专题04 勾股定理（期末专项训练25题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题04 勾股定理 题型1 用勾股定理解直角三角形基础（重点） 题型14 勾股定理与无理数 题型2 利用勾股定理列方程进行求解（重点） 题型15 勾股定理实际应用之梯子滑落的高度 题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型16 勾股定理实际应用之求旗杆高度 题型4勾股定理与网格问题（高频点） 题型17 勾股定理实际应用之棵树折断问题 题型5 勾股定理与折叠问题 题型18 勾股定理实际应用之水杯中筷子问题 题型6 利用勾股定理求两线段的平方和（差） 题型19 勾股定理实际应用之解决航海问题 题型7 利用勾股定理证明线段平方关系 题型20 勾股定理实际应用之台阶上地毯问题 题型8 勾股定理的证明方法 题型21 勾股定理实际应用之车辆超速问题 题型9 判断能否构成直角三角形（重点） 题型22 勾股定理实际应用之判断是否会受台风影响问题 题型10 判断网格中的直角三角形 题型23 勾股定理最短距离之圆柱体上问题 题型11 利用勾股定理的逆定理求解 题型24 勾股定理最短距离之立方体上问题（重点） 题型12 勾股定理中的最值问题 题型25 勾股定理综合解答（压轴题） 题型13 勾股数问题 题型一 用勾股定理解直角三角形基础（共4小题） 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 2．（24-25八年级上·福建宁德·月考）已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 3．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在中，AD平分交于点D，过点D分别作于点E，于点F．已知，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在四边形中，，，过点A作于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 题型二 利用勾股定理列方程进行求解（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折．若点的对称点恰好落在上，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，平分，于点，交于点，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，平分，于D，则 ． 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积（共5小题） 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为 ． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则 ． 3．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，中，．若，，在同侧分别以、、为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 题型四 勾股定理与网格问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 2．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 3．（25-26八年级上·天津·期中）线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点，则的度数为 ． 题型五 勾股定理与折叠问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是 ． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 4．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 题型六 利用勾股定理求两线段的平方和（共4小题） 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 3．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则 ． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系（共3小题） 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 题型八 勾股定理的证明方法（共4小题） 1．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道八年级教材中勾股定理的证明是借助“赵爽弦图”结合着图形的割补，并利用代数运算的方式获得的，而在引发定理的思考时，引用了七年级教材中的内容，即在等腰直角三角形的情况下，可以将以两直角边为边长的两个正方形作分割后直接填满在以斜边为边长的正方形中，进而猜测得到勾股定理的．显然在证明与引例之间，思路上并不一致．由此引发了小明同学的思考：是否可以对任意的直角三角形，也用引例中分割后直接填满的方法来证明勾股定理呢？ 为了探究这个问题，小明制订了如下的探究方案： 1．设定直角三角形的较小直角边长为1，另一直角边长记为，则； 2．考虑一些特殊情况，如引例中取1，可以再取为2、3等； 3．设法获得一些经验或找到一些规律，进而探索的一般情况： 4．获得完整的结论，并反思前面的探索证明中有无漏洞． 下面，请你和小明一起来探究吧．可仿照上述“分割并填满”的方式，在下列图示进行分割并标注清相应区域的编号． (1)如图1，此时为2，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (2)如图2，此时为3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (3)如图3，此时为大于3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (4)如果你完成了上述问题，你觉得是否对任意的情况都作了证明吗？如果是，就此结束；如果不是，那么还需要作哪些完善？ 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 题型九 判断能否构成直角三角形（共4小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2（25-26八年级上·吉林长春·月考）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，9，12 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的两边长，，则 B．中，，则 C．在中，若，则是直角三角形 D．在中，若三边长分别为9，40，41，则是直角三角形 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在中，三边分别为 a，b，c，下列条件中，能判断 是直角三角形的个数为（    ） ①； ②，， ；③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十 判断网格中的直角三角形（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，点在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长均为1．下列关于边长的说法，正确的是（　　） A．长是有理数，长均为无理数 B．三边长均为无理数 C．为直角三角形 D．为等腰三角形 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解（共4小题） 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图， ，，，，求图中阴影部分的面积． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求四边形的面积； 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 题型十二 勾股定理中的最值问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当的周长最小值是11时，的长为（   ） A．8 B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在中，，将绕点A逆时针旋转得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，D、E分别在、上，．P为内一点，，，，则的最小值为 ． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 题型十三 勾股数问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）下列四组数据中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 3．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解通常叫作勾股数．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C． D． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）下列几组数，能组成勾股定理的（   ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A．个 B．个 C．个 D．个 题型十四 勾股定理与无理数（共4小题） 1．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．在这四个数中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十五 勾股定理实际应用之梯子滑落的高度（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 4.（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了 m． 题型十六 勾股定理实际应用之求旗杆高度（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 4．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型十七 勾股定理实际应用之一棵树折断问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．4米 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大体意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），从某处折断后，竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺．则竹子折断处离地面的高度（即折断后直立部分的长度）为 尺． 4．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 题型十八 勾股定理实际应用之解决水杯中筷子问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 ． 4．（25-26八年级上·河南焦作·月考）如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是 ．（忽略塑料管粗细） 题型十九 勾股定理实际应用之解决航海问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 题型二十 勾股定理实际应用之台阶上地毯问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 3．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 题型二十一 勾股定理实际应用之车辆超速问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    3．（24-25八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 4．（24-25八年级上·广东茂名·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 题型二十二 勾股定理实际应用之判断是否会受台风影响问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点会受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续受到洒水影响20秒，请你通过计算判断着火点能否被救火飞机扑灭？ 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 题型二十三 勾股定理最短距离之圆柱体上问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 4．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为（    ）（杯壁厚度不计） A．13 B．14 C．15 D．16 题型二十四 勾股定理最短距离之立方体上问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 题型二十五 勾股定理综合解答（压轴题）（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知中，， (1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______； (2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系； (3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度，一些无理数可以借助图形构造出来，如图，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． .如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． .如图所示的数轴中，点分别表示和，作，且，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为无理数． 请阅读上面资料，完成以下任务： (1)图中，线段的长分别是______，______； (2)图中，点表示的数为______； (3)仿照图作法，请在图的数轴上找出对应的点（保留作图痕迹）； (4)如图，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在等腰中，，点为上一点，连接，过点作交于点，延长到点使得，连接，的角平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若平分，7，求的长． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点D，，分别在，的延长线上取点M，N，作．已知， (1)求边的长． (2)当点在内部时，求证：是等边三角形． (3)连结，若MC垂直于的某一边，则的面积是______________． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理 题型1 用勾股定理解直角三角形基础（重点） 题型14 勾股定理与无理数 题型2 利用勾股定理列方程进行求解（重点） 题型15 勾股定理实际应用之梯子滑落的高度 题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型16 勾股定理实际应用之求旗杆高度 题型4勾股定理与网格问题（高频点） 题型17 勾股定理实际应用之棵树折断问题 题型5 勾股定理与折叠问题 题型18 勾股定理实际应用之水杯中筷子问题 题型6 利用勾股定理求两线段的平方和（差） 题型19 勾股定理实际应用之解决航海问题 题型7 利用勾股定理证明线段平方关系 题型20 勾股定理实际应用之台阶上地毯问题 题型8 勾股定理的证明方法 题型21 勾股定理实际应用之车辆超速问题 题型9 判断能否构成直角三角形（重点） 题型22 勾股定理实际应用之判断是否会受台风影响问题 题型10 判断网格中的直角三角形 题型23 勾股定理最短距离之圆柱体上问题 题型11 利用勾股定理的逆定理求解 题型24 勾股定理最短距离之立方体上问题（重点） 题型12 勾股定理中的最值问题 题型25 勾股定理综合解答（压轴题） 题型13 勾股数问题 题型一 用勾股定理解直角三角形基础（共4小题） 1．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，设该直角三角形的两直角边的长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得，再由题意可得，据此求出c的值即可得到答案． 【详解】解：设该直角三角形的两直角边的长为a和b，斜边长为c， 由勾股定理得， ∵该直角三角形三边长的平方和为800， ∴， ∴， ∴ ∴或（舍去）， ∴该直角三角形的斜边长为20， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建宁德·月考）已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，直接计算即可． 【详解】解：∵ 两直角边长分别为1和2， ∴ 第三边（斜边）长． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在中，AD平分交于点D，过点D分别作于点E，于点F．已知，，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质和勾股定理．根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵AD平分交于点D，过点D分别作于点E，于点F． ∴，， 在中，， ∴， 故选：C 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在四边形中，，，过点A作于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是通过角度关系证明，从而实现线段的转化． 通过角度互余证，用证得、，最后在中用勾股定理求出答案． 【详解】∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 在和中 ∴ ∴， ∵，， ∴ 在 中， ． 故选：A． 题型二 利用勾股定理列方程进行求解（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用等腰三角形的边相等关系，结合勾股定理建立方程求解． 设，利用表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ， ． 又 是边上的高， 是直角三角形． 根据勾股定理：，代入已知条件，得： 解得： ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折．若点的对称点恰好落在上，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，由勾股定理求得，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：5 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，，平分，于点，交于点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点．过点E作于点G，由，可得，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；由判定，由全等三角形的性质可得及的值，进而可判定．设，则，在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为的长． 【详解】解：过点E作于点G，如图：    ∵于D， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵平分，， ∴． 在中，，，， ∴． 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴．   设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴的长是3． 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，平分，于D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记相关性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，证明，得出，再在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：平分，于D，， ， 又， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，即， 故答案为： 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积（共5小题） 1．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为 ． 【答案】121 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，由勾股定理得，再由正方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 正方形和正方形的面积之和， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西九江·月考）如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后利用圆的面积公式表示出，，，得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴． ∴． 故答案是：4． 4．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，中，．若，，在同侧分别以、、为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查的是勾股定理以及圆的面积公式等知识，由勾股定理得，，则，再由圆的面积公式得阴影部分的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， 由题意得：阴影部分的面积 ， 故答案为：30． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 题型四 勾股定理与网格问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可求出的长，利用面积法求高是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 3．（25-26八年级上·天津·期中）线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图） （1）在图①中找出格点D，使； （2）在图②中画出非格点的点E，使． 【答案】 图见详解，文字说明见详解 图与文字说明见详解 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）构造等腰直角三角形，点D即为所求； （2）构造推出，再由，可得． 【详解】解：（1）所作点D如图所示： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴； （2）所作点E如图所示； 先构造， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点，则的度数为 ． 【答案】45° 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，过点B作，连接，根据勾股定理分别求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点B作，连接， 由勾股定理得：， ， ， ． ， ， ， ， ． 故答案为． 题型五 勾股定理与折叠问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等角对等边的运用，掌握矩形的性质是关键． 如图所示，设交于点，可证，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算得到，再根据面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，根据等角对等边得出，设，则，，根据勾股定理得出，再解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型六 利用勾股定理求两线段的平方和（共4小题） 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则 ． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 3．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系（共3小题） 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． （1）通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明 ，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明 ，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明 ，得到，，再结合，推导证明 ，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 又， 在与中， ， ， ，，， ∴， （2）如图1， 在射线上取点，使，连接， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又 ． （3）．证明如下： 如图2，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，． 题型八 勾股定理的证明方法（共4小题） 1．（25-26九年级上·上海·月考）我们知道八年级教材中勾股定理的证明是借助“赵爽弦图”结合着图形的割补，并利用代数运算的方式获得的，而在引发定理的思考时，引用了七年级教材中的内容，即在等腰直角三角形的情况下，可以将以两直角边为边长的两个正方形作分割后直接填满在以斜边为边长的正方形中，进而猜测得到勾股定理的．显然在证明与引例之间，思路上并不一致．由此引发了小明同学的思考：是否可以对任意的直角三角形，也用引例中分割后直接填满的方法来证明勾股定理呢？ 为了探究这个问题，小明制订了如下的探究方案： 1．设定直角三角形的较小直角边长为1，另一直角边长记为，则； 2．考虑一些特殊情况，如引例中取1，可以再取为2、3等； 3．设法获得一些经验或找到一些规律，进而探索的一般情况： 4．获得完整的结论，并反思前面的探索证明中有无漏洞． 下面，请你和小明一起来探究吧．可仿照上述“分割并填满”的方式，在下列图示进行分割并标注清相应区域的编号． (1)如图1，此时为2，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (2)如图2，此时为3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (3)如图3，此时为大于3，设法将两个小正方形分割，再填满到大正方形中； (4)如果你完成了上述问题，你觉得是否对任意的情况都作了证明吗？如果是，就此结束；如果不是，那么还需要作哪些完善？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)是，理由见解析 【分析】（1）将边长为的正方形分割成4个边长分别为和的直角三角形，再将边长为的小正方形放在大正方形的中间； （2）将边长为的正方形分割成4个边长为和的直角三角形以及4个边长为和的长方形，再将边长为的小正方形放在大正方形的中间将四个长方形放置四周，构成边长为2的正方形，边长为和的直角三角形同（1）放置，即可； （3）同（2）的方法，将边长为的正方形，分割为边长为和的直角三角形以及4个边长为和的长方形， （4）根据（1）（2）（3）找到规律，可得证明了勾股定理． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）上述拼接即对任意的情况都作了证明； 根据拼接可得，将边长为的正方形，分割为边长为和的直角三角形以及4个边长为和的长方形， 边长为1的正方形，边长为和的直角三角形以及4个边长为和的长方形， 总面积为：， ∵将两个小正方形填入大正方形中，则大正方形的面积为，则大正方形的边长为 ∴，即对任意的情况都作了证明． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）【探索】（1）如图1，，请你利用梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和验证勾股定理． 【应用】（2）如图2，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在之间建一个中转站，求中转站应建在离点多少千米处时，才能使它到两个城市的距离相等？ 【拓展】（3）在劳动课上，老师请同学们在一张长为，宽为的长方形纸板上剪下一个腰长为的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）．请你帮助同学们设计出三个不同类型的、你认为符合条件的等腰三角形（在图3中画出示意图），并分别计算三个等腰三角形的面积（位置不同，形状相同的将视为一种结果） 【答案】（1）见解析；（2）中转站应建在离点37.5千米处；（3）三个等腰三角形的面积分别为、和 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可验证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，求出的值即可得到结论； （3）根据题意画出符合题意的等腰三角形，再利用勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）梯形的面积为 ， ， 所以； （2）设千米，则千米， 由题意，得，即， 由勾股定理，得，， 所以， 解得 所以中转站应建在离点37.5千米处； （3）①如图1，，等腰三角形的面积； ②如图2，由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积 ③如图3，， 由题意，得， 由勾股定理，得， 所以等腰三角形的面积， 综上所述，三个等腰三角形的面积分别为、和． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 4．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)的长为 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解即可． 【详解】（1）另一种是个直角三角形和中间小正方形的面积和为，根据面积相等得， 故答案为：，； （2）方法一： 在中，∵， ∴， 的面积有两种求法：一种是的面积为， 另一种是的面积为， 根据面积相等得：， 解得：， 方法二：在中， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得，， 的长为． （3）设， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 的长为． 题型九 判断能否构成直角三角形（共4小题） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，掌握知识点是解题的关键． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，分别验证各选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：对于A∶设 ，故是直角三角形． 对于B∶，故是直角三角形． 对于C∶，且，∴，即故是直角三角形． 对于D∶设 ，则 ，解得 ，所以无90°角，故不是直角三角形． 故选D． 2（25-26八年级上·吉林长春·月考）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，9，12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为，2，的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为1，，2的三边可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为3，6，7的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6，9，12的三边不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的两边长，，则 B．中，，则 C．在中，若，则是直角三角形 D．在中，若三边长分别为9，40，41，则是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形性质，勾股定理的应用， 根据三角形三边的关系，及勾股定理判断即可． 【详解】解：∵选项A：中，但未指定为直角，∴不一定为10，故A错误； ∵选项B：中，，若以a、b为直角边，∴斜边，若以b为斜边，则，所以或，故B不正确； ∵选项C：，内角和，∴，无，故C错误； ∵选项D：三边9，，，∵，为直角三角形，故D正确． 故选：D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在中，三边分别为 a，b，c，下列条件中，能判断 是直角三角形的个数为（    ） ①； ②，， ；③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据直角三角形的定义（有一个角为或满足勾股定理），逐一判断各条件是否成立． 【详解】解：① ∵，设， ∴， ∴是直角三角形； ② ∵，，， ，，， ∴ 无两边平方和等于第三边平方， ∴不是直角三角形； ③ ∵，设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ④ ∵，且， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形； 综上，有3个条件能判断是直角三角形． 故选：C． 题型十 判断网格中的直角三角形（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 3．（24-25八年级上·安徽宿州·月考）如图，点在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长均为1．下列关于边长的说法，正确的是（　　） A．长是有理数，长均为无理数 B．三边长均为无理数 C．为直角三角形 D．为等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，无理数的识别，等腰三角形的定义，利用勾股定理求出的长，即可判断A、B、D，再利用勾股定理的逆定理即可判断C． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴长是有理数，长均为无理数，故A说法正确，B说法不正确； ∵， ∴不是直角三角形，故C说法不正确； ∵互不相等， ∴不是等腰三角形，故D说法不正确； 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 题型十一 利用勾股定理的逆定理求解（共4小题） 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图， ，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 因为， 所以在中，． 在中，， 所以， 所以是直角三角形． ． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求四边形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求； （2）求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由三角形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理：； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ； （2）解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，先由勾股定理得，根据勾股定理逆定理可得，则有为直角三角形，然后通过，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，，， ∴由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，    ∴ ． 题型十二 勾股定理中的最值问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当的周长最小值是11时，的长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再判断出点在上时，最小，求出的长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， 的周长最短． ， ， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在中，，将绕点A逆时针旋转得到．点D是边的中点，点E为边上的动点，在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，三角形三边关系，学会用转化的思想思考问题．如图，连接，作于，连接，．由等腰三角形和勾股定理得到，，，再由面积得到，即可得到，根据旋转得到，则，再根据，求线段长度的最大值和最小值，最后计算差值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，连接，． ∵，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∵在绕点A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 当、、三点共线时，不构成三角形，此时或， ∴， ∴线段长度的最大值为，则，即最大值为； 线段长度的最小值为，则，即最小值为； ∴线段长度的最大值与最小值的差是， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，D、E分别在、上，．P为内一点，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线是解题关键． 连接，将绕点A顺时针旋转的度数到，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，再由各角之间的关系确定，利用勾股定理及三角形三边关系即可求解． 【详解】解：连接，将绕点A顺时针旋转的度数到，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 当P、D、E三点共线时取得最小值， ∴的最小值为 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接，三线合一，推出，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵是边上的中线， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 又∵E是边上的动点， ∴当时，最小，此时，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型十三 勾股数问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东佛山·期中）下列四组数据中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数，勾股数必须是一组正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．据此进行解答即可． 【详解】解：∵ 勾股数需为正整数且满足 ， 对于选项A、， ∴ 不是勾股数； 对于选项B、 ， ∴ 不是勾股数； 对于选项C、，， ∴ ，且均为正整数， ∴ 是勾股数； 对于选项D、0.3，0.4，0.5是非正整数，不是勾股数． 故选：C 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）当n为正整数时，下列各组数：①，，；②5，6，7；③，，，其中是勾股数的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数：两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，掌握勾股数的定义是解决本题的关键． 根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：①：∵， ∴①是勾股数． ②：∵，，， ∴②不是勾股数． ③：∵，，∴， ∴③是勾股数． 综上，是勾股数的有①和③． 故选C． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解通常叫作勾股数．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．勾股数需满足两个条件：均为正整数且满足勾股定理 ，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、均为正整数，但，故该选项不符合题意； B、中含负数，不是正整数，故该选项不符合题意； C、中含小数，不是正整数，故该选项不符合题意； D、均为正整数，且，故该选项符合题意； 故选：D 4．（25-26八年级上·重庆·月考）下列几组数，能组成勾股定理的（   ） （1），， （2），，（3）， ， （4），， （5），， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出各组数较小两个数的平方和，与最大的数的平方进行比较，若结果相等，则能满足勾股定理，反之不能． 【详解】解：（1），，故，故能组成勾股定理； （2），，故，故不能组成勾股定理； （3），，故，故不能组成勾股定理； （4），， 故，故能组成勾股定理； （5），， 故，故能组成勾股定理； 综上，故能组成勾股定理的有组数． 故选：C ． 题型十四 勾股定理与无理数（共4小题） 1．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 点E表示的数为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．在这四个数中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数的性质，利用无理数的定义解答． 【详解】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个， 故选：C． 题型十五 勾股定理实际应用之梯子滑落的高度（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 4.（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架竹梯长，斜靠在一面墙上（所示），梯子底端离墙．如果梯子的顶端下滑（所示），那么梯子的底部在水平方向也滑动了 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用．根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据求，根据求，根据计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中， ∴米， 已知米，， 则米， 在直角中，为直角边, ∴米， 米． 故答案为：． 题型十六 勾股定理实际应用之求旗杆高度（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（    ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、钢缆正好构成直角三角形， 由题意知：米，米， （米） 故选：． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为多少尺？设秋千绳索的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． 根据题意可知 ，，，，由勾股定理，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意，有，，， ∴， 由勾股定理，得， 即． 故选C． 题型十七 勾股定理实际应用之一棵树折断问题（共4小题） 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用．设，则，根据列得等式． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故树高为米； 故选C． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大体意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），从某处折断后，竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺．则竹子折断处离地面的高度（即折断后直立部分的长度）为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】解：依题意，竹子折断后形成直角三角形，直立部分高尺，底边长为3尺，斜边长为尺， 由勾股定理，得：， ， 两边减去，得：， 移项，得：， ， ， 故折断处离地面的高度为尺． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 题型十八 勾股定理实际应用之解决水杯中筷子问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意得：当玻璃棒斜靠在杯子的边缘时，漏出杯子外面的长度最短，最短为； 当玻璃棒垂直杯子底面时，漏出杯子外面的长度最长，最长为； ∴的取值范围是； 故答案为． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度． 先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可． 【详解】解：如图所示：，，， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为， ∴外部长度为， 即吸管露在饮料罐外部的长度是． 故答案为：3 ． 4．（25-26八年级上·河南焦作·月考）如图，是一个长方体盒子，长为，宽为，要往盒子中装进塑料管，则能完全装进盒子中的塑料管的最大长度是 ．（忽略塑料管粗细） 【答案】17 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 连接、，首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，， 在中，， ∴， 能完全装进盒子中的塑料管的最大长度为， 故答案为：17． 题型十九 勾股定理实际应用之解决航海问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 4．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程 海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 题型二十 勾股定理实际应用之台阶上地毯问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 题型二十一 勾股定理实际应用之车辆超速问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 3．（24-25八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 4．（24-25八年级上·广东茂名·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 题型二十二 勾股定理实际应用之判断是否会受台风影响问题（共4小题） 1．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点会受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续受到洒水影响20秒，请你通过计算判断着火点能否被救火飞机扑灭？ 【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见解析 (2)着火点C能被扑灭 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 着火点C受洒水影响； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点 则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点C能被扑灭． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用． （1）先根据沙尘中心移动速度及时间求出，再利用勾股定理求的长； （2）令，由等腰三角形三线合一，可得，用勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 在中，， ， 即的长为； （2）解： ， 市会受到沙尘暴的影响． 如图，令， ， ， ， ， ， 即市受到沙尘暴影响的时间持续． 题型二十三 勾股定理最短距离之圆柱体上问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，圆柱底面周长为20，高为12，是底面圆的直径，点C是的中点．现有一只蚂蚁从点C爬到上顶点D，则蚂蚁所走的最短路径为（ ） A．2 B．13 C．17 D．22 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题． 画出展开图，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵圆柱底面周长为20，高为12， ∴，， 根据勾股定理可得． 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，一圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为（玻璃杯壁厚不计），在玻璃杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁，离玻璃杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱的最短路径问题，运用侧面展开与勾股定理思想，关键是将圆柱侧面展开为长方形，利用对称点转化为线段最短问题，易错点是展开后对应线段的长度计算错误； 思路是将圆柱侧面沿母线展开为长方形，作点关于展开图上边的对称点，连接对称点与，利用勾股定理计算这条线段的长度（即最短路程）． 【详解】 解：如图，将玻璃杯的侧面展开一半，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为蚂蚁从玻璃杯外壁处到玻璃杯内壁处的最短路程．过点作交的延长线于点． 由题意，知（），（）． 在中，由勾股定理得（），所以蚂蚁吃到蜂蜜的最短路程为． 故选A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为（    ）（杯壁厚度不计） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故选： A． 题型二十四 勾股定理最短距离之立方体上问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体的长为、宽为、高为，是边的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示： ∵长方体的长为、宽为、高为，是边的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为， 当蚂蚁沿着该长方体的表面（左面和上面）爬行的展开如图所示： 则， ∴ 当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示： ∴, ∵ ∴ 即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为， 故选：C 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为，宽均为，1，2，3号台的高度分别是，，．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题． 根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：展开图如下， ， ∴． 故选B． 3．（25-26八年级上·山西运城·期中）一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，几何体的展开图认识，将长方体展开得出，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，正确将长方体展开是解此题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键． 将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再比较得出最短距离． 【详解】如图，展开侧面后， 在中，，，． ∴此时距离．    如图2，展开侧面后，    在中，，，． ∴． ∵， ∴最短距离为． 故选：． 题型二十五 勾股定理综合解答（压轴题）（共4小题） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知中，， (1)______填“是”或“不是”直角三角形，如图1，过点A作于点H，则线段的长度为______； (2)如图2，以A为直角顶点，作等腰直角，，点B，D，E在同一条直线上，连接，请求出线段长，并说明与的位置关系； (3)在同一平面内有一点P，满足，且，设点A到直线的距离为h，请直接写出h的值． 【答案】(1)是 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股逆定理即可判断出是等腰直角三角形，进而由三线合一可知，再根据是等腰直角三角形，即可得解； （2）由（1）思路过A作于点L，易得，再证，即可得，，据此求解； （3）由（2）思路可构造手拉手全等，并利用等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半得解． 【详解】（1）解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，是等腰直角三角形， ； 故答案为：是，； （2）， ， 过A作于点L， 则， 在中，， ， 由题可知， ， 在和中， ， ∴， ，， 记交点为O， 则， ， ； （3）在中，， 当点P在下方时，如图， 连接，将逆时针旋转得到线段，连接， 则， ， 在和中， ， ， ，， 在四边形中，， ， ， 、C、G三点共线， 为等腰直角三角形， 过A作于点H，则， 即h的值为； 当点P在上方时，如图， 同理可得， ， ； 综上，h的值为 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【借助图形构造无理数】通过学习《勾股定理》和《实数》，给定单位长度，一些无理数可以借助图形构造出来，如图，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．但小明发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． .如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． .如图所示的数轴中，点分别表示和，作，且，以点为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点，则点表示的数为无理数． 请阅读上面资料，完成以下任务： (1)图中，线段的长分别是______，______； (2)图中，点表示的数为______； (3)仿照图作法，请在图的数轴上找出对应的点（保留作图痕迹）； (4)如图，嘉丽在平面直角坐标系中做出了长度为无理数的线段，已知点坐标为，点坐标为，点为轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)画图见解析 (4)或或或 【分析】（）利用勾股定理解答即可求解； （）由勾股定理求出的长度，再根据数轴上两点间距离公式解答即可； （）以数轴上“个单位长度”为直角边、“个单位长度”为另一直角边构造直角三角形，其斜边长度即为，再以为半径，原点为圆心画弧，与轴的正半轴的交点即为所求的点； （）分、、三种情况，分别画出图形，根据等腰三角形的定义和性质以及勾股定理解答即可求解； 本题考查了数轴与实数，勾股定理，等腰三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， 在中，∵，，， ， 故答案为：，； （2）解：∵点分别表示和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点对应的数是， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； （3）解：如图所示，点即为所求； （4）解：若，如图， 则， ∴点坐标为； 若，如图， 设点坐标为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点坐标为； 若，如图， 则， ∴点的横坐标为或， ∴点坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在等腰中，，点为上一点，连接，过点作交于点，延长到点使得，连接，的角平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若平分，7，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，证明过程见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合勾股定理，三角形内角和定理求解是解题的关键． （1）通过已知条件证明，即可得证； （2）在上截取，得到是等腰直角三角形，求出，证明，得到，即可得解； （3）过点作于点，根据已知条件求得，，再证明即可求解； 【详解】（1）证明：由题可知平分， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取， 则是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作于点， 平分， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， 平分， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点D，，分别在，的延长线上取点M，N，作．已知， (1)求边的长． (2)当点在内部时，求证：是等边三角形． (3)连结，若MC垂直于的某一边，则的面积是______________． 【答案】(1) (2)见解析， (3)或. 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质，可得．由是的垂直平分线，可得，进而可得； （2）先证，再证明，进而可得，由等边三角形的判定即可得出结论；、 （3）分两种情况讨论，①当时，是等腰直角三角形，②当时，、在同一直线上，结合勾股定理求出线段长，再利用三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， 在中， ， ∴， （2）证明：在中，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形. （3）若垂直于的某一边，有两种情况， ①当时，如图1，延长交于点H， 由（2）可知是等边三角形， ∴是的垂直平分线，， ∴， 由（2）可知：， ∴在中，， ∴，，， ∴的面积为， ②当时，、在同一直线上，如图2， 由（2）可知是等边三角形， ∴是的垂直平分线，， ∴在中， ， ∴的面积， 综上所述：的面积为或. 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $