13.2 勾股定理的应用（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

13.2 勾股定理的应用 学习目标： 1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；（重点） 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点） 自主学习 一、知识链接 1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？ 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________. 2. 勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________. 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________. 合作探究 一、探究过程 探究点1：勾股定理的应用 例1 如图，一根12米高的电线杆CD两侧各用15米的铁丝固定，求两个固定点A、B之间的距离. 【方法总结】 解题关键是利用转化思想将实际问题转化成直角三角形模型，然后利用勾股定理求出未知的边长. 【针对训练】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ 探究点2：勾股定理逆定理的应用 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求 出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理. 【方法总结】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解. 例3 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗？ 【针对训练】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30，DC＝12，AB＝3，BC＝4，求△ABC的面积． 探究点3：利用勾股定理求最短距离 例4 如图是一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米？（已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3） 例5 如图，一个牧童在小河的南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 【方法总结】求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径. 【针对训练】如图，一只蚂蚁从棱长为12cm的正方体纸盒的顶点A处，沿纸盒表面爬到点B处，已知BC＝4 cm，则蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 二、课堂小结 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理的逆定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 当堂检测 1.一个梯子（如图）靠在垂直于地面的墙上，顶端到地面的距离为2.8m，底端距离墙面2.1m，则这个梯子的长度为（ ） A.2.1cm B.2.8cm C.3.5cm D.3.7cm 第1题图 第2题图 第4题图 2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，上面露出一截，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm 3.已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙两人相距　 km． 4.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是16，3，1，点A和点B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点，则最短路程是　 　． 5.如图，已知AB＝13cm，AD＝4cm，CD＝3cm，BC＝12cm，∠D＝90°，求四边形ABCD的面积． 6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短路程． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1. a²+b²=c² 2. 3.5 12 合作探究 一、探究过程 探究点1： 例1 解：在△ADC中，∠ADC=90°，AC=15米，CD=12米，∴AD=9米．同理可得BD=9米，∴AB=9+9=18（米）.即A、B之间的距离为18米. 【针对训练】 解：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE⊥AB于E，连接AC.∴EB=4米，EC=8米，AE=AB-EB=10-4=6（米）．在Rt△AEC中，AC==10（米），故小鸟至少飞行10 米． 探究点2： 例2 解：由题意可得RP=18海里，PQ=24海里，QR=30海里.∵182+242=302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ=90°.∵“远航”号沿东北方向航行，∠QPN=45°，∴∠RPN=45°，∴“海天”号沿西北方向航行. 例3 解：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∠A=90°，∠DBC=90°，则这个零件符合要求. 【针对训练】解：∵S△ADC=，∴AC＝5.∵AB2+CB2＝42+32＝25＝AC2. ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.∴△ABC的面积＝． 探究点3： 例4 解：如图，∵油罐的底面半径是2m，∴油罐的底面周长为2π×2=4π≈12 m．又∵高AB为5m，即展开图中，BC=5m，∴AB=≈13（m）．故所建梯子最短约为13m． 例5 解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A沿AP到P再沿PB到B，所走路程最短，此时AP+BP=A′B．在Rt△A′DB中，由勾股定理得A′B==17（km）. 答：他要完成这件事情所走的最短路程是17 km． 【针对训练】解：蚂蚁爬行的最短路径展开图如图所示： 易得AB＝＝20cm，∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 当堂检测 1.D 2.D 3.5 4.20 5.解：连接AC．∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5（cm）.∴S△ACD＝CD•AD＝6（cm2）．在△ABC中，∵52+122＝132，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）． 6.解：如图，作A点关于直线MN的对称点C，再连接CB，交直线MN于点P，则此时AP+PB最小，为CB的长.过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵AA′＝2km，BB′＝4km， A′B′＝8km，∴A′C＝2km，A′D＝4km，BD＝8km,则CD＝6km，在Rt△CDB中，CB＝＝10（km），即最短距离为10km. 学科网（北京）股份有限公司 $