八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（沪科版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪科版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，若的面积为，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含的式子表示）（    ） A．a B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A． 乙用6分钟追上甲 B． 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C． 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 13．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，E为中点，连接，． (1)在射线上求作一点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，连接，求的长度． 16．（8分）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 17．（8分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 18．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 19．（10分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 20．（10分）（25-26八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 22．（12分）（24-25七年级下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点M作直线平行于y轴． (1)如果线段与x轴有公共点，求b的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值： (3)若直线外一点到这条直线的距离小于2，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A__________（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线上，点E落在y轴上且纵坐标为，如果的面积为6，过点A作直线平行于x轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 23．（14分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可． 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，若的面积为，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含的式子表示）（    ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中线平分三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，通过中线性质，可推导每个阴影部分的面积被等分且都等于的面积，进而即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 即， 同理可证， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键；连接，由可设，由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由可设， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 6．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，，证明，得出，，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是坐标与图形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，求点的坐标等知识，构造全等三角形是解题的关键；过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A，则可证明，从而有；设，则，又，，由此可求得a的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】解：过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A， 则， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A． 乙用6分钟追上甲 B． 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C． 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索，由题意可得点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，从而得出点的横坐标为，再由，得出点的纵坐标与的纵坐标相同为，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为， ∴点的坐标为， 故选：B． 10．（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与交于点，若．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识．由，，可得，从而得出，通过证明，得出，证明是等腰直角三角形，从而得到，证明，再证明，得出，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及中线的定义，设腰长为，底边长为，根据中线分周长的两种情况进行讨论，并检验三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则腰上的中线将周长分为和两部分， 当且时，解得，，此时三边长为、、，满足三角形三边关系； 当且时，解得，，此时三边长为、、，但，不满足三角形三边关系，故舍去， 因此，底边长为． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移时坐标的变化，坐标轴上的点的坐标特点，待定系数法求解析式． 根据点的平移时的坐标变化得到点Q的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求得，从而得到，，进而运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴点Q的坐标为， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为． 故答案为： 13．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，连接，，延长到，使，连接，证明和全等得，，证明和都是等腰直角三角形得，则，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，据此即可得出图中长，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，，延长到，使，连接，如图所示： ∵点是中点，， ∴是边的垂直平分线， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：且，． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，E为中点，连接，． (1)在射线上求作一点F，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)若，连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了作垂线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点E作，交于点，结合等边三角形的性质，得出，又因为，则,，即，证明，则，故是等边三角形，即； （2）运用等边三角形的性质以及E为中点，得出，结合（1）得，故是等边三角形，再证明，得，即可作答． 【详解】（1）解：点F如图所示： （2）解：连接， 是等边三角形， ， 为中点， ， ， 又， ， ， ∵ ， 是等边三角形． ． ， 则， ， ． 16．（8分）如图，直线：与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 【分析】（1）将点代入直线：可得，利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）分两种情况：①当时；②当时，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：因为直线：与直线交于点， 所以， 所以， 又因为过点， 故设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）因为直线 ：与x轴交于点A，与y轴交于点D． 所以， 因为轴于点N， 所以， 所以以O、M、N为顶点的三角形与全等，分两种情况：    ①如图，当时，， 因为直线的函数表达式为， 当时，， 所以点M的坐标为； ②如图，当时，， 因为直线的函数表达式为， 当时，， 所以点M的坐标为． 综上所述，满足条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数和全等三角形的性质是解本题的关键． 17．（8分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，，再由即可证明结论； （2）延长，交于点，可证明得到．则可推出，可证明．推出，则是等腰三角形，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴     在中，． 在中，． ∵， ∴； （2）证明：如图，延长，交于点， ∴， 由（1）知：，即， 又∵， ∴     ∴． ∵， ∴ ∴     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴是的中点． 18．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求正比例函数的表达式； （3）根据题意得出，，由得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； （2）解：把代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， 解得： ∴； （3）解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 19．（10分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 20．（10分）（25-26八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又 ，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又 ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 【答案】(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴， 解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得， 解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 22．（12分）（24-25七年级下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点M作直线平行于y轴． (1)如果线段与x轴有公共点，求b的取值范围； (2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值： (3)若直线外一点到这条直线的距离小于2，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A__________（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”； ②将平移到，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线上，点E落在y轴上且纵坐标为，如果的面积为6，过点A作直线平行于x轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①是，②点B不是否为直线的“密接点”，理由见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化（平移），三角形的面积，“密接点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行求解． （1）根据线段与轴有公共点，得到点B在轴下方，点C在轴上方，据此列不等式求解即可； （2）根据线段通过平移能够与线段重合，得到，据此列式求解即可； （3）①根据“密接点”的定义求解即可；②根据平移变换的定值分别求出的值，可得结论． 【详解】（1）解：∵线段与轴有公共点，则点B在轴下方， ∴， 点C在轴上方， ∴，即， ∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即， 解得； （3）解：①∵点到直线的距离为 ∴点是直线的“密接点” 故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下： ∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为2， ∴点的横坐标为，点的横坐标为4， 由题意可得：，解得， 点的纵坐标为： ∵的面积为6， ∴， 解得或， 当，时，，，此时点到的距离为2，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为4，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 23．（14分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $