专题03 一元二次方程（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过思维导图和核心考点表格系统构建知识体系，涵盖概念、解法、判别式、韦达定理等九大核心考点，以“定义-解法-应用”逻辑梳理知识脉络，用对比表格呈现考情规律与易错点，突出各知识点内在联系。 讲义亮点在于“题型+技巧+分层”三维设计，14类题型涵盖基础到拓展，如增长率问题结合模型意识引导列方程，韦达定理题型强调推理意识与判别式前提。每个题型配备“避坑指南”和变式训练，基础通关练夯实核心知识，重难突破练提升综合应用能力，助力教师实施精准分层教学，学生自主复习效率高。

专题03 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 掌握一元二次方程的三个判定条件（单未知数、最高次数2、整式方程），能准确判断方程类型 基础必考点，小题为主；易混淆“原方程整式属性”与“整理后方程次数”，忽略二次项系数不为0的隐含条件 一元二次方程的一般形式 熟练将方程化为一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数和常数项 重点基础考点，贯穿后续解法与性质应用；易未化一般形式就确定系数，或忽略系数前的符号 一元二次方程的根 理解方程根的定义，能通过代入检验判断给定实数是否为方程的根 基础考点，常结合根的性质考查；易漏检多个给定数，或仅计算左边忽略右边是否相等 一元二次方程的解法（因式分解法、开平方法、配方法、公式法） 熟练掌握四种解法的步骤和适用场景，能根据方程特点选择合适方法求解 重点核心考点，小题/解答题均涉及；因式分解法易丢根，开平方法易忽略平方根正负性，配方法易未化二次项系数为1，公式法易出错a、b、c符号 一元二次方程的判别式 理解判别式Δ=b²-4ac的定义，能根据Δ的符号判断根的情况，结合根的情况求参数取值范围 重点考点，常与参数结合考查；易混淆“两个相等实根”与“一个实根”，忽略先化一般形式再计算Δ，或漏记“有实根”需Δ≥0 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 掌握韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a），能在方程有实根的前提下求根的和与积、代数式求值 重点难点考点，解答题常考；易忽视Δ≥0的使用前提，或未将方程化为一般形式就套用定理，根的和符号易出错 二次三项式的因式分解（求根公式法） 掌握在实数范围内因式分解二次三项式的方法，能通过求对应方程的根完成分解 重点考点，常与方程解法结合；易遗漏二次项系数a，或在Δ<0时强行分解 可化为一元二次方程的分式方程 掌握分式方程的求解步骤（去分母化整式方程、解整式方程、检验增根），能识别并舍去增根 难点考点，解答题常考；易漏乘常数项，忘记检验增根，或找错最简公分母 一元二次方程的应用 能根据实际场景（增长率/下降率、图形面积/周长、行程、工程等）列方程，求解后检验根的实际意义 重点应用考点，解答题高频；易混淆增长与下降公式，图形问题单位不统一，忽略实际意义对根的限制（如负数舍去） | 知识点01 整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫作整式方程。 知识点02 一元二次方程的概念 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程。需同时满足三个条 件： 1. 方程两边都是关于未知数的整式； 2. 只含有一个未知数； 3. 未知数的最高次数是2。 判断方程 是否为一元二次方程： 整理后得 ，满足“整式方程、一个未知数、最高次数2”，因此是一元二次方程。 1.混淆“原方程的整式属性”与“整理后方程的次数”：如 不是整式方程，因此不是一元二 次方程； 2. 忽略二次项系数的不确定性：如 （a,b 为常数），当 时不是一元二次方程。 知识点03 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 （a,b,c 为已知数，且 ），其中： 叫作二次项， 是二次项系数； bx 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。 将方程 化为一般形式： 去分母得 ，整理得 ，因此二次项系数是2，一次项系数是5，常数项 是15。 1. 未化为一般形式就确定系数：如 ，需先整理为 ，再确定系数； 2. 忽略系数前的符号：如 中，一次项是 ，一次项系数是3。 知识点04 一元二次方程的根 满足方程 的实数 叫作这个方程的实数根（简称根）。 重要结论： 1. ，方程有一个根是 ； 2. ，方程有一个根是 ； 3. ，方程有一个根是 。 判断 是否为方程 的根： 代入左边得 ，与右边相等，因此 是该方程的根。 1. 漏检给定的数：一元二次方程可能有两个根，需对每个给定的数都代入检验； 2. 仅计算左边忽略右边：需分别计算左右两边的值，确认是否相等。 知识点05 因式分解法 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，进而将解一元二次方程的问题转化 为解一元一次方程的方法，称为因式分解法。 理论依据：若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0；即方程化为时，或 。 一般步骤： 1. 将方程右边化为0； 2. 将方程左边因式分解为两个一次因式的积； 3. 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； 4. 解这两个一元一次方程，其解即为原方程的解。 解方程 解：由原方程得或，解得或。 所以，原方程的根是。 1.方程两边同除以含未知数的代数式：如解方程时，若直接除以得，会 丢失的根（因时，不能作除数）； 2.忽视方程右边为0：如解方程时，若不先将右边化为0就直接因式分解，会导致求 解错误。 知识点06 开平方法 利用平方根的定义，直接通过求平方根来解某些特殊一元二次方程的方法，称为开平方法。 对于一元二次方程，可变形为，记，则： 当时，方程有两个不相等的实数根：； 当时，方程有两个相等的实数根：； 当时，方程没有实数根。 解的步骤： 1. 移项、两边同除以，将方程变形为； 2. 根据平方根的意义，结合的符号确定根的情况。 解方程 解：移项得，两边开平方得。 所以，原方程的根是。 忽略平方根的“正负性”：如解方程时，若只取，会丢失对应的根。 知识点08 配方法 给加上配成完全平方式的过程，称为“配方”；通过“配方”解一元二次方程的方法，称为配方法。 理论依据：完全平方公式。 一般步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 2. 二次项系数化为1：方程两边同除以二次项系数； 3. 配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 开平方：利用平方根的意义直接开平方； 5. 解一元一次方程：移项、合并同类项解所得的两个一元一次方程。 解方程 解：原方程两边同加4，化为，即。 两边开平方得或，解得或。 所以，原方程的根是。 未将二次项系数化为1：如解方程时，若直接配方而不先两边除以2，会导致配方错误（正确步骤应先化为，再配方）。 知识点09 公式法 对于一元二次方程，当时，实数根可表示为，此 式称为求根公式；利用求根公式解一元二次方程的方法，称为公式法。 应用条件：a≠0且；当时，方程有两个相等的实数根（重根）。 一般步骤： 1. 将方程化为一般形式； 2. 确定a,b,c的值（注意符号）； 3. 计算的值； 4. 若，代入求根公式得方程的根；若，方程无实数根。 解方程 解：原方程为一般形式，其中。 计算。 由求根公式得，解得或。 所以，原方程的根是。 确定a,b,c的值时符号出错：如解方程时，需先化为一般形式，若误将取为（忽略符号），会导致后续计算错误。 知识点10 一元二次方程的判别式 对于一元二次方程： 1. 判别式定义：式子叫作该方程的判别式，通常用符号“Δ”表示，记作。 2..实数根的情况判断： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根。 （上述判断可逆，即由根的情况可反推Δ3．注意事项： 3.注意事项 一元二次方程有实数根的条件是 （包含两个不相等或相等的实数根）； 不能将＂两个相等的实数根＂表述为＂只有一个实数根＂； 当 a , c异号时，方程一定有两个不相等的实数根（因 ）。 下列说法中正确的是（） A.在一个一元二次方程中，如果，那么方程只有一个实数根 B.在一元二次方程中， C.如果一元二次方程无实数根，则不存在 D. 在一元二次方程中，如果二次项系数与常数项的符号相异，那么方程必定有两个不相等的实数根 解析： 选项A：时方程有两个相等的实数根，并非“只有一个”，错误； 选项B：方程化为一般形式，，错误； 选项C：任何一元二次方程的Δ都存在，与是否有实数根无关，错误; 选项D:a,c异号则，，方程有两个不相等的实数根，正确。 答案：D 1.混淆“两个相等的实数根”与“一个实数根”：时方程是两个相等的实数根，不能表述为“只有 一个根”； 2. 计算Δ时忽略方程的一般形式：如方程，需先化为一般形式再计算Δ，否则易出错； 3. 忽略“有实数根”的条件是Δ≥0：易漏掉等号，误将“有实数根”等同于“有两个不相等的实数根”。 知识点11 一元二次方程的判别式的应用 利用判别式解题主要有三种类型： 1. 已知a,b,c（均为已知数）：先计算的值，再判断方程根的情况； 2. a,b,c含字母（证明方程根的情况）：先写出Δ的表达式，再通过恒等变形（如配方）判断Δ的符号； 3. 已知方程根的情况：根据Δ与0的关系列方程或不等式，求解待定系数的值或取值范围。 不解方程，判断方程的实数根的情况。 解析：确定方程中，计算Δ： ，因此此方程有两个不相等的实数根。 1. 考虑不全：如已知方程“有两个实数根”，易误当成“有两个不相等的实数根”，忽略的情况； 2. 忽略二次项系数不为0的隐含条件：用判别式求解含字母的一元二次方程时，易忘记二次项系数不能为 0的限制，导致取值范围出错。 知识点12 一元二次方程的根与系数关系的定理 设一元二次方程 的两个实数根为 ，则： 1. 韦达定理：； 2. 使用条件： 方程是一元二次方程，即二次项系数 ； 方程有实数根，即判别式 ； 3.重要推理：当二次项系数 （方程为 ）时，。 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：设方程的两个实数根为 。 1. 由韦达定理，得 ； 2. 原方程变形为 ，由韦达定理，得 ； 3. 原方程变形为 ，由韦达定理，得 ； 4. 由韦达定理，得 。 忽视判别式的检验：使用根与系数关系的前提是方程有实数根（），忽略此条件会致错。 知识点13 一元二次方程的根与系数关系的应用（已知一根求另一根或字母系数） 已知一元二次方程 的一个根，利用根与系数关系（）， 设出另一根，列方程可求解另一根及字母系数的值（需满足方程是一元二次方程且 的条件）。 已知方程 的一个根是 ，求此方程的另一个根及 的值。 解：设方程的另一个根为 ，由韦达定理得： 由第二个方程得 ，代入第一个方程得 ，解得 。 故方程的另一个根是1， 的值是9。 求解后未验证判别式：求出字母系数后，需检验方程的判别式 ，确保方程有实数根。 知识点14 二次三项式的因式分解（求根公式法） 对于二次三项式 ： 若 ，先通过求根公式求出方程 的两个根 ，再得到因式分解式： ； 若 ，则该二次三项式在实数范围内不能因式分解。 推导依据：韦达定理（），将 变形为 。 注意： 当 时，分解式中的因数 不可遗漏； 当 时，。 在实数范围内因式分解 ： 1. 令方程 ，计算判别式：； 2. 求根：； 3. 因式分解：。 混淆方程变形与恒等变形：解方程时习惯将 化为 ，但因式分解时误将 当作 的因式分解式，遗漏因数 。 知识点15 解可化为一元二次方程的分式方程 解可化为一元二次方程的分式方程的一般步骤： 1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程； 2. 解方程：求解转化后的整式方程； 3. 检验：将整式方程的解代入原方程，若等式成立且分母有意义，则为原方程的解；若分母无意义，则为 增根，应舍去。 解方程 ： 1. 变形：原方程化为 ； 2. 去分母：两边同乘 ，得 ，整理为 ； 3. 解方程：得 ； 4. 检验： 时原方程等式成立； 时原方程分母为0，是增根，舍去； 5. 结论：原方程的根是 。 知识点16 列方程解应用题 一. 列一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 1. 审：读懂题目，明确各量之间的关系； 2. 设：设出未知数； 3. 列：根据题意列关于未知数的一元二次方程； 4. 解：求出未知数的值； 5. 验：检验方程的解是否符合实际意义； 6. 答：写出答案。 用12m长的铁丝围成长方形，若面积为 ，求长和宽： 1. 设宽为 m，则长为 m（周长12，长+宽=6）； 2. 列方程：，整理为 ； 3. 解方程：得 ； 4. 检验： 符合实际，此时长为5m； 5. 答：长是5m，宽是1m。 二. 列可化为一元二次方程的分式方程的实际问题 列可化为一元二次方程的分式方程解决实际问题的一般步骤： 1. 审：读懂题目，明确各量之间的关系； 2. 设：设出未知数； 3. 列：根据题意列分式方程； 4. 解：将分式方程化为整式方程，求解未知数的值； 5. 验：既检验是否为分式方程的解，又检验是否符合实际问题的要求； 6. 答：写出答案。 某校到博物馆6km，返回时速度比去时少1km/h，时间多用半小时，求返回速度： 1. 设返回速度为 km/h，则去时速度为 km/h； 2. 列方程：； 3. 去分母整理：； 4. 解方程：得 ； 5. 检验： 不符合实际（速度不能为负），舍去； 6. 答：返回速度是3km/h。 忽略实际问题对方程根的限制：解决实际问题时，未结合题干中的实际条件（如速度、长度为正数等）， 舍去不符合实际的根。 例如：在实际问题中，求出的根为负数（如速度、边长），应舍去而未舍去。 题型一 一元二次方程的定义（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 判定方程是否为一元二次方程，需同时满足 3 点： 1．是整式方程； 2．只含 1 个未知数； 3．未知数最高次数为 2 （整理后）。 避坑指南： 忽略＂整式方程＂：分式方程（如 ）不是一元二次方程； 误判次数：含未知数的项经过合并后，最高次才是 2 （如 实际是一元一次方程）。 注意细节： 先将方程整理为一般形式 （a , b , c为常数），再判断 （若 则不是一元二次方程）。 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键． 先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根则，得到关于m的不等式，求出m的取值范围，然后找到最小的整数值即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且， ∴最小的整数值为1， 故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．由于一元二次方程有两个实数根，需满足二次项系数不为零，且判别式大于等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 即，， 解得且， 故答案为：且． 题型二 因式分解解一元二次方程（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．移项：将方程整理为＂右边 ＂的形式； 2．分解：把左边多项式分解为两个一次因式的乘积（常用方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法）； 3．求解：令每个因式为 0 ，解出未知数。 避坑指南： 分解不彻底：如 只分解为 ，漏了 ； 丢根：提公因式时忽略＂公因式 ＂的情况（如 ，漏解 ）。 注意细节： 分解前务必将方程整理为标准形式（右边为 0 ），避免漏项。 【典例2】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）用合适方法解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．先整理原方程为，再移项，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 即， 解得． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 该方程可通过平方差公式因式分解，通过零乘积的性质进行计算求解即可． 【详解】解： 整理得， 因式分解得， 化简得， 令或 解得，． 【变式3】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程的解 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；观察方程两边均有公因式，采用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， ， 或， 解得，； 故答案为：或． 【变式4】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可把看作一个整体，然后利用因式分解法可进行求解． 【详解】解： 或 ∴． 【变式5】解方程： 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 先化简，再运用因式分解法求解即可． 【详解】解：化简整理，得 或 ∴，． 题型三 一元二次方程根的判别式（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．化一般式：将方程整理为 ； 2．算 ：计算判别式 ； 3．判根： 个不相等实根； 个相等实根； 无实根。 避坑指南： 忽略 ：若 ，方程不是一元二次方程，不能用判别式； 符号错误：计算 时混淆 的符号（如方程 注意细节： 先确认方程是一元二次方程（ ），再计算 。 【典例3】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；再根据根的判别式，方程有实数根时判别式非负，联立求解 【详解】∵ 关于的一元二次方程 ， ∴， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式 ， 解得 ∴的取值范围是 且 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式可得且，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程是关于的一元二次方程，且方程根的判别式， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，的最小值， 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【答案】见解析； 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式进行证明即可，用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：变为一般形式：， ，，， ， ∵， ∴， ∴关于的方程有实数根， ∴． 【变式5】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程的根都是整数，求实数的所有整数值和方程的整数根． 【答案】实数的所有整数值为，0，1，2，3；当时，方程的整数根为，；当时，方程的整数根为；当时，方程的整数根为；当时，方程的整数根为，；当时，方程的整数根为， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分2种情况讨论：①当时，即，此时方程为，解得，方程的根是整数，符合题意；②当时，则方程变为，解得，，由题意得是整数，据此求出的值，再分别求出对应的方程的整数根即可解答． 【详解】解：①当时，即，此时方程为， 解得，方程的根是整数，符合题意； ②当时，则方程变为， 或， ∴，， ∵方程的根都是整数， ∴是整数， ∴是2的因数， ∴， 解得， 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，； ∴综上所述，实数的所有整数值为，0，1，2，3； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为； 当时，方程的整数根为； 当时，方程的整数根为，； 当时，方程的整数根为，． 题型四 在实数范围内分解因式（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 对二次三项式 ： 1．解方程：先解对应的一元二次方程 ，得根 ； 2．写因式：分解为 （若 。 避坑指南： 漏写二次项系数 ：如 分解为 ，正确应为 ； 时强行分解：实数范围内， 的二次三项式不能分解为一次因式乘积。 注意细节： 分解后需检查：展开因式乘积是否与原式一致。 【典例4】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了因式分解，解一元二次方程，正确的解一元二次方程是解题的关键． 先解方程，再写成因式分解的形式即可． 【详解】解：令， ∴， 则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查了因式分解． 利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式4】在实数范围因式分解： 【答案】 【知识点】平方根概念理解、综合提公因式和公式法分解因式、实数范围内分解因式 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式5】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了在实数范围内分解因式．根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的积．在实数范围内不能再分解． 用完全平方公式分解后，继续在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型五 公式法解一元二次方程（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．化一般式： ； 2．算 ； 3．代公式：若 ，则 。 避坑指南： 时代入公式：此时无实根，无需计算； 分母或符号错误：公式分母是 2 a（不是 ），分子是＂”（不是 ）。 注意细节： 结果需化简（如 应化为 ）。 【典例5】（25-26八年级上·上海松江·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 根据公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：在中，， ∴ ， ∴ ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由于系数含有无理数且不易因式分解，故采用求根公式求解，先将方程中的分数系数化为整数，再计算判别式并求解． 【详解】解：， ∴， 在这里，，，， ， ∴ ∴， ． 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据公式法求解方程． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．首先把一元二次方程化为一般形式，然后再用公式法解方程． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【变式4】（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．本题可以利用配方法或公式法求解即可． 【详解】解：， 方程变形得：， ∵，，，， ∴， ∴，， 即，． 【变式5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键； （1）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （2）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴上述解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）解：原方程可变形为：， 方程中，，，，， ∴， ∴方程的解为, ． 题型六 增长率问题（一元二次方程的应用）（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 设基础量为 ，增长率（或下降率）为 ，增长（或下降） 次后总量为 ，列方程： 增长： ； 下降： 。 避坑指南： 混淆增长／下降公式：下降率用＂ ＂，不是＂ ＂； 次数错误：如＂第 1 年到第 3 年＂是增长 2 次 ，不是 3 次。 注意细节： 解出的 需符合实际（增长率 、下降率 ），舍去不合理的根。 【典例6】（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；熟记增长（下降）模型是解题的关键． 依据两次增长（下降）模型进行列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得， ， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·上海徐汇·月考）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为x，那么可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均增长率的等量关系：，结合实际问题，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒元降至每盒元．则降价的百分率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设每次降价的百分率为，根据原价及现价，即可得出关于的一元二次方程，解之取其小于的值即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍）， 答：每次降价的百分率为． 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·上海静安·期末）某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该商品第二、三年折旧率为x，根据在第三年末它折旧后的价值是20元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该商品第二、三年折旧率为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即该商品第二、三年折旧率为． 故答案为：． 题型七 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．设未知数：通常设图形的边长、半径等为 ； 2．列方程：根据图形的面积、周长、体积等公式（如矩形面积 = 长 × 宽），结合题意列方程； 3．求解验根：解出 后，舍去负数（长度／面积不能为负）。 避坑指南： 单位不统一：如＂长 3 米、宽 20 厘米＂，需先统一为米或厘米； 图形关系错误：如＂矩形长比宽多 2 ＂，误写为＂宽 =。 注意细节： 画图辅助分析图形的边长关系，避免列错方程。 【典例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)8， (2)过道的宽度为 2 米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：8，． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1)①见解析；② (2)1，3，3，1， 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意作图如下： ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 【变式4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为_____（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为_____（用含的代数式表示）； (2)用几何方法求解关于的方程（，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值． 【答案】(1)2x； (2)的值为12，的值为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法、代数式表示及方程参数求解，解题的关键是理解材料中“通过构造正方形与长方形转化面积关系”的核心思路，结合方程形式推导相关量及参数值． （1）类比材料中方程的构造逻辑，根据一次项系数求出四个小长方形的总面积，进而得单个长方形面积；通过小长方形的宽推导大正方形边长； （2）将方程变形为材料中的标准形式，利用大正方形面积和小长方形总面积建立等式，求解参数和 【详解】（1）解：对于方程， ∵四个小长方形的总面积等于方程左边一次项， ∴每个小长方形的面积为； 小长方形的长为，则宽为， ∴大正方形的边长为原正方形边长加两个小长方形的宽，即． 故答案为：；． （2）解：将方程变形为， ∵四个小长方形的总面积为12，且其总面积等于， ∴； 构造的大正方形边长为，其面积为， ∵，， ∴，即； 将代入，得， 整理得， 解得或； 当时，，代入，得， ∴； 当时，，代入，得， ∴； 结合几何构造逻辑，时小长方形宽为（合理正数），故取，． 答：的值为12，的值为． 【变式5】（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得（舍去）， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 题型八 韦达定理（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法: 1.根的和： ； 2．根的积： 。 常用于求＂根的和／积＂＂构造新方程＂＂代数式求值（如 ）＂。 避坑指南： 忽略前提： 且 （无实根时不能用韦达定理）； 符号错误：根的和是＂＂，常误写为＂＂。 注意细节： 涉及代数式变形时，优先用＂整体代入＂（如求 ，不用单独求根）。 【典例8】（25-26八年级上·上海静安·月考）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：7． 【变式1】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程即可． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）关于x的方程是一个一元二次方程，方程有两个实根、，这两个实根满足条件，求k的值 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式和根与系数的关系，关键知识点：等价于方程有两个不相等的实数根；等价于方程有两个相等的实数根；等价于方程没有实根；韦达定理：，．根据方程的系数结合根的判别式可得出 ，由此可证出方程总有两个不同的实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，可以得到 ， ，再将它们代入，即可求出k的值． 【详解】解：由方程， 即， 无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； ， 又 ， 把代入上式：， ， ， 整理得：， 解得：． 【变式4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 【答案】(1)17 (2)； 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键． （1）把各项系数代入一元二次方程根的判别式进行计算即可； （2）求时，先提取公因式，再把和的值代入计算即可；求时，平方后变形为，把和的值代入计算，再开方求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴ ； ； ∵ ∴． 【变式5】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【答案】(1) 2， (2) (3) 8 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 【变式6】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得； （2）解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 题型九 换元法解一元二次方程（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．设元：将方程中重复出现的复杂式子设为 （如 ，设 ）； 2．转化：将原方程转化为关于 的一元二次方程； 3．还原：解出 后，代回设元式求原未知数。 避坑指南： 忘记还原：解出 后，漏了求原未知数； 忽略 的取值范围：如设 ，则 ，需舍去负数的 值。 注意细节： 设元的目的是简化方程，优先选＂重复出现、次数较高＂的式子设为 。 【典例9】（24-25八年级上·上海·期中）若为实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法，先设，可得一元二次方程，然后解一元二次方程并检验即可求解，掌握解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知实数x满足方程：，则 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过换元法，将原方程转化为关于新变量的二次方程，求解后验证实数解的存在性． 【详解】解：设 ，则原方程化为： ， ， ∴， 即 或 ， 当 时， ，即， 判别式为 ：，无实数解； 当 时，，即， 判别式为：，有实数解； ∴． 故答案为：6． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)当时，，；当时，方程无实数根 (4)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 令，则， ∴， 解得，， ∴或， 解得，； （3）解： ①当，即， 则， ∴，； ②当，即， 则方程无实数根； ∴综上所述，当时，，；当时，方程无实数根； （4）解： ，，， ， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【变式4】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【答案】（1）② （2） （3） 【知识点】换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】考查一元二次方程解法（因式分解、换元法）及降次思想．关键是因式分解降次、换元简化方程，易错点是漏项和忽略判别式． （1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，选②． （2）提取公因式并因式分解，降次求解得三个根． （3）换元后解方程，结合判别式得． 【详解】（1）② （2）提取公因式x，得． ∴或， 方程，因式分解可得． ∴或， 解得：或， ∴原方程的解为： （3）设，则． ， 解得，． 当时，，即， ，∴无实数根． 当时，，即，有实数根． 因为a是方程的根， ． 【变式5】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 题型十 配方法（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．化系数：二次项系数化为 1 （方程两边除以 ）； 2．移项：将常数项移到右边 ； 3．配方：两边加＂一次项系数一半的平方＂（即 ），左边配成完全平方式： ； 4．开方：两边开平方，解出 。 避坑指南： 二次项系数不为 1 时直接配方：如 ，需先除以 2 得 ； 配方时只加一边：两边必须同时加 ，否则方程不等。 注意细节： 开平方时，右边非负数才有实根，结果需化简。 【典例10】（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将二次项系数化为，再将方程两边同时加上，进行配方，计算即可得解，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴或，     ∴，． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 把二次项的系数化为1，移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， 方程两边同时除以2，得到：， 移项得， 所以，即， 开平方，得， 解得，． 【变式3】用配方法解方程：4x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】x1=+，x2=- 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】通过移项，配方，开平方，进而即可求解 【详解】解：4x2﹣2x﹣1＝0， 移项得：4x2﹣2x＝1，即：x2﹣x＝， 配方得：x2﹣x+＝+，即：（x-）2＝， ∴x=±， ∴x1=+，x2=-． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法解方程，是解题的关键． 【变式4】用配方法解关于x的方程 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据用配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可进行解答． 【详解】解：移项，得：， 配方，得：， 即：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法步骤． 题型十一 解可化为一元二次方程的分式方程（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．去分母：方程两边同乘最简公分母（含未知数的整式），转化为一元二次方程； 2．解整式方程：用因式分解、公式法等求解转化后的方程； 3．检验：将解代入最简公分母，若公分母 则为原方程的解；若 则为增根，舍去。 避坑指南： 漏乘常数项：去分母时，方程两边每一项（包括常数项）都要乘最简公分母； 忘记检验增根：分式方程必须检验，增根需舍去； 最简公分母找错：如方程 ，最简公分母是 ，不是 。 注意细节： 若转化后的整式方程是一元二次方程，但解出的根均为增根，则原分式方程无解。 【典例11】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查用换元法解分式方程．设，则 ，原方程变为：，方程两边乘最简公分母y，可以把分式方程转化为整式方程． 【详解】解：设，那么 ， 原方程变为， 方程两边都乘y得． 故原方程可化为关于y的整式方程是． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解分式方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查解可化成一元二次方程的分式方程，先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验下结论即可． 【详解】解：方程两边同乘得：， 整理得， ， 解得， 检验，当时，，不是方程的解； 当时，，是方程的解； ∴原分式方程的解为． 【变式2】（24-25八年级下·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握分式方程和一元二次方程的解法和步骤是解题关键．将原分式方程化为整式 方程，再根据因式分解法解一元二次方程，最后检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 经检验：是原方程的增根，舍去：是原方程的解 所以原方程的解是． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 去括号得：， 整理得：， ， 解得，． 检验：当时，，是分式方程的增根； 当时，，是分式方程的解． ∴方程的解为． 【变式4】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）解方程：． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据分式方程的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：或， 经检验：当或时，， ∴该方程的解为或． 题型十二 分式方程的应用（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．设未知数：根据题意设实际问题中的未知数（注意单位统一）； 2．找等量关系：根据路程、工作量、增长率等实际场景，列出含分式的等量关系； 3．列方程：将等量关系转化为分式方程； 4．求解检验：解分式方程，检验解是否为增根，且是否符合实际意义（如人数、长度不能为负）。 避坑指南： 等量关系列反：如＂甲的速度比乙快＂，误写为＂乙的速度 =甲的速度+2 忽略实际意义检验:如解出“人数 =3”，未舍去; 单位不统一:如“路程3千米，速度x米/分钟”，需先统一为千米或米。 注意细节: 常见场景:行程问题(路程=速度x时间)、工程问题(工作量=效率x时间)、浓度问题(溶质= 浓度 x溶液)。 【典例12】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，根据已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，可列方程求解． 【详解】解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，则原来“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟． 【变式2】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 题型十三 由一元二次方程的解求参数（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 分两种情况求解： 1．已知具体解：将解代入方程 ，得到关于参数的方程，解出参数； 2．已知根的性质（如有实根、两根相等／互为相反数等）： 有实根： 且 ； 两根相等： 且 ； 两根关系（如和为 5）：用韦达定理结合 求解。 避坑指南： 忽略 ：参数在二次项系数时，需保证方程是一元二次方程 ，否则需分类讨论（ 时为 元一次方程）； 忘记 限制：用韦达定理或代入法求参数后，需检验 （保证方程有实根）； 代入错误：将根代入方程时，符号或运算出错（如根 代入 ，得 ，不是 。 注意细节： 若参数同时在 a , b , c 中，需先明确方程类型（一元二次／一次），再分情况求解，最后综合所有符合条件的参数值。 【典例13】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根的情况，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． 【变式1】（24-25八年级上·上海·月考）关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为 ． 【答案】2 【知识点】由一元二次方程的解求参数、根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 【变式2】若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程的解的定义得到，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：将代入方程，得， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】25 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，而，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 题型十四 新定义问题（重难点） 【典例14】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）对于实数，定义运算“*”：*．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】204或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义问题， 先解一元二次方程求出两个根，再根据运算“*”的定义，分情况计算． 【详解】解方程， 因式分解得， 所以或， 即两根为或． 当 时，， 所以． 当时，， 所以． 故答案为：204或． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【答案】(1), (2)或 (3)或 【知识点】实数的大小比较、新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了平均数的计算、数的大小比较、解一元二次方程，熟练掌握平均数公式、分情况讨论的方法是解题的关键． （1）第一空根据平均数公式计算三个数的平均数；第二空比较三个数的大小得出最小值． （2）先根据平均数公式表示出，再分情况讨论，结合等式求解 （3）先分析的取值情况，再分情况解方程． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， 故答案为：,； （2）解：， 分情况讨论： 当时，，则，解得，符合 当时，，则，解得，不符合，舍去． 当时，，则，解得，符合 综上，或； （3）解：∵， ∴为或， 分情况讨论： 当，即时，， ∴，即， ， 解得（舍去，因为）或 当，即时，， ∴， 解得或（舍去，因为）． 综上，或 【变式3】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 【答案】(1)①② (2)7或 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）分别求出各方程的解，然后进行判断即可； （2）由根与系数的关系可得，再根据“根差2方程”的定义可得，即，然后根据完全平方公式得到关于a的方程求解即可； （3）根据（2）可得：、，即，然后化简即可解答 【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”； ②的解为，，则该方程为“根差2方程”； ③的解为，，则该方程不是“根差2方程”； 故答案为：①②． （2）解：设关于x的方程的解为，则， ∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”， ∴，即， ∴，解得：或． （3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”， ∴，， ∴， ∵ ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 【答案】/ 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查解分式方程，首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 【答案】这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意； ∴，， 答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米． 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程：． 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（化二次项系数为、配方、开方求解）是解题的关键． 先将二次项系数化为，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，最后用直接开平方法求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，． 6．（25-26八年级上·上海宝山·期中）用配方法解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方形式，最后开平方求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若、、为实数，且满足，求的值为 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简、解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和实数的计算，解题的关键是熟练掌握配方法的理论依据． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【答案】(1)；； (2)，，． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了一元三次方程根与系数的关系和整式乘法，解决此题的关键是熟练运用因式分解的方法解方程； （1）根据题意和因式分解方法解方程把方程变形，进而得到答案； （2）根据（1）中得到的关系，a，b，c可以看作一元三次方程的三个根，根据题目中试根的方法得到答案即可； 【详解】（1）解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； （2）解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、已知字母的值 ，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $1.1基式方程厂方程两边年民关于木知敏的 L示例：x2-3x+2=0 只舍个未知数，且未知软最高次数为的方程 一方程是方程 1.2一元二次方程定义 满足条件： 十只含个未知数 未知数最高次数为 易错点：略整理后最高次数 (如x2+2-x2=3实为一元-次方程) 基本概念 a:二次项数 ax2+br+c=0(a≠0) :次项系数 1.3一般形式 -e. 号错点：未化为一般形式就确定系数：忽略系数符号 实数：满足ax2+b十c=0的实数x C若a+b+c=0,则有一根x=1 1.4报的判断 #殊极：十若a一b十c=0,则有一根 L若c=0,则有一根 号错点：漏检给定数：仅计算左边忽略右边 核心：将方程化为A·B=0,则A=0浅 右边化为0 2.1国式分解法 左边因式分解 立骤： 令每个因式为0 求解一元一次方程 易错点：两边同除以合木知数代教式（会丢根）：忽视右边为0 适用于ax2十c=0形式 移项：x2=一 2.2开平方法 步： 开平方：x=土√一（当右边非负 易错：忽略平方根的正负性 2.解法 核心：将x2+pm配成(e+)2 移项，使左边含未知数项，右边为常数 2.3配方法 步聚 二次项系数化为1 配方：两边加一次项系数一半的平方 开平方求解 易错点：未将二次项系数化为1直接配方 求根公或： (b2-4ac≥0) 化为一般形式 确定a,b,c 2.4公式法 计算判别式△=b2-4a 若△≥0，代入公式求根 易错点：确定a,b,C时符号出错 -△=2-4ac 一△>0：两个实根 3.1定义十根的情况： 一△=0：两个实根 -△<0：实根 3.判别式（△） 易点：混清“两个相等尖根”与“一个实根”：计算时略一般形式 一元二次方程 一已知系数判断根的情况 3.2应用 证明根的情况（合字母参数） 根据根的情况求参数范国（注意a≠0和△≥0） 若ax2+b+c=0(a≠0)有1+2= 4.1定理 两实报C1,C2,则： 1x2= 使用条件：a≠0且△≥0 4.根与系数关系（韦达定理） 己知一根求另一根或参数 求对称代数式的值（如x子+=(1十2）2一2C12) 4.2应用 构造新方程 易错点：忽略判别式检脸 若△≥0，则az2+bz+c=a(z-x1)(z-x2)(x1,x2为根) 5.二次三项式因式分解 若△<0，实数范围内不能分解 易错点：遣漏二次项系数a 一去分母（乘最简公分母》 步骤： 一解整式方程 6.1分式方程 给哈不为0 易错点：漏乘常数项：忘记检验增根 6.可化为一元二次方程的方程 核心：设中间变量简化方程 设元（如t=x2 6.2换元法十步骤：转化为关于t的方程 解出t后还原 号错点：忘记还原：忽修新变量取值范国 下隆) 7.1增长率问题 公式：a(1十x)”=b(增长)： -易错点：混清增长/下降公式：次数错误 利用面积、周长等公式列方 7.应用问题 7.2图形问题十步聚：设木知数、列方程、求解、栓验实际意义 儿易点：单位不统一：图形关系错误 73分式方程应用汇涉及行红，工程等问海 注意单位镜一和实际意义检验 定义：忽略a≠0：未整理方程误判次数 解法：配方时二次项系数未化1：分式方程未检验 9.易错点总结判别式：漏掉△=0的情况 韦达定理：忽略△≥0的前提 应用：忽略实际意义（如负数根） 末根公式：E= 判别式：△=b2-4ac 10.关键公式与结论 书达定理：c1十2=-名，x1x2=9 配方法：x2+pm=(红+)2-()2L.1整式方程厂方位两边年民关于木知数的整式 示例：x2-3x+2=0 一只含一个未知数，且表知数量高次教为2的整式方程 一方程是整式方 1.2一元二次方程定义满足条件： +只含个未知数 太知数鼓高次数为 基本概念 厂a:二次项系数 ax2+ba+c=0(a≠0) b:一次项系 1.3一般形式 L:常数项 易错点：未化为一般形式就确定系纸：忽略系数符号 实数根：满足ax2十b十c=0的实数x -若a+b+c=0.则行一根x=1 1.4根的判断 特殊根： 十若a-b+c=0,则有-根x=-1 -若c=0,则有一根x=0 易错点：泻检给定数：仅计算左边息略右边 核心：将方柱化为A·B=0,则A=0或B=0 -右边化为0 左边因式分超 2.1因式分解法 步： 令每个因式为0 求解一元一次方程 易铅点：两边同除以合未知数代数式（会丢根）：忽视右边为0 适周于ax2+c=0形式 移项：x2=- 2.2开平方法 步聚： 开平方：G=士√厂日（当右边非负】 易错点：息略平方根的正负性 2.解法 核心：将x2+pz配成（工十）2 移项，使左边含末知数项，右边为常数 二次项系数化为1 2.3配方法 动： 配方：两边加一次项系数一半的平方 开平方求解 易错点：未將二次项系敏化为1直接配方 求根公式：=-b-世c(-40c≥0) 一化为一般形式 确定a,b,c 2.4公式法 帝现： 计算判别式△=b2-4a 若△≥0，代入公式求根 易错点：确定a,b,c时杆号出错 -△=b2-4ac -△>0：两个不相等实根 3.1定义厂根的情况： △三0：两个相等实根 △<0：无实根 3.判别式（△） 易错点：混“两个相等实根”与“一个实根”：计算时忽略一般形式 一元二次方程 已知系数判断根的情况 3.2应用 证明根的情况（合字母参载） -根据根的情况求参数范国（注意a≠0和△≥0） 若a2+ba+c=0(a≠0)有+2=-台 4.1定理 两实根1,2，剩： 1x2= 使用条件：a≠0且△≥0 4.根与系数关系（韦达定理） 已知一根求另一银或参数 求对称代数式的值（知1十吃=(1十x2)2一2c12) 42应用 构造新方程 易错点：忽略到别式检验 若△≥0，则aax2+b十c=a(x-1)(x-c2)(c1,c2为根) 5.二次三项式因式分解 若△<0，实数范国内不能分解 易错点：遗漏二次项系数α 一去分母（乘最简公分母） 步聚： 解整式方得 6.1分式方程 一检验（分母不为0) 易错点：乘常数项：忘记检验增 6.可化为一元二次方程的方程 核心：设中间变量简化方程 设元（如t=x2 6.2换元法 步藤： 转化为关于t的方程 解出t后还原 易塔点：忘记还原：忽略新变量取值范围 21增长率问公式：a1十2小=6（得）：a -x)”=b(下降) 易错点：混涛增长/下降公式：次数错误 一利用西积、周长等公式列方程 7.应用问题 7.2图形问题十步聚：设未知数、列方程、求解、检脸实际意义 儿易错点：单位不统一：国形关系错误 73分大方和位同（他 定义：忽略a卡0：未整理方程误判次教 解法：配方时二次项系数未化1：分式方程未检验 9.易错点总结 判别式：漏掉△=0的情况 韦达定理：忽略△≥0的前提 应用：忽略实际意义（如负数根） 体标公式：=堂酒 判别式：△=b2-4aC 10.关键公式与结论 书达定理：D1十x2=一名，心1x2= 配方法：x2+pm=(x十)2-()2 专题03 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念 掌握一元二次方程的三个判定条件（单未知数、最高次数2、整式方程），能准确判断方程类型 基础必考点，小题为主；易混淆“原方程整式属性”与“整理后方程次数”，忽略二次项系数不为0的隐含条件 一元二次方程的一般形式 熟练将方程化为一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0），能准确识别二次项系数、一次项系数和常数项 重点基础考点，贯穿后续解法与性质应用；易未化一般形式就确定系数，或忽略系数前的符号 一元二次方程的根 理解方程根的定义，能通过代入检验判断给定实数是否为方程的根 基础考点，常结合根的性质考查；易漏检多个给定数，或仅计算左边忽略右边是否相等 一元二次方程的解法（因式分解法、开平方法、配方法、公式法） 熟练掌握四种解法的步骤和适用场景，能根据方程特点选择合适方法求解 重点核心考点，小题/解答题均涉及；因式分解法易丢根，开平方法易忽略平方根正负性，配方法易未化二次项系数为1，公式法易出错a、b、c符号 一元二次方程的判别式 理解判别式Δ=b²-4ac的定义，能根据Δ的符号判断根的情况，结合根的情况求参数取值范围 重点考点，常与参数结合考查；易混淆“两个相等实根”与“一个实根”，忽略先化一般形式再计算Δ，或漏记“有实根”需Δ≥0 一元二次方程的根与系数关系（韦达定理） 掌握韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a），能在方程有实根的前提下求根的和与积、代数式求值 重点难点考点，解答题常考；易忽视Δ≥0的使用前提，或未将方程化为一般形式就套用定理，根的和符号易出错 二次三项式的因式分解（求根公式法） 掌握在实数范围内因式分解二次三项式的方法，能通过求对应方程的根完成分解 重点考点，常与方程解法结合；易遗漏二次项系数a，或在Δ<0时强行分解 可化为一元二次方程的分式方程 掌握分式方程的求解步骤（去分母化整式方程、解整式方程、检验增根），能识别并舍去增根 难点考点，解答题常考；易漏乘常数项，忘记检验增根，或找错最简公分母 一元二次方程的应用 能根据实际场景（增长率/下降率、图形面积/周长、行程、工程等）列方程，求解后检验根的实际意义 重点应用考点，解答题高频；易混淆增长与下降公式，图形问题单位不统一，忽略实际意义对根的限制（如负数舍去） | 知识点01 整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫作整式方程。 知识点02 一元二次方程的概念 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程。需同时满足三个条 件： 1. 方程两边都是关于未知数的整式； 2. 只含有一个未知数； 3. 未知数的最高次数是2。 判断方程 是否为一元二次方程： 整理后得 ，满足“整式方程、一个未知数、最高次数2”，因此是一元二次方程。 1.混淆“原方程的整式属性”与“整理后方程的次数”：如 不是整式方程，因此不是一元二 次方程； 2. 忽略二次项系数的不确定性：如 （a,b 为常数），当 时不是一元二次方程。 知识点03 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 （a,b,c 为已知数，且 ），其中： 叫作二次项， 是二次项系数； bx 叫作一次项， 是一次项系数； 叫作常数项。 将方程 化为一般形式： 去分母得 ，整理得 ，因此二次项系数是2，一次项系数是5，常数项 是15。 1. 未化为一般形式就确定系数：如 ，需先整理为 ，再确定系数； 2. 忽略系数前的符号：如 中，一次项是 ，一次项系数是3。 知识点04 一元二次方程的根 满足方程 的实数 叫作这个方程的实数根（简称根）。 重要结论： 1. ，方程有一个根是 ； 2. ，方程有一个根是 ； 3. ，方程有一个根是 。 判断 是否为方程 的根： 代入左边得 ，与右边相等，因此 是该方程的根。 1. 漏检给定的数：一元二次方程可能有两个根，需对每个给定的数都代入检验； 2. 仅计算左边忽略右边：需分别计算左右两边的值，确认是否相等。 知识点05 因式分解法 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，进而将解一元二次方程的问题转化 为解一元一次方程的方法，称为因式分解法。 理论依据：若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0；即方程化为时，或 。 一般步骤： 1. 将方程右边化为0； 2. 将方程左边因式分解为两个一次因式的积； 3. 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程； 4. 解这两个一元一次方程，其解即为原方程的解。 解方程 解：由原方程得或，解得或。 所以，原方程的根是。 1.方程两边同除以含未知数的代数式：如解方程时，若直接除以得，会 丢失的根（因时，不能作除数）； 2.忽视方程右边为0：如解方程时，若不先将右边化为0就直接因式分解，会导致求 解错误。 知识点06 开平方法 利用平方根的定义，直接通过求平方根来解某些特殊一元二次方程的方法，称为开平方法。 对于一元二次方程，可变形为，记，则： 当时，方程有两个不相等的实数根：； 当时，方程有两个相等的实数根：； 当时，方程没有实数根。 解的步骤： 1. 移项、两边同除以，将方程变形为； 2. 根据平方根的意义，结合的符号确定根的情况。 解方程 解：移项得，两边开平方得。 所以，原方程的根是。 忽略平方根的“正负性”：如解方程时，若只取，会丢失对应的根。 知识点08 配方法 给加上配成完全平方式的过程，称为“配方”；通过“配方”解一元二次方程的方法，称为配方法。 理论依据：完全平方公式。 一般步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 2. 二次项系数化为1：方程两边同除以二次项系数； 3. 配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 开平方：利用平方根的意义直接开平方； 5. 解一元一次方程：移项、合并同类项解所得的两个一元一次方程。 解方程 解：原方程两边同加4，化为，即。 两边开平方得或，解得或。 所以，原方程的根是。 未将二次项系数化为1：如解方程时，若直接配方而不先两边除以2，会导致配方错误（正确步骤应先化为，再配方）。 知识点09 公式法 对于一元二次方程，当时，实数根可表示为，此 式称为求根公式；利用求根公式解一元二次方程的方法，称为公式法。 应用条件：a≠0且；当时，方程有两个相等的实数根（重根）。 一般步骤： 1. 将方程化为一般形式； 2. 确定a,b,c的值（注意符号）； 3. 计算的值； 4. 若，代入求根公式得方程的根；若，方程无实数根。 解方程 解：原方程为一般形式，其中。 计算。 由求根公式得，解得或。 所以，原方程的根是。 确定a,b,c的值时符号出错：如解方程时，需先化为一般形式，若误将取为（忽略符号），会导致后续计算错误。 知识点10 一元二次方程的判别式 对于一元二次方程： 1. 判别式定义：式子叫作该方程的判别式，通常用符号“Δ”表示，记作。 2..实数根的情况判断： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根。 （上述判断可逆，即由根的情况可反推Δ3．注意事项： 3.注意事项 一元二次方程有实数根的条件是 （包含两个不相等或相等的实数根）； 不能将＂两个相等的实数根＂表述为＂只有一个实数根＂； 当 a , c异号时，方程一定有两个不相等的实数根（因 ）。 下列说法中正确的是（） A.在一个一元二次方程中，如果，那么方程只有一个实数根 B.在一元二次方程中， C.如果一元二次方程无实数根，则不存在 D. 在一元二次方程中，如果二次项系数与常数项的符号相异，那么方程必定有两个不相等的实数根 解析： 选项A：时方程有两个相等的实数根，并非“只有一个”，错误； 选项B：方程化为一般形式，，错误； 选项C：任何一元二次方程的Δ都存在，与是否有实数根无关，错误; 选项D:a,c异号则，，方程有两个不相等的实数根，正确。 答案：D 1.混淆“两个相等的实数根”与“一个实数根”：时方程是两个相等的实数根，不能表述为“只有 一个根”； 2. 计算Δ时忽略方程的一般形式：如方程，需先化为一般形式再计算Δ，否则易出错； 3. 忽略“有实数根”的条件是Δ≥0：易漏掉等号，误将“有实数根”等同于“有两个不相等的实数根”。 知识点11 一元二次方程的判别式的应用 利用判别式解题主要有三种类型： 1. 已知a,b,c（均为已知数）：先计算的值，再判断方程根的情况； 2. a,b,c含字母（证明方程根的情况）：先写出Δ的表达式，再通过恒等变形（如配方）判断Δ的符号； 3. 已知方程根的情况：根据Δ与0的关系列方程或不等式，求解待定系数的值或取值范围。 不解方程，判断方程的实数根的情况。 解析：确定方程中，计算Δ： ，因此此方程有两个不相等的实数根。 1. 考虑不全：如已知方程“有两个实数根”，易误当成“有两个不相等的实数根”，忽略的情况； 2. 忽略二次项系数不为0的隐含条件：用判别式求解含字母的一元二次方程时，易忘记二次项系数不能为 0的限制，导致取值范围出错。 知识点12 一元二次方程的根与系数关系的定理 设一元二次方程 的两个实数根为 ，则： 1. 韦达定理：； 2. 使用条件： 方程是一元二次方程，即二次项系数 ； 方程有实数根，即判别式 ； 3.重要推理：当二次项系数 （方程为 ）时，。 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：设方程的两个实数根为 。 1. 由韦达定理，得 ； 2. 原方程变形为 ，由韦达定理，得 ； 3. 原方程变形为 ，由韦达定理，得 ； 4. 由韦达定理，得 。 忽视判别式的检验：使用根与系数关系的前提是方程有实数根（），忽略此条件会致错。 知识点13 一元二次方程的根与系数关系的应用（已知一根求另一根或字母系数） 已知一元二次方程 的一个根，利用根与系数关系（）， 设出另一根，列方程可求解另一根及字母系数的值（需满足方程是一元二次方程且 的条件）。 已知方程 的一个根是 ，求此方程的另一个根及 的值。 解：设方程的另一个根为 ，由韦达定理得： 由第二个方程得 ，代入第一个方程得 ，解得 。 故方程的另一个根是1， 的值是9。 求解后未验证判别式：求出字母系数后，需检验方程的判别式 ，确保方程有实数根。 知识点14 二次三项式的因式分解（求根公式法） 对于二次三项式 ： 若 ，先通过求根公式求出方程 的两个根 ，再得到因式分解式： ； 若 ，则该二次三项式在实数范围内不能因式分解。 推导依据：韦达定理（），将 变形为 。 注意： 当 时，分解式中的因数 不可遗漏； 当 时，。 在实数范围内因式分解 ： 1. 令方程 ，计算判别式：； 2. 求根：； 3. 因式分解：。 混淆方程变形与恒等变形：解方程时习惯将 化为 ，但因式分解时误将 当作 的因式分解式，遗漏因数 。 知识点15 解可化为一元二次方程的分式方程 解可化为一元二次方程的分式方程的一般步骤： 1. 去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程； 2. 解方程：求解转化后的整式方程； 3. 检验：将整式方程的解代入原方程，若等式成立且分母有意义，则为原方程的解；若分母无意义，则为 增根，应舍去。 解方程 ： 1. 变形：原方程化为 ； 2. 去分母：两边同乘 ，得 ，整理为 ； 3. 解方程：得 ； 4. 检验： 时原方程等式成立； 时原方程分母为0，是增根，舍去； 5. 结论：原方程的根是 。 知识点16 列方程解应用题 一. 列一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 1. 审：读懂题目，明确各量之间的关系； 2. 设：设出未知数； 3. 列：根据题意列关于未知数的一元二次方程； 4. 解：求出未知数的值； 5. 验：检验方程的解是否符合实际意义； 6. 答：写出答案。 用12m长的铁丝围成长方形，若面积为 ，求长和宽： 1. 设宽为 m，则长为 m（周长12，长+宽=6）； 2. 列方程：，整理为 ； 3. 解方程：得 ； 4. 检验： 符合实际，此时长为5m； 5. 答：长是5m，宽是1m。 二. 列可化为一元二次方程的分式方程的实际问题 列可化为一元二次方程的分式方程解决实际问题的一般步骤： 1. 审：读懂题目，明确各量之间的关系； 2. 设：设出未知数； 3. 列：根据题意列分式方程； 4. 解：将分式方程化为整式方程，求解未知数的值； 5. 验：既检验是否为分式方程的解，又检验是否符合实际问题的要求； 6. 答：写出答案。 某校到博物馆6km，返回时速度比去时少1km/h，时间多用半小时，求返回速度： 1. 设返回速度为 km/h，则去时速度为 km/h； 2. 列方程：； 3. 去分母整理：； 4. 解方程：得 ； 5. 检验： 不符合实际（速度不能为负），舍去； 6. 答：返回速度是3km/h。 忽略实际问题对方程根的限制：解决实际问题时，未结合题干中的实际条件（如速度、长度为正数等）， 舍去不符合实际的根。 例如：在实际问题中，求出的根为负数（如速度、边长），应舍去而未舍去。 题型一 一元二次方程的定义（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 判定方程是否为一元二次方程，需同时满足 3 点： 1．是整式方程； 2．只含 1 个未知数； 3．未知数最高次数为 2 （整理后）。 避坑指南： 忽略＂整式方程＂：分式方程（如 ）不是一元二次方程； 误判次数：含未知数的项经过合并后，最高次才是 2 （如 实际是一元一次方程）。 注意细节： 先将方程整理为一般形式 （a , b , c为常数），再判断 （若 则不是一元二次方程）。 【典例1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m能够取到的最小整数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ． 题型二 因式分解解一元二次方程（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．移项：将方程整理为＂右边 ＂的形式； 2．分解：把左边多项式分解为两个一次因式的乘积（常用方法：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法）； 3．求解：令每个因式为 0 ，解出未知数。 避坑指南： 分解不彻底：如 只分解为 ，漏了 ； 丢根：提公因式时忽略＂公因式 ＂的情况（如 ，漏解 ）。 注意细节： 分解前务必将方程整理为标准形式（右边为 0 ），避免漏项。 【典例2】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）用合适方法解方程： 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解方程： 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【变式3】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）一元二次方程的解 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）解方程：． 【变式5】解方程： 题型三 一元二次方程根的判别式（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．化一般式：将方程整理为 ； 2．算 ：计算判别式 ； 3．判根： 个不相等实根； 个相等实根； 无实根。 避坑指南： 忽略 ：若 ，方程不是一元二次方程，不能用判别式； 符号错误：计算 时混淆 的符号（如方程 注意细节： 先确认方程是一元二次方程（ ），再计算 。 【典例3】若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【变式3】（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）请证明：无论取何值时，关于的方程有实数根，并解出此时方程的根． 【变式5】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知关于的方程的根都是整数，求实数的所有整数值和方程的整数根． 题型四 在实数范围内分解因式（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 对二次三项式 ： 1．解方程：先解对应的一元二次方程 ，得根 ； 2．写因式：分解为 （若 。 避坑指南： 漏写二次项系数 ：如 分解为 ，正确应为 ； 时强行分解：实数范围内， 的二次三项式不能分解为一次因式乘积。 注意细节： 分解后需检查：展开因式乘积是否与原式一致。 【典例4】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内分解因式： ． 【变式1】（24-25八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解： ． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解： ． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ． 【变式4】在实数范围因式分解： 【变式5】在实数范围内分解因式： ． 题型五 公式法解一元二次方程（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．化一般式： ； 2．算 ； 3．代公式：若 ，则 。 避坑指南： 时代入公式：此时无实根，无需计算； 分母或符号错误：公式分母是 2 a（不是 ），分子是＂”（不是 ）。 注意细节： 结果需化简（如 应化为 ）。 【典例5】（25-26八年级上·上海松江·期中）解方程：． 【变式1】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解方程： 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）解方程：． 【变式3】（24-25八年级上·上海·期末）解方程：． 【变式4】（24-25八年级上·上海闵行·期末）解方程：． 【变式5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程时，小海同学解答如下： 解：原方程中，，，．第一步 ．第二步 ，第三步 即或．第四步 所以，原方程的根是，．第五步 (1)上述解题过程从第_____步开始出现错误？ (2)请写出完整的正确解题过程． 题型六 增长率问题（一元二次方程的应用）（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 设基础量为 ，增长率（或下降率）为 ，增长（或下降） 次后总量为 ，列方程： 增长： ； 下降： 。 避坑指南： 混淆增长／下降公式：下降率用＂ ＂，不是＂ ＂； 次数错误：如＂第 1 年到第 3 年＂是增长 2 次 ，不是 3 次。 注意细节： 解出的 需符合实际（增长率 、下降率 ），舍去不合理的根。 【典例6】（25-26八年级上·上海闵行·月考）某型号的笔记本电脑发售时每台售价13999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为9999元，设每次降价的百分率为x，则可以列出相关的方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海徐汇·月考）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海普陀·期末）某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为x，那么可列方程为 ． 【变式3】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）某文具店为迎接“购物节”，提高水笔销量，经过两次降价后（每次降价的百分率相同），由每盒元降至每盒元．则降价的百分率为 ． 【变式4】（24-25八年级下·上海静安·期末）某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为 ． 题型七 与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．设未知数：通常设图形的边长、半径等为 ； 2．列方程：根据图形的面积、周长、体积等公式（如矩形面积 = 长 × 宽），结合题意列方程； 3．求解验根：解出 后，舍去负数（长度／面积不能为负）。 避坑指南： 单位不统一：如＂长 3 米、宽 20 厘米＂，需先统一为米或厘米； 图形关系错误：如＂矩形长比宽多 2 ＂，误写为＂宽 =。 注意细节： 画图辅助分析图形的边长关系，避免列错方程。 【典例7】（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【变式2】（25-26八年级上·上海松江·期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【变式4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：《代数学》中记载，曾有数学家用几何方法求解一元二次方程．以方程的求解为例，其求正数解的几何方法为：如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的小长方形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用上述几何方法求解方程时，先构造面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积相等的小长方形，得到的每个小长方形的面积应为_____（用含的代数式表示）；构造出的大正方形边长为_____（用含的代数式表示）； (2)用几何方法求解关于的方程（，是常数，且方程有正数解）时，按材料中的方法构造图形：先画面积为的正方形，再向外构造四个面积相等的小长方形，最终得到的大正方形面积为49．如果四个小长方形的总面积为12，求和的值． 【变式5】（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 题型八 韦达定理（重点） 解｜题｜技｜巧 核心方法: 1.根的和： ； 2．根的积： 。 常用于求＂根的和／积＂＂构造新方程＂＂代数式求值（如 ）＂。 避坑指南： 忽略前提： 且 （无实根时不能用韦达定理）； 符号错误：根的和是＂＂，常误写为＂＂。 注意细节： 涉及代数式变形时，优先用＂整体代入＂（如求 ，不用单独求根）。 【典例8】（25-26八年级上·上海静安·月考）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式1】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）关于x的方程是一个一元二次方程，方程有两个实根、，这两个实根满足条件，求k的值 【变式4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，是方程的两实数根，求 (1)判别式的值； (2)和的值． 【变式5】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【变式6】已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根满足，求k的值． 题型九 换元法解一元二次方程（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．设元：将方程中重复出现的复杂式子设为 （如 ，设 ）； 2．转化：将原方程转化为关于 的一元二次方程； 3．还原：解出 后，代回设元式求原未知数。 避坑指南： 忘记还原：解出 后，漏了求原未知数； 忽略 的取值范围：如设 ，则 ，需舍去负数的 值。 注意细节： 设元的目的是简化方程，优先选＂重复出现、次数较高＂的式子设为 。 【典例9】（24-25八年级上·上海·期中）若为实数，且，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海徐汇·期中）已知实数x满足方程：，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【变式4】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）（1）在学习：一元二次方程的解法这一节时，教科书介绍了两种特殊的一元二次方程的解法，分别是用因式分解法和求平方根，将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，即解一元二次方程的基本思想是（填序号）_____（①消元，②降次） （2）解方程： （3）若实数是方程的根，求的值 【变式5】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 题型十 配方法（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．化系数：二次项系数化为 1 （方程两边除以 ）； 2．移项：将常数项移到右边 ； 3．配方：两边加＂一次项系数一半的平方＂（即 ），左边配成完全平方式： ； 4．开方：两边开平方，解出 。 避坑指南： 二次项系数不为 1 时直接配方：如 ，需先除以 2 得 ； 配方时只加一边：两边必须同时加 ，否则方程不等。 注意细节： 开平方时，右边非负数才有实根，结果需化简。 【典例10】（25-26八年级上·上海普陀·期中）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26八年级上·上海普陀·期中）用配方法解方程：． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）用配方法解方程：． 【变式3】用配方法解方程：4x2﹣2x﹣1＝0． 【变式4】用配方法解关于x的方程 题型十一 解可化为一元二次方程的分式方程（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．去分母：方程两边同乘最简公分母（含未知数的整式），转化为一元二次方程； 2．解整式方程：用因式分解、公式法等求解转化后的方程； 3．检验：将解代入最简公分母，若公分母 则为原方程的解；若 则为增根，舍去。 避坑指南： 漏乘常数项：去分母时，方程两边每一项（包括常数项）都要乘最简公分母； 忘记检验增根：分式方程必须检验，增根需舍去； 最简公分母找错：如方程 ，最简公分母是 ，不是 。 注意细节： 若转化后的整式方程是一元二次方程，但解出的根均为增根，则原分式方程无解。 【典例11】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为 ． 【变式1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）解分式方程： 【变式2】（24-25八年级下·上海普陀·期末）解方程：． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）解方程：． 【变式4】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）解方程：． 题型十二 分式方程的应用（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 1．设未知数：根据题意设实际问题中的未知数（注意单位统一）； 2．找等量关系：根据路程、工作量、增长率等实际场景，列出含分式的等量关系； 3．列方程：将等量关系转化为分式方程； 4．求解检验：解分式方程，检验解是否为增根，且是否符合实际意义（如人数、长度不能为负）。 避坑指南： 等量关系列反：如＂甲的速度比乙快＂，误写为＂乙的速度 =甲的速度+2 忽略实际意义检验:如解出“人数 =3”，未舍去; 单位不统一:如“路程3千米，速度x米/分钟”，需先统一为千米或米。 注意细节: 常见场景:行程问题(路程=速度x时间)、工程问题(工作量=效率x时间)、浓度问题(溶质= 浓度 x溶液)。 【典例12】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【变式1】（24-25八年级下·上海·期中）今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【变式2】为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 题型十三 由一元二次方程的解求参数（难点） 解｜题｜技｜巧 核心方法： 分两种情况求解： 1．已知具体解：将解代入方程 ，得到关于参数的方程，解出参数； 2．已知根的性质（如有实根、两根相等／互为相反数等）： 有实根： 且 ； 两根相等： 且 ； 两根关系（如和为 5）：用韦达定理结合 求解。 避坑指南： 忽略 ：参数在二次项系数时，需保证方程是一元二次方程 ，否则需分类讨论（ 时为 元一次方程）； 忘记 限制：用韦达定理或代入法求参数后，需检验 （保证方程有实根）； 代入错误：将根代入方程时，符号或运算出错（如根 代入 ，得 ，不是 。 注意细节： 若参数同时在 a , b , c 中，需先明确方程类型（一元二次／一次），再分情况求解，最后综合所有符合条件的参数值。 【典例13】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【变式1】（24-25八年级上·上海·月考）关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为 ． 【变式2】若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为 【变式3】（24-25八年级上·上海·期中）如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【变式4】（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 题型十四 新定义问题（重难点） 【典例14】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）对于实数，定义运算“*”：*．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【变式3】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）； ①，②，③； (2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值； (3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为 ． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）用配方法解方程：． 6．（25-26八年级上·上海宝山·期中）用配方法解方程：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若、、为实数，且满足，求的值为 ． 2．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： (1)利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， (2)根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 3．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是 ． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $