八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（湘教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【湘教版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，若的面积为，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含的式子表示）（    ） A．a B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，，点A在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·全国·期中）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 13．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·重庆江北·月考）关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 15．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 18．（6分）（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 19．（8分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则 ，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 20．（8分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 21．（10分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，E为中点，连接，． (1)在射线上求作一点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，连接，求的长度． 22．（10分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 23．（12分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 24．（12分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先计算，然后运用二次根式的乘法、除法以及混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：， A． ，故不符合题意； B． ，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，若的面积为，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含的式子表示）（    ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中线平分三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，通过中线性质，可推导每个阴影部分的面积被等分且都等于的面积，进而即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 即， 同理可证， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用得到；将代入n的表达式，转化为a的表达式；根据排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ， ． ∵， ∴，即． 将代入，得：． ∵， ∴，即，故．即， 因n为自然数，故n的最小值是13， 此时，此时，符合题意， 故选：C． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，，点A在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等，连接，设与交于点，过点作于，于，先证和全等得，，进而得，再证，根据三角形的面积公式可得出，由此可得，据此可求出的面积． 【详解】解：连接，设与交于点，过点作于，于，如图：   ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 即为的平分线， ， ，， ， 又和等高， ， ， 和等高， ， ． 故选：C． 8．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 9．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，，证明，得出，，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·全国·期中）已知，且满足两个等式，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解的应用，联立方程，通过因式分解求出的值，再将因式分解得，将的值代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，则 ∴，则， ∴． 故答案为：4． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 13．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·重庆江北·月考）关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集，通过解不等式组确定一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， 又∵关于的分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， 由为整数可知， 为偶数，即为奇数， 由分母可知， ，则，解得， 综上，符合条件的整数需满足， 为奇数且， ∴的取值为，， 所有整数的和为 故答案为：2． 15．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，连接，，延长到，使，连接，证明和全等得，，证明和都是等腰直角三角形得，则，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，据此即可得出图中长，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，，延长到，使，连接，如图所示： ∵点是中点，， ∴是边的垂直平分线， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：且，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了规律问题，因式分解的应用． （1）直接根据题干等式作答即可； （2）设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为，求出，即可证明能被5整除，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为， 由（1）可知 ， 能被5整除， 即能被5整除， 比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 18．（6分）（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 19．（8分）（25-26八年级上·湖南常德·期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则 ，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3)7 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设的“互动分式”为， ∴， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴且， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， ∴， ∴当时的最大值是7． 20．（8分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，，再由即可证明结论； （2）延长，交于点，可证明得到．则可推出，可证明．推出，则是等腰三角形，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴     在中，． 在中，． ∵， ∴； （2）证明：如图，延长，交于点， ∴， 由（1）知：，即， 又∵， ∴     ∴． ∵， ∴ ∴     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴是的中点． 21．（10分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，E为中点，连接，． (1)在射线上求作一点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了作垂线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点E作，交于点，结合等边三角形的性质，得出，又因为，则,，即，证明，则，故是等边三角形，即； （2）运用等边三角形的性质以及E为中点，得出，结合（1）得，故是等边三角形，再证明，得，即可作答． 【详解】（1）解：点F如图所示： （2）解：连接， 是等边三角形， ， 为中点， ， ， 又， ， ， ∵ ， 是等边三角形． ． ， 则， ， ． 22．（10分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 23．（12分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）嘉嘉在两项活动中的用时相差秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉在两项活动中的用时相差秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 24．（12分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $