【答案】(1) (2)2. 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果； （2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解. 【详解】（1）因为是椭圆短半轴的一个顶点，则， 又，则， 由，则， 所以C的方程为. （2）如下图所示： 根据椭圆的定义及可得 ① ② 联立①②得， 则的面积为， 因为的面积是的面积为， 所以的面积为2. 125．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【详解】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 126．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到准线的距离为，可求，由此可得抛物线方程； （2）不妨设点，由条件列方程求，再结合面积公式求结论. 【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形， 所以，轴的非负半轴为的平分线， 根据抛物线的对称性，不妨设点，则， 则，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 故的面积. 127．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程与离心率； (2)当直线l的倾斜角是时，求的面积． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设出椭圆的标准方程，再由给定条件列出方程求解，进而求出离心率. （2）求出直线的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：， 依题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为：，离心率. （2）依题意，直线的方程为，设， 由消去得，，， 所以的面积. 128．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【答案】(1)F的坐标为，准线方程为； (2) 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线方程进行求解即可； （2）先求出点M的坐标，得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、焦点弦长公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2）    因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 129．（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 题型十八 等差数列的通项与性质应用问题（共6小题） 130．（24-25高二上·重庆·期末）在等差数列中，，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的基本量运算求得公差，再由通项公式得项． 【详解】设公差为，则由得，解得， 所以， 故选：B． 131．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【详解】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 132．（24-25高二上·江苏南京·期末）在无穷等差数列中，若，且，则 ． 【答案】0 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，进而求出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案为：0. 133．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 134．（24-25高二上·安徽合肥·期末）将数列与的所有公共项从小到大排列形成一个新的数列，则 【答案】 【分析】根据条件，找规律可得是首项为，公差为的等差数列，即可求解. 【详解】易知数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列，即， 所以是首项为，公差为的等差数列，得到， 故答案为：. 135．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推式和首项依次求解即可， （2）给，再利用等差数列定义即可求出通项公式. 【详解】（1），， ，，，. （2）由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 题型十九 等差数列的前n项和与性质应用问题（共8小题） 136．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（    ） A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可判断其公差，即判断AC，再利用前项和公式即可判断BD. 【详解】对A，因为等差数列，则，则，故A错误； 对B，设等差数列的公差为，则，则， 则的最小值为，故B正确； 对C，因为，则数列为递增数列，故C错误； 对D，因为，，则， 则，故D错误. 故选：B. 137．（25-26高二上·河南·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）. 故选：C 138．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 139．（24-25高二上·江苏无锡·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 【详解】由题意可得，,…… 所以，. 所以， 所以，+++…+ 故选：D 140．（24-25高二上·海南·期末）记数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】首先根据等差数列求出公式求出，即可得到，再利用裂项相消法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 141．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知两个等差数列2，6，10，，118及2，8，14，，116，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 . 【答案】560 【分析】先求出新数列的公差及最后一项，再结合等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】等差数列2，6，10，…118中，公差， 等差数列2，8，14，…，116中，公差， ，6的最小公倍数是12， 由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差， 新数列最大项， ， 解得 ， 新数列中第10项 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列： 2，14，26，…，110 各项之和为 故答案为：560. 142．（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为， (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解， （2）根据单调性即可求解， （3）根据的正负，即可分类求解. 【详解】（1）由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， （2）， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， （3）由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 143．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 题型二十 等比数列的通项与性质应用问题（共7小题） 144．（24-25高二下·广东江门·期末）已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【详解】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 145．（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 146．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【详解】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 147．（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 148．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由已知求得，然后由等比中项定义求出，再分为奇函数，偶数分别求出通项公式. 【详解】因为， 所以，， 又是的比例中项，所以，即， 显然且，故解得； 当是奇数时，，， 所以，而， 所以数列是等比数列， 则，即； 当是偶数时，则； 综上可得. 故答案为： 149．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给的条件，将分别代入求得结果； （2）得出数列的相邻两项之间的递推关系，验证前两项，从而得出数列为等比数列，从而写出数列的通项公式. 【详解】（1）当时，可得，解得，. 当时，可得，， 解得. （2）因为，当时，. 所以， 即，（）， 另由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. . 150．（24-25高二上·北京东城·期末）已知数列满足：，． (1)若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和； (2)若数列是等比数列，求的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质和公式求首项和公差，即可求通项公式和前项和公式，即可求解； （2）根据等比数列的公式和性质求首项和公比，即可求通项公式. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以． 所以． 所以， 即， 解得． 所以数列的通项公式， 即， 所以数列的前n项和， 即． （2）因为数列是等比数列， 所以． 由， 得， 即， 解得． 所以． 数列的通项公式为． 题型二十一 等比数列的前n项和与性质应用问题（共5小题） 151．（24-25高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：D 152．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 153．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的首项为，公差为d，根据条件建立方程组，解出，即可求解； （2）由（1）可得，利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 由题可得， 解得，，所以. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 154．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 155．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. （2）因为，所以， 所以. 题型二十二 数列求和问题（共7小题） 156．（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 157．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 158．（25-26高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且，，其中. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前20项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，当，求出，当得出，然后结合已知条件得出证明； （2）由（1）得出，然后对进行讨论，结合对数运算性质和等差数列求和公式以及裂项相消法求数列和，分别求出和，然后相加即可得出. 【详解】（1）证明：对于，， 当时，，， 当时，由，① 得，② ①②两式相减得， 由于， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得出， 所以当为奇数时， ，， 所以奇数项以为首项，公差为2的等差数列， 又，所以， 当为偶数时，， ， 所以 ， 所以. 159．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求出数列的通项； （2）利用等差数列与等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，，所以， 计算可得，可得或3， 又因为，所以， 由此可得， ； （2）， 所以， 利用等差数列与等比数列的求和公式计算可得， ． 160．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为d，利用已知条件求出可得答案； （2）求出n为奇数、偶数时，再利用分组利用等差数列、等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设的公差为d， 由得， 化简得，解得，所以； （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时 所以 161．（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【详解】（1）∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴ . 162．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倒序相加法可求得； （2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数满足，数列满足， 则， 所以，， 故. （2）解：由（1）可得， 则， 所以，， 上式下式可得， 所以，，则， 所以，， 由可得，则， 因为， 因为函数在上单调递增， 且，故当时，取最大值，故. 因此，实数的取值范围是. 题型二十三 平均变化率与瞬时变化率问题（共7小题） 163．（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可. 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 164．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 165．（24-25高二下·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 166．（24-25高二下·河南濮阳·期末）一质点的位移（m）与运动时间（s）的关系式为，则该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，将代入求出导数值即是该质点在时的瞬时速度. 【详解】因为质点的位移与时间的关系式为， 所以对函数求导得. 所以. 所以该质点在时的瞬时速度为7m/s. 故选：D. 167．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在点处导数的概念进行判断即可. 【详解】因为. 故选：D 168．（24-25高二下·陕西渭南·期末）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在某点处导数的定义可求答案. 【详解】由在某点处导数的定义可知， 所以. 故选：A 169．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 题型二十四 求曲线的切线方程问题（共10小题） 170．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 171．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【详解】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知：. 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 172．（24-25高二下·广东潮州·期末）设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．6 D．14 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以，， 所以． 故选：D. 173．（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 174．（24-25高二下·广东·期末）若曲线 () 与圆有公共点，且在点处的切线相同，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别对曲线和圆求导，根据斜率相等求出参数的值即可. 【详解】对曲线求导得，，所以切点所在的切线的斜率为， 因为圆的方程为，所以， 求导得，因为，所以， 所以有，化简得，解得. 所以点，所以切线方程为. 因为该切线与圆相切，所以圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得. 故选：B. 175．（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 176．（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【详解】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 177．（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 178．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到在点处的切线方程可表示为：，再由切线方程是，建立方程组求解. 【详解】因为，所以． 在点处的切线方程可表示为： ， 又因为曲线在点处的切线方程是， 所以解得． 故选：C. 179．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 题型二十五 导数中的四则运算（共7小题） 180．（24-25高二下·天津西青·期末）函数 则等于（    ） A．    B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本函数导数计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：A 181．（24-25高二下·辽宁·期末）运用复合函数求导方法求函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同时取对数，即可根据复合函数的求导法则求解. 【详解】由可得，两边同时求导可得， 故， 故选：C 182．（23-24高二下·江苏镇江·期末）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数运算法则及复合函数求导法则求解. 【详解】依题意，. 故选：D 183．（24-25高二下·广东广州·期末）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB：根据基本初等函数的导函数运算求解；对于CD：根据复合函数的导函数运算求解. 【详解】对于选项A：若，则，故A错误； 对于选项B：若，则，故B错误； 对于选项C：若，则，故C正确； 对于选项D：若，则，故D错误； 故选：C. 184．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 185．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A 186．（24-25高二下·北京石景山·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则逐个判断选项即可. 【详解】由基本初等函数的导数公式知，，， ，故ACD错误； 由求导法则及求导公数可知，，故B正确. 故选：B 题型二十六 导数中函数的单调性问题（共10小题） 187．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 188．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 189．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 190．（24-25高二下·新疆喀什·期末）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性与导函数的关系得到含参不等式，通过参变分离转化成不等式恒成立，求解函数的最值即得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 在上恒成立， 令，. (当且仅当时等号成立). 所以. 故选：D. 191．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. 192．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 193．（24-25高二下·四川广元·期末）已知是函数的导函数，且．则下列不等式一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导数研究单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】令，所以，由有：，当，，所以在单调递增， 又，所以，即，故A错误； 又，所以，即，故B错误； 又，所以，即，故C正确； 由，所以，即，故D错误. 故选：C 194．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【详解】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 195．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 196．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1). (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程； （2）分类讨论得出导函数的正负进而得出函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数，所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即得； （2）函数，所以. 当时，单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 题型二十七 导数的函数的极值（点）问题（共8小题） 197．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 198．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，根据题意得在时有两个不同的解，令，也即是在上有两个不同的解，再对求导，分析其单调性，即可求解. 【详解】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A 199．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 200．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【详解】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B 201．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值. 【详解】由图可知，当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 202．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递减 B．对于任意实数恒成立 C．0是函数的一个极大值点 D．函数有无数个极大值点 【答案】BCD 【分析】对A，由，举反例可判断；对B，由可判断；对C，由，结合，结合极大值定义判断；对D，求导，令，即，利用图象分析判断得解. 【详解】对于A，由，，则， 所以在上不是单调递减函数，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由，结合，在附近，均有，由极大值的定义可得0是极大值点，故C正确； 对于D，由，令， 所以，即，    如图，则有无数个解，所以函数有无数个极大值点，故D正确. 故选：BCD. 203．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 204．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，函数. (1)若2是的极值点，求的值和该极值； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由2是的极值可得，从而得，再经检验即可求解； （2）由题意可得，分别讨论当，当，当的三种情况，即可求解. 【详解】（1）由题意得 2是的极值点， ，即. 经检验符合题意，极值. （2）由题意知：定义域为，， 令，解得：，； ①当，即时，若，；若，； 在，上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，且不恒等于，在上单调递减； ③当，即时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当，在，上单调递减，在上单调递增. 题型二十八 导数的函数的最值问题（共5小题） 205．（24-25高二下·天津和平·期末）已知，且. (1)求的值： (2)若函数在上的最大值为4，求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的导数值建立方程求出. （2）由（1）求出在上的最大值并求得，进而求出函数在上的最小值. 【详解】（1）函数，求导得，由， 得，所以. （2）由（1）得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 因此在上的最大值为，即，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数在上的最小值为1. 206．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，然后根据函数值求出切线方程即可. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，求出极值和端点的函数值，从而求得函数的最值. （3）对函数求导，判断单调性，画出图象，从而得到的范围. 【详解】（1）因为， 所以；，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）令，即，解得或， 在区间上，的单调递增区间为，递减区间为， 且，，； 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为. （3）c的取值范围为. 因为函数有三个零点，所以方程有三个根. 对函数求导得. 当或时，；当时，. 所以函数在单调递增，在上单调递减， 当时，；；；当时， 画出图象为： 要使函数有三个零点，则的取值范围为. 207．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数，. (1)若，求函数的最小值； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）计算导数，通过导数的符号判断原函数的单调性； （2）计算导数，对，分情况讨论即可. 【详解】（1），. ，. ， 令得， 即当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以 （2），， ， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，若，则，函数在区间上单调递增， 若，则，函数在区间上单调递减 208．（24-25高二下·山东滨州·期末）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数确定单调性后得最大值； （2）分离参数得，引入函数，然后由导数求得新函数的最大值后可得. 【详解】（1），定义域是， ， 当时，，递增，时，，递减， 所以时，取得极大值也是最大值； （2），，则， 设， 则， 时，，递增，时，，递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 209．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数在处取到极值. (1)求； (2)设，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由极值点的定义可得，可求得的值，然后利用极值点的定义验证即可； （2）利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的最小值. 【详解】（1）因为，则， 因为函数在处取到极值，所以，得， 所以，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值， 综上. （2）由（1）可得，其中， 所以， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以. 210．（24-25高二下·北京西城·期末）已知函数，. (1)当时， （ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求的值. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）求导，即可根据点斜式求解切线方程，（ⅱ）根据导数的正负确定函数的单调性，即可求解最值， （2）根据的单调性可得有唯一解，即.即可结合最大值求解. 【详解】（1）函数的定义域是. . 当时，. （ⅰ）因为， 所以在处的切线方程为. （ⅱ）令，. ， 所以在区间上单调递减. 随着的变化，的变化情况如下： 1 + 0 - + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以. （2）由（1）中 令，则. 设， 因为在上单调递减，且，时，， 所以存在唯一零点. 所以有唯一解，不妨设为，即. 随着的变化，的变化情况如下： + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以. 又，所以，所以. 设，则，所以单调递增. 又，所以. 1．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 2．已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】设出点、的坐标，结合向量坐标运算可得点的轨迹方程，再利用圆上的点到定直线的距离的最值求法计算即可得. 【详解】设，，则， 由，则，所以， 故，化简得， 即点在圆上，该圆圆心为，半径， 则.    故选：D. 3．已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意直线与圆相离，根据圆的性质知共圆且，根据 知，当直线时最小，求出以为直径的圆的方程，即可求出直线的方程. 【详解】由题设，点到直线的距离， 所以直线与圆相离，    又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且， 所以，而， 当直线时， ，此时最小， 而，则，故，即， 由，解得，此时， 以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即， 两圆的方程相减可得，即为直线的方程. 故选：A 4．已知函数，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 5．（多选）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．公差 C． D．当或时，最小 【答案】ABD 【分析】利用等差中项的性质求出判断A，利用等差数列公差的性质求解判断B，法一先利用等差数列的前项和公式求出，再求出判断C，结合二次函数的性质判断D，法二先利用等差数列的通项公式求出，再单独求出判断C，最后分析的正负情况判断D即可. 【详解】因为，，所以，解得，故A正确. 设等差数列的公差为d，则，故B正确. 对于选项C，D，法一：因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开向上， 且对称轴为直线，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 法二：因为， 所以，故， 则； 因为，所以当时，，且， 当时，，所以当或时，最小，故C错误，D正确. 故选：ABD. 6．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（   ） A．的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义、的关系及余弦定理对选项逐一分析即可. 【详解】对于C：，，则， 所以， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于A：， 所以，解得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于D：，所以， 所以，所以，故D正确.    故选：. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为 【答案】 【分析】根据椭圆的相关概念，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，， 则，且， 所以. 故答案为：. 8．已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【分析】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【详解】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为： 9．已知椭圆的焦距为. (1)求的方程； (2)过上一动点作椭圆的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦距得到，然后根据得到，即可得到椭圆方程； （2）设切斜方程，与椭圆方程联立，根据相切得到，即可得到，然后利用韦达定理和椭圆的方程计算即可. 【详解】（1）设的半焦距为. 由题可知，则.             又，所以.             所以的方程为. （2）设，切线的斜率为，则切线方程为. 联立方程可得 消去得，             由，可得， 化简得.             因为，所以. 设过的两条切线的斜率分别为，，易知 由根与系数的关系可得， 所以两条切线的斜率乘积为定值. 10．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. $