八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（苏科版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【苏科版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 2．（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，，点A在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 7．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A． 乙用6分钟追上甲 B． 乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C． 甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 13．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小林用来表示的小数部分．事实上，小林的表示方法是有道理的，因为，即的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 15．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 18．（6分）（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 19．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______； (2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 20．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 21．（10分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 22．（10分）（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 23．（12分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 24．（12分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【苏科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可． 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 2．（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是坐标与图形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，求点的坐标等知识，构造全等三角形是解题的关键；过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A，则可证明，从而有；设，则，又，，由此可求得a的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】解：过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A， 则， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，，点A在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等，连接，设与交于点，过点作于，于，先证和全等得，，进而得，再证，根据三角形的面积公式可得出，由此可得，据此可求出的面积． 【详解】解：连接，设与交于点，过点作于，于，如图：   ， ，即， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 即为的平分线， ， ，， ， 又和等高， ， ， 和等高， ， ． 故选：C． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键；连接，由可设，由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由可设， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 7．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，……按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标规律探索，由题意可得点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，从而得出点的横坐标为，再由，得出点的纵坐标与的纵坐标相同为，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为， ∴点的坐标为， 故选：B． 10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，将转化为，从而将的周长转化为的长度和． 【详解】解：延长至点，使，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∴的周长． ∵， ∴的周长为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点，如果点在轴上，那么直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移时坐标的变化，坐标轴上的点的坐标特点，待定系数法求解析式． 根据点的平移时的坐标变化得到点Q的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求得，从而得到，，进而运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点， ∴点Q的坐标为， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为． 故答案为： 12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 13．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小林用来表示的小数部分．事实上，小林的表示方法是有道理的，因为，即的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．先估算出与的大小，可得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为 时，和可能全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为 ； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，点分别是的中点，，，，已知，，若连接，则的关系是 ，图中长为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，连接，，延长到，使，连接，证明和全等得，，证明和都是等腰直角三角形得，则，由此可证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，据此即可得出图中长，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，，延长到，使，连接，如图所示： ∵点是中点，， ∴是边的垂直平分线， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：且，． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，射线交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)过点作的垂线与射线交于点，且，求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，，再由即可证明结论； （2）延长，交于点，可证明得到．则可推出，可证明．推出，则是等腰三角形，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴     在中，． 在中，． ∵， ∴； （2）证明：如图，延长，交于点， ∴， 由（1）知：，即， 又∵， ∴     ∴． ∵， ∴ ∴     ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴是的中点． 18．（6分）（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和长方形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键． （1）先根据矩形的性质得到，，，再根据折叠的性质得，，则可利用勾股定理计算出； （2）计算出的长，设，则，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形   ， 折叠                                 由勾股定理，得： （2），， ， 设 则                              由勾股定理，得： 解得： 所以，的长为 19．（8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______； (2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】(1)17， (2) 【分析】本题考查勾股定理，算术平方根的实际应用，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出正方形的面积，求出算术平方根，即可得到边长； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，进行计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理，得：； 正方形的面积； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求正比例函数的表达式； （3）根据题意得出，，由得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； （2）解：把代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， 解得： ∴； （3）解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 21．（10分）（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 22．（10分）（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 【答案】(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴， 解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得， 解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 23．（12分）（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 24．（12分）（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $