八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（人教版2024，举一反三）

八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【人教版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共26题，单选10题，填空6题，解答10题，满分100分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（    ） A．4.5 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）设，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 7．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 9．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点重合），连结，点分别在线段的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（　　） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25九年级上·重庆江北·月考）关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 12．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 13．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为 ． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为 ． 16．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分62分） 17．（5分）（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 18．（5分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 19．（5分）（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 20．（5分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 21．（6分）（25-26八年级上·福建泉州·月考）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． (1)的商是______，余式是______． (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 22．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 23．（7分）如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 24．（7分）（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 25．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）在中，，在的外部作等边三角形为的中点，连接并延长交于点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)的平分线交于点，交于点，连接．若，求证：． 26．（8分）（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【人教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，中，平分，交于点，若，，则长度为（    ） A．4.5 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解答的关键． 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，然后进行线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知实数a，b满足，，，n为自然数，则n的最小值是(   ) A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解及利用配方法确定代数式取值范围．解题的关键是通过联立方程消去n，结合的条件得出a与b的关系，再将n转化为关于a的二次函数，结合自然数的要求确定最小值． 联立等式消去n，整理后因式分解求得每个因式为0，利用得到；将代入n的表达式，转化为a的表达式；根据排除特殊值，结合n为自然数确定最小值即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ， ． ∵， ∴，即． 将代入，得：． ∵， ∴，即，故．即， 因n为自然数，故n的最小值是13， 此时，此时，符合题意， 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）设，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值和完全平方式，通过将和表示为的表达式，利用完全平方公式展开并化简，求解的值． 【详解】， ， ， ， 即， ， ， ． 故选：A ． 6．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 7．（24-25八年级下·福建漳州·期中）已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 9．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点重合），连结，点分别在线段的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（　　） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形和全等三角形的性质与判定，先通过等边三角形的性质求出相关角度，利用等腰三角形的性质得到角的关系，进而证明三角形全等，得出线段相等的关系，最后根据动点的运动情况分析即可． 【详解】解：延长到点，作于点，则， 当与点重合时，的值最小， 在动点从运动到过程中，先变小后变大， 是等边三角形， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的周长的周长， 为定值，的值先变小后变大， 的值先变小后变大， ∴在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和先变小后变大， 故选：D． 10．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25九年级上·重庆江北·月考）关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．利用关于的一元一次不等式组的解集，通过解不等式组确定一个取值范围；再利用关于的分式方程有非负整数解，确定一个取值范围，同时满足两个条件的整数解即为答案． 【详解】解：， 解不等式①的解集为， 不等式②的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， 又∵关于的分式方程有非负整数解， ∴为非负整数， 由为整数可知， 为偶数，即为奇数， 由分母可知， ，则，解得， 综上，符合条件的整数需满足， 为奇数且， ∴的取值为，， 所有整数的和为 故答案为：2． 12．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，于点，于点，，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．证明是等腰三角形，得到，证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵； ∴． 故答案为：5 13．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据是等边三角形，可得：，，根据可证，根据全等三角形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中，， ， ，， 是等边三角形， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用垂直平分线性质得出当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合，求出和的度数，再求出的度数，最终求出的度数即可． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴，即点A是点B关于直线的对称点， ∴， 如图，当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ． 【答案】无数个 【分析】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N，    ∵平分， ∴，， ∴， 此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等边三角形， 即当M向方向移动，N向方向移动，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动，都有是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 故答案为：无数个． 三、解答题（本大题共10小题，满分62分） 17．（5分）（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 18．（5分）（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 19．（5分）（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)4；64 (2)60 (3) 【分析】本题主要考查了乘方的应用，同底数幂相乘，幂的乘方，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据，再结合新定义解答； 对于（2），根据新定义得，进而求出，再根据可得，则此题可解； 对于（3），根据新定义得，再将化为 ，然后根据代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 20．（5分）（25-26八年级上·福建泉州·期中）观察下列等式： … 根据以上规律，解决下列问题： (1)填空： ； (2)试说明：比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了规律问题，因式分解的应用． （1）直接根据题干等式作答即可； （2）设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为，求出，即可证明能被5整除，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：设这个偶数为（n是整数），则比它大5的数为， 由（1）可知 ， 能被5整除， 即能被5整除， 比任意一个偶数大5的数与此偶数的平方差能被5整除． 21．（6分）（25-26八年级上·福建泉州·月考）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？ 我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算． 因此． (1)的商是______，余式是______． (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． （1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；． （2）解：． 多项式能被整除． ，． ，． ． 22．（6分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间多多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）嘉嘉在两项活动中的用时相差秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉在两项活动中的用时相差秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 23．（7分）如图，在中，，在边上，且． (1)如图1，填空，． (2)如图2，若为线段上的点，过作直线于，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形； ②试写出线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）①根据已知条件得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②由①知，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； 故答案为：，； （2）①， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形； ②， 理由：由①知，， ， ， ， ， ． 24．（7分）（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． (1)根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． (2)将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)①；②60平方厘米 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①大长方形面积等于其长乘以其宽，大正方形面积等于四个正方形面积加上五个长方形面积，据此用两种方法表示出大长方形的面积即可得到答案；②根据阴影部分的面积可以推出，根据大长方形的周长可推出，再由完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为，则其面积为， 图1中大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，则其面积为， ∴； （2）解：①图2的最大的长方形面积为，其面积又为， ∴； ②∵阴影部分的面积为80平方厘米， ∴， ∴， ∵大长方形纸板的周长为48厘米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为60平方厘米． 25．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）在中，，在的外部作等边三角形为的中点，连接并延长交于点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)的平分线交于点，交于点，连接．若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别求出， 根据计算即可； （2）根据要求画出图形即可； （3）设，由推出，可得，，证明，推出，，，在中，根据，构建方程求出a，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图 ∵是等边三角形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，是的平分线； （3）证明：连接， ∵平分， 设， ∵， ∴． ∵是等边三角形，E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（8分）（25-26八年级上·四川广元·期中）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系．    【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：，， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接，   ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $