专题04 锐角三角函数（期末复习讲义）九年级数学上学期湘教版

该初中数学锐角三角函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，结合“正对斜，余邻斜，正对邻”等记忆口诀和易错点标注，构建涵盖定义、特殊角值、解直角三角形应用的知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如解直角三角形应用题标注“仰角/俯角、水平线、参照物”三要素技巧，跨学科综合题转化物理反射问题，培养几何直观与模型意识。基础、重难、拓展练习满足不同学生需求，助力教师精准教学。

专题04 锐角三角函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数定义 能准确用sin/cos/tan表示直角三角形边角关系 常考基础选择填空题（占分值15%），易混淆三角函数符号 特殊角三角函数值 熟练背诵30°、45°、60°的精确值 必考计算题，易错在分母有理化（如tan30°=√3/3非0.577） 解直角三角形应用 会建立数学模型解决仰角/俯角问题 压轴题高频考点（占20分），易错在单位换算和近似值取舍 跨学科综合题 能将物理光反射问题转化为三角函数计算 2024命题趋势，需掌握入射角=反射角原理 知识点01 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 易错点：混淆比例关系：误认为sinA=邻边/斜边（实际为对边/斜边） ；记忆口诀："正对斜，余邻斜，正对邻" 知识点02 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 易错点：计算：tan30°+cos45°=？ ✘ 典型错误：tan30°=（未有理化） ✔ 正确解法：/3 + /2 知识点03 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 易错点：误用等式：tanα=sinα/cosα（仅适用于锐角） 知识点04 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 示例：1.标已知：用"○"圈出已知边角 2.选公式： 已知两边→勾股定理 • 已知一边一角→三角函数 3.验证：检查角度和是否为180° 知识点05 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 易错点： 测量塔高时： ✘ 将仰角当作视线与地面的夹角 ✔ 必须从水平线向上测量 知识点06 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 易错点： 混淆h与l的位置：把垂直高度当水平距离 知识点07 方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 易错点： 将"北偏东60°"误认为"东偏北30°" 知识点08 解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 易错点：1.单位统一陷阱 • 坡度题：统一为"垂直:水平" • 测量题：统一为"米"和"度" 2.近似值取舍 • 中间过程保留4位小数 • 最终结果保留2位小数 3.计算器使用 ✘ sin⁻¹误按为1/sin ✔ 区分"反函数"与"倒数"键 题型一 特殊角三角函数值 解｜题｜技｜巧 ① 先判断是否30°-60°-90°或45°-45°-90°三角形 ② 回忆口诀："1-2-"和"1-1-"对应关系 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值可进行求解； （2）根据二次根式的混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（24-25九年级下·陕西·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 计算即可； （2）根据计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【变式2】（25-26九年级上·海南海口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的化简及特殊角的三角函数的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘除法计算即可； （2）根据二次根式的乘除法计算，再合并即可求解； （3）代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）求下列式子的值： 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的混合计算，掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据，代入原式计算即可． 【详解】解： ． 题型二 解直角三角形应用题 解｜题｜技｜巧 标注"三要素"：仰角/俯角、水平线、参照物 确定已知量和待求量的位置关系 示例： 【2024长沙真题】无人机在楼顶测得俯角30°，下降50米后俯角45°，求楼高 破解步骤： ① 画双直角三角形模型 ② 设楼高h，用h表示两次观测的水平距离 ③ 建立方程：h/tan30°=(h-50)/tan45° 易｜错｜点｜拨 1. 混淆俯角观测方向（应从水平线向下看） 2. 单位统一：将"米"和"度"全程统一使用 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【详解】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角α满足时，人在爬梯子时才会安全．已知梯子长为． (1)在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到） (2)当梯子底端距离墙面时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)梯子顶端距离地面的最大高度约为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用． （1）根据正弦的定义求出即可； （2）根据余弦的定义分别求出、时，的长度，判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知：当时，梯子顶端距离地面的高度最大， 在中，， ∵， ∴（）， 答：梯子顶端距离地面的最大高度约为； （2）解：能，理由如下：当时，（）， 当时，（）， ∵， ∴当梯子底端距离墙面时，人能够安全使用这个梯子． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，，分别表示某市一小区的两幢楼房，高都为30米，两楼间的距离为24米，现了解到该市规定：在时，前楼在后楼上的影长不得高于16米（该地区，太阳光线与水平线的夹角为）． (1)问该小区是否符合规定？ (2)如果要求在时，前楼恰好不影响后楼的采光，那么两楼应相距多少米？ 【答案】(1)不符合规定，理由见解析 (2)如果要求在时，前楼恰好不影响后楼的采光，那么两楼应相距米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用． （1）由题意知米，，根据得米，继而知米，即可作出判断； （2）当米时，米，从而得米． 【详解】（1）解：不符合规定，理由如下： 如图，由题意知米，， ∵， ∴（米）， 则（米）， ∵， ∴该小区不符合规定； （2）解：当米时，（米）， 则米， 答∶如果要求在时，前楼恰好不影响后楼的采光，那么两楼应相距米． 【变式3】（23-24九年级上·山东济宁·期末）某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑梯的倾斜度由降为，已知原滑梯的长为米，点、、在同一水平地面上．求：改善后滑梯会加长多少？（保留根号） 【答案】改善后滑梯会加长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据求出AC，然后根据求出AD，根据，即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 在中，， ． （米）． 答：改善后滑梯会加长米． 题型三 跨学科综合题 解｜题｜技｜巧 将物理/工程问题转化为三角函数模型 抓住关键条件（如入射角=反射角） 怎么做： 【光学反射题】激光以60°入射角射向镜面，反射光线与另一镜面成75°角，求第二镜面倾角 解法： ① 作法线，标出入射角=反射角=60° ② 利用三角形内角和求夹角 ③ 关键公式：镜面夹角=180°-反射角-已知角 易｜错｜点｜拨 忽略反射定律中的角度对称性 【典例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 【典例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2） ，， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 【变式1】（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）如果仔细观察和思考，生活中处处有数学，而其中的很多数学问题仅仅利用很简单的数学知识就可以解决．下面的两个图，其中一个图是某电机剖面图，图示中主要包含有电机外壳，以及电机转子中用来缠绕线圈的支撑材料（即图中的粗实线，一般是刚性支撑材料）．另一个图是该电机转子中一个基本图形的局部放大图和相关尺寸标注（注：两个图形都分别具有轴对称性）．据此，请求出完整剖面图中所有线圈支撑材料的总长度． 【答案】厘米 【分析】本题考查了解直角三角形，在设，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：过点A作于点E 由图示数据和图形的轴对称性可知， ， 设， 在中， ，即， 可得 在中， ，即， 可得 即 在中， ，即 解得 所以，所有线圈支撑材料的总长度为：厘米． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁沈阳·期末）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为，是伸展臂，，，主臂伸展角． (1)求点P到的距离； (2)若此时，求伸展臂的长．（参考数据：，，） 【答案】(1)点P到的距离约为 (2)伸展臂的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，延长交于点，则四边形是矩形，，再利用锐角三角函数，求出，即可求解； （2）根据同角的余角相等，得到，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，延长交于点， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， 即点P到的距离约为； （2）解：， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 即伸展臂的长约为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，当正切值为时，对应的角度为，由此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：D． 3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，再代入进行二次根式的乘法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ，，， 故， 故， 故， 故答案为：2． 5．（25-26九年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，乘方运算等知识，熟知特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算出特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解； （2）先计算乘方、特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 3．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角函数定义是解题的关键．由翻折变换的性质得出，由勾股定理求出的长，再由求出的长，再由三角函数定义求出的长，进而求出的长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)55 (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，得到，，推出，，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可； （3）根据题意求得，分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：55； （2）解：根据题意，得， ∵中，，为中点， ∴， ∴，， ∴，， 当点Q在上时，， ∴，解得， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当时，， 此时，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时，由，得， 解得． 当点Q在上时，由，得， 解得． ∴或． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 3．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 4．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】过点C作于点M， 设， 则，根据仰角，解直角三角形计算即可． 本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点M， 设， 则， 在中， ， 则， 则； 在中， ， 则 解得：， 经检验，是该分式方程的解． ∴． 答：无人机在C处时离地面． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 锐角三角函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数定义 能准确用sin/cos/tan表示直角三角形边角关系 常考基础选择填空题（占分值15%），易混淆三角函数符号 特殊角三角函数值 熟练背诵30°、45°、60°的精确值 必考计算题，易错在分母有理化（如tan30°=√3/3非0.577） 解直角三角形应用 会建立数学模型解决仰角/俯角问题 压轴题高频考点（占20分），易错在单位换算和近似值取舍 跨学科综合题 能将物理光反射问题转化为三角函数计算 2024命题趋势，需掌握入射角=反射角原理 知识点01 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 易错点：混淆比例关系：误认为sinA=邻边/斜边（实际为对边/斜边） ；记忆口诀："正对斜，余邻斜，正对邻" 知识点02 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 易错点：计算：tan30°+cos45°=？ ✘ 典型错误：tan30°=（未有理化） ✔ 正确解法：/3 + /2 知识点03 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 易错点：误用等式：tanα=sinα/cosα（仅适用于锐角） 知识点04 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 示例：1.标已知：用"○"圈出已知边角 2.选公式： 已知两边→勾股定理 • 已知一边一角→三角函数 3.验证：检查角度和是否为180° 知识点05 仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 易错点： 测量塔高时： ✘ 将仰角当作视线与地面的夹角 ✔ 必须从水平线向上测量 知识点06 坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 易错点： 混淆h与l的位置：把垂直高度当水平距离 知识点07 方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 易错点： 将"北偏东60°"误认为"东偏北30°" 知识点08 解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 易错点：1.单位统一陷阱 • 坡度题：统一为"垂直:水平" • 测量题：统一为"米"和"度" 2.近似值取舍 • 中间过程保留4位小数 • 最终结果保留2位小数 3.计算器使用 ✘ sin⁻¹误按为1/sin ✔ 区分"反函数"与"倒数"键 题型一 特殊角三角函数值 解｜题｜技｜巧 ① 先判断是否30°-60°-90°或45°-45°-90°三角形 ② 回忆口诀："1-2-"和"1-1-"对应关系 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25九年级下·陕西·期末）计算： (1) ； (2)． 【变式2】（25-26九年级上·海南海口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）求下列式子的值： 题型二 解直角三角形应用题 解｜题｜技｜巧 标注"三要素"：仰角/俯角、水平线、参照物 确定已知量和待求量的位置关系 示例： 【2024长沙真题】无人机在楼顶测得俯角30°，下降50米后俯角45°，求楼高 破解步骤： ① 画双直角三角形模型 ② 设楼高h，用h表示两次观测的水平距离 ③ 建立方程：h/tan30°=(h-50)/tan45° 易｜错｜点｜拨 1. 混淆俯角观测方向（应从水平线向下看） 2. 单位统一：将"米"和"度"全程统一使用 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图是一架斜靠在墙面上的梯子，当梯子与地面所形成的夹角α满足时，人在爬梯子时才会安全．已知梯子长为． (1)在安全范围内，该梯子顶端距离地面的最大高度是多少？（精确到） (2)当梯子底端距离墙面时，人是否能够安全使用这个梯子？请说明理由．（参考数据：） 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，，分别表示某市一小区的两幢楼房，高都为30米，两楼间的距离为24米，现了解到该市规定：在时，前楼在后楼上的影长不得高于16米（该地区，太阳光线与水平线的夹角为）． (1)问该小区是否符合规定？ (2)如果要求在时，前楼恰好不影响后楼的采光，那么两楼应相距多少米？ 【变式3】（23-24九年级上·山东济宁·期末）某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑梯的倾斜度由降为，已知原滑梯的长为米，点、、在同一水平地面上．求：改善后滑梯会加长多少？（保留根号） 题型三 跨学科综合题 解｜题｜技｜巧 将物理/工程问题转化为三角函数模型 抓住关键条件（如入射角=反射角） 怎么做： 【光学反射题】激光以60°入射角射向镜面，反射光线与另一镜面成75°角，求第二镜面倾角 解法： ① 作法线，标出入射角=反射角=60° ② 利用三角形内角和求夹角 ③ 关键公式：镜面夹角=180°-反射角-已知角 易｜错｜点｜拨 忽略反射定律中的角度对称性 【典例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【典例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角， 代表折射角）． 观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得， ，（参考数据： ） (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【变式1】（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期末）如果仔细观察和思考，生活中处处有数学，而其中的很多数学问题仅仅利用很简单的数学知识就可以解决．下面的两个图，其中一个图是某电机剖面图，图示中主要包含有电机外壳，以及电机转子中用来缠绕线圈的支撑材料（即图中的粗实线，一般是刚性支撑材料）．另一个图是该电机转子中一个基本图形的局部放大图和相关尺寸标注（注：两个图形都分别具有轴对称性）．据此，请求出完整剖面图中所有线圈支撑材料的总长度． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁沈阳·期末）如图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，基座的高，主臂长为，是伸展臂，，，主臂伸展角． (1)求点P到的距离； (2)若此时，求伸展臂的长．（参考数据：，，） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末） ． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 5．（25-26九年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 3．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 4．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B． 无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为无人机垂直上升悬停在D处，此时在B 处测得 D的仰角为点A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时离地面的高度．（参考数据：） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $