七年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷（沪科版2024，举一反三）

七年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪科版2024】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南红河·期中）下列结论不正确的是（   ） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．多项式是四次三项式 D．多项式的次数是4 3．下午14点20分，时钟的时针与分针夹角的度数是（　） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．（25-26七年级上·安徽六安·期中）已知，为系数，且与的差中不含二次项，的值（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 6．已知，，    那么(    ) A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 8．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 9．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 12．已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 13．如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为 ．    14．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度．（用含a的式子表示） 16．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 17．（8分）（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 18．（8分）某校开设武术、舞蹈、剪纸三项活动课程，为了了解学生对这三项活动课程的兴趣情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． (1)将条形统计图补充完整； (2)本次抽样调查的样本容量是　 　； (3)在扇形统计图中，计算女生喜欢剪纸活动课程人数对应的圆心角度数； (4)已知该校有1200名学生，请估计该校学生喜欢武术活动课程的人数． 19．（10分）（25-26七年级上·四川德阳·期中）将连续的奇数排成如图1所示的数阵： (1)如图2，用十字形框按如图所示的方式任意框五个数．若框住的5个数中，正中间的一个数为15，求这5个数的和．设正中间的数为，请用式子表示十字形框内五个数的和，通过你的计算，你发现这5个数的和与正中间的数有什么关系？ (2)十字形框中的五个数之和能等于105吗？能等于2025吗？请说明理由． (3)请仿照图2，设计两个你喜欢的图形，使框住的几个数的和为135，在下面两个图中框出来． 20．（10分）（25-26八年级上·云南昭通·月考）综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有，两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨． 材料二：型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 21．（12分）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 22．（12分）（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 23．（14分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学上学期期末模拟卷·拔尖卷 【沪科版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 2．（25-26七年级上·云南红河·期中）下列结论不正确的是（   ） A．单项式的次数是3 B．单项式的系数是3 C．多项式是四次三项式 D．多项式的次数是4 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，的次数为，正确； 选项B中，的系数为，不是3，故不正确； 选项C中，的最高次项的次数为，且有三项，故为四次三项式，正确； 选项D中，的最高次项的次数为，故次数为4，正确； 故选：B． 3．下午14点20分，时钟的时针与分针夹角的度数是（　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】根据在下午14点20分，计算出分针与时针分别的旋转角度，再计算两针开始转时相差2×30°，则即可计算这时时针与分针所成的角． 【详解】解：下午14点20分，分针从数字12开始转了20×6°=120°，时针从数字2开始转了20×0.5°=10°，而两针开始转时相差2×30° ∴这时时针与分针所成的角的度数为120°-2×30°-10°=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°． 4．（25-26七年级上·安徽六安·期中）已知，为系数，且与的差中不含二次项，的值（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减． 根据题意列出式子，去括号后合并同类项，根据不含二次项列出方程即可解决问题． 【详解】解： ， ∵与的差中不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 6．已知，，    那么(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】∵∠B=20.5°=20°30′， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查了角的大小比较，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键． 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元一次方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是（    ） A．21 B． C．23 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；通过变量替换，将关于y的方程转化为与原方程相同的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴关于z的一元一次方程，的解是， ∴， ∴； 故选B． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·月考）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 9．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 10．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如果、是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义，一元一次方程有无数个解的条件，代数式的值，根据解的定义，灵活运用转化的思想，把问题转化为一元一次方程有无数个解的问题是解题的关键，根据方程解的定义，把方程转化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解的条件求解即可． 【详解】解：把代入方程， ， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 12．已知B、C两点把线段分成三部分（B在C点左侧），M是线段的中点，N为中点，．则求 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了求线段的长度，解决本题的关键是根据比例求出相关线段长．设，，，，根据，得到，求得，，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】解：如下图： 、C两点把线段分成三部分， 设，，，， 是线段的中点，N为中点， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：10． 13．如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】先根据余角的定义可得，再根据是的一三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的一三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为110或130． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 14．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 15．（8分）（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度．（用含a的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点是线段的中点可得，然后根据线段之间的和差关系即可得出答案； （2）由，，可得，，由，，可得，，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：线段，点是线段的中点， ， ，， ； （2）解：点在线段上，，，， ，， ，，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，线段之间的数量关系，列代数式等知识点，熟练掌握线段中点的有关计算及线段的和与差是解题的关键． 16．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 【答案】(1) (2)n的值为0或1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键； （1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解； （2）设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：； 解方程得：； ∴， 解得：； （2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有， 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 综上所述：n的值为0或1． 17．（8分）（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 18．（8分）某校开设武术、舞蹈、剪纸三项活动课程，为了了解学生对这三项活动课程的兴趣情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． (1)将条形统计图补充完整； (2)本次抽样调查的样本容量是　 　； (3)在扇形统计图中，计算女生喜欢剪纸活动课程人数对应的圆心角度数； (4)已知该校有1200名学生，请估计该校学生喜欢武术活动课程的人数． 【答案】(1)见解析 (2)100 (3) (4)480人 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，样本容量，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数； （2）根据（1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量； （3）乘以女生中剪纸类人数所占百分比即可得； （4）用全校学生数武术学生在样本中所占比例即可求出． 【详解】（1）解：被调查的女生人数为人， 则女生舞蹈类人数为人， 补全图形如下： （2）解：样本容量为， 故答案为：100； （3）解：扇形图中剪纸类所占的圆心角度数为； （4）解：估计该校学生喜欢武术活动课程的人数是（人）， 答：该校学生喜欢武术活动课程的人数人． 19．（10分）（25-26七年级上·四川德阳·期中）将连续的奇数排成如图1所示的数阵： (1)如图2，用十字形框按如图所示的方式任意框五个数．若框住的5个数中，正中间的一个数为15，求这5个数的和．设正中间的数为，请用式子表示十字形框内五个数的和，通过你的计算，你发现这5个数的和与正中间的数有什么关系？ (2)十字形框中的五个数之和能等于105吗？能等于2025吗？请说明理由． (3)请仿照图2，设计两个你喜欢的图形，使框住的几个数的和为135，在下面两个图中框出来． 【答案】(1)75；；十字框中的五个数的和是中间数的5倍 (2)和不能等于105；能等于2025，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． （1）将十字框中的五个数相加即可得出结论； （2）设中间的数为x，其它4个数分别为，令其相加等于135；和2025算出x的值，结合数阵数的特点即可得出结论； （3）根据数阵的特征得到中间的数，即可求解． 【详解】（1）解：这5个数的和为； ∵中间数为a， ∴其余四个数分别为：， 则十字框中五个数之和为； ∴十字框中的五个数的和是中间数的5倍； （2）解：和不能等于105；能等于2025，理由如下： 设中间的数为x，其它4个数分别为， 5个数之和为 若和能等于105，则， 解得：， ∵21在第一列， ∴十字形框无法框中间为21的五个数， 即和不能等于105； 若能等于2025，则， 解得：，405为奇数，且405在中间一列，可以圈出十字框； （3）解：如图，即为所求． 20．（10分）（25-26八年级上·云南昭通·月考）综合与实践：昭通苹果色泽鲜艳，肉质细脆、甜酸适度，汁液丰富，风味浓郁，多次获省优质水果称号及全国第二届农业博览会银奖．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：昭阳区某批发经销商计划运输一批苹果到大关出售，现有，两种型号的货车，已知用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨． 材料二：型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成2个任务： (1)1辆型车和1辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．请你帮该经销商设计租车方案，选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有三种租车方案：①租用型车10辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键． （1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据材料一建立方程组，解方程组即可得； （2）先求出，则可得必须是3的倍数，分别求出符合条件的的值，再根据材料二求出对应的租车费，由此即可得． 【详解】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． （2）解：∵该经销商现有34吨苹果，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物， ∴， ∴， ∵都是正整数， ∴必须是3的倍数， ∴有三种方案：①当时，，此时租车费为（元）； ②当时，，此时租车费为（元）； ③当时，，此时租车费为（元）； ∵， ∴租用型车2辆，型车7辆最省钱，最少租车费为10400元． 答：共有三种租车方案：①租用型车10辆，型车1辆；②租用型车6辆，型车4辆；③租用型车2辆，型车7辆；方案③最省钱，最少租车费为10400元． 21．（12分）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 22．（12分）（25-26七年级上·重庆·期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动；动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为． ①求何时M与Q相距1个单位长度； ②在P，Q，M三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A点表示的数为；B点表示的数为，C点表示的数为4 (2)①秒或秒；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上的翻折等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点． （1）根据数轴上的点的移动左减右加的规律得到A、C两点表示的数，再根据数轴折叠的性质可知点B表示的数即为A、C两点的中点，即可解答； （2）①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离的公式，列出方程解答即可； ②同①分别表示出和，再根据题意列出整式，然后根据项无关得到结果进行对比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位到达A点， ∴A点表示的数为， ∵再向右移7个单位到达C点， ∴C点表示的数为， ∴A、C两点间距离为7， ∵将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B， ∴B点表示的数为； （2）解：①设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为， ∴， ∵M与Q相距1个单位长度， ∴，即或， 解得或， ∴当运动时间为秒或秒时，M与Q相距1个单位长度； ②设运动时间为t秒，则Q点表示的数为，M点表示的数为，P点表示的数为， ∴，， ∴当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； 当时， ， 当，即时，的值始终保持不变， 此时； ∴不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 23．（14分）（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【问题提出】 （1）如图1，、是内的两条射线，平分，，．求的度数； 【问题探究】 （2）如图2，已知是（）内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 （3）如图3，张老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，，，，请你猜想、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）或（3），理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． 平分， ． ． （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在D的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在D的右侧时， （3），理由如下 平分，平分， ，． ． ， ． ，即 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $