八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（浙教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【浙教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含的式子表示出来，根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和是18， 不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、、， 或 ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键；连接，由可设，由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由可设， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可． 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 7．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是坐标与图形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，求点的坐标等知识，构造全等三角形是解题的关键；过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A，则可证明，从而有；设，则，又，，由此可求得a的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】解：过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A， 则， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； 故选：B． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据方程和方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，先解一元一次方程得到，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出，则可得到，解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解： 去括号得， 解得， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a有，共5个， 故选：B． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索，由题意可得点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，从而得出点的横坐标为，再由，得出点的纵坐标与的纵坐标相同为，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为， ∴点的坐标为， 故选：B． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移时坐标的变化，坐标轴上的点的坐标特点，待定系数法求解析式． 根据点的平移时的坐标变化得到点Q的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求得，从而得到，，进而运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴点Q的坐标为， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为． 故答案为： 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，连接，，延长到，使，连接，证明和全等得，，证明和都是等腰直角三角形得，则，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，据此即可得出图中长，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，，延长到，使，连接，如图所示： ∵点是中点，， ∴是边的垂直平分线， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：且，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用、线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，还需注意方程思想在这类问题中的应用． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据勾股定理公式的变形可求得是直角三角形，即可证明． （2）先求出的长度，设所求线段为，利用（1）的结论，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：点是边的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是直角三角形， ． （2）解：点是边的中点，， ， 在中，，，， ， 设，则， ， ， 解之得：． 即：． 18．（6分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，，再由即可证明结论； （2）延长，交于点，可证明得到．则可推出，可证明．推出，则是等腰三角形，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴     在中，． 在中，． ∵， ∴； （2）证明：如图，延长，交于点， ∴， 由（1）知：，即， 又∵， ∴     ∴． ∵， ∴ ∴     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴是的中点． 19．（8分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，E为中点，连接，． (1)在射线上求作一点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了作垂线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点E作，交于点，结合等边三角形的性质，得出，又因为，则,，即，证明，则，故是等边三角形，即； （2）运用等边三角形的性质以及E为中点，得出，结合（1）得，故是等边三角形，再证明，得，即可作答． 【详解】（1）解：点F如图所示： （2）解：连接， 是等边三角形， ， 为中点， ， ， 又， ， ， ∵ ， 是等边三角形． ． ， 则， ， ． 20．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求正比例函数的表达式； （3）根据题意得出，，由得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； （2）解：把代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， 解得： ∴； （3）解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 21．（10分）（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓．”一年一度的端午节来临前夕，好宜多超市购进A，B两种品牌的粽子，已知购进每盒A品牌的粽子比每盒B品牌的粽子少5元，用300元购进A商品和400元购进 B商品的数量相同． (1)求A，B两种品牌的粽子每盒的进价分别为多少元； (2)若该超市购进200盒A，B两种品牌的粽子所花的资金不低于3400元且不高于3500元，问该商场有几种采购方案； (3)在(2)的条件下，A品牌的粽子每盒加价2m元销售，B品牌的粽子每盒加价3m元销售，200盒粽子全部售出后所获的最大利润为1500元，请直接写出m的值． 【答案】(1)A，B两种品牌的粽子每盒的进价分别为15元和20元 (2)超市共有21种采购方案 (3)m的值为3 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， 对于（1），先设每盒B品牌的粽子进价为x元，则每盒A品牌粽子的进价为元，根据数量相等列出分式方程，求出解即可； 对于（2），先设购进A品牌粽子a盒，则购进B品牌粽子盒，根据题意不等式组，求出解集得出符合题意的方案； 对于（3），先讨论当时利润最大，再求出方程的解即可. 【详解】（1）解：设每盒B品牌的粽子进价为x元，则每盒A品牌粽子的进价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，时原方程的根， 则， 所以A，B两种品牌的粽子进价分别为15元和20元； （2）解：设购进A品牌粽子a盒，则购进B品牌粽子盒，根据题意，得， 解得， 当时，；即购进A品牌粽子100盒，则购进B品牌粽子100盒； 当时，；即购进A品牌粽子101盒，则购进B品牌粽子99盒； 当时，；即购进A品牌粽子120盒，则购进B品牌粽子80盒. 所以该商场有21种采购方案； （3）解：. 设利润为W元，根据题意，得， ∵ 当a越小时利润越大，当时利润最大， 即， 解得. 22．（10分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 23．（12分）（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 【答案】(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴， 解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得， 解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 24．（12分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【浙教版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 5．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 12．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 14．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 15．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·陕西·期中）如图，在中，点是边的中点，交于点，连接，且． (1)求证： (2)若，，求的长度． 18．（6分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 19．（8分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，E为中点，连接，． (1)在射线上求作一点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，连接，求的长度． 20．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 21．（10分）（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓．”一年一度的端午节来临前夕，好宜多超市购进A，B两种品牌的粽子，已知购进每盒A品牌的粽子比每盒B品牌的粽子少5元，用300元购进A商品和400元购进 B商品的数量相同． (1)求A，B两种品牌的粽子每盒的进价分别为多少元； (2)若该超市购进200盒A，B两种品牌的粽子所花的资金不低于3400元且不高于3500元，问该商场有几种采购方案； (3)在(2)的条件下，A品牌的粽子每盒加价2m元销售，B品牌的粽子每盒加价3m元销售，200盒粽子全部售出后所获的最大利润为1500元，请直接写出m的值． 22．（10分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 23．（12分）（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 24．（12分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $