微专题02 一次函数的图像与性质16题型（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

微专题02 一次函数的图像与性质 题型一 根据一次函数的定义求参数 一次函数解析式需满足以下几个条件：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）设函数． (1)当m为何值时，它是一次函数； (2)当m为何值时，它是正比例函数． 题型二 求一次函数自变量或函数值 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在学习画一次函数的图像时，列表如下： … 0 1 2 … … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若点在直线上，则的值为（    ） A．4 B．－4 C．2 D．－2 7．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在一次函数（为常数）中， (1)当时，，当时， ，求这个一次函数的表达式； (2)当 时， 求y的值． 题型三 待定系数法求一次函数解析式 1）当问题已明确所求解的函数是一次函数时，便可用待定系数法. 2）若函数的图像是线段(或直线)，所求的函数就是一次函数，而且用待定系数法解答时，只需在线段(或直线)上找出两个已知点. 10．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，直线经过两点，则直线关于轴对称的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·江苏·期末）不论m为何实数，直线恒过定点（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）小明根据一次函数的表达式填写下表，则 ． x 0 y 11 m 3 题型四 判断一次函数图像 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则一次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，都是关于的一次函数，的图像如图所示，若，下列哪一个大致是的图象（   ）     A．  B．  C．   D．   15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·江西抚州·期中）两个一次函数和（都是非零常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型五 画一次函数图像 17．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； (2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并有必要的标注与文字说明． (1)； (2)； (3)． 题型六 根据一次函数解析式判断其性质 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移4个单位长度得到 20．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 21．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 22．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 题型七 根据一次函数解析式判断其经过象限 23．（24-25八年级下·江苏南通·期末）一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（24-25八年级下·江苏·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（22-23八年级上·江苏南京·期末）下列函数：①；②；③；④．其中，图象经过第一、二、三象限的函数是 （填序号）． 26．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数（为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第 象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求的值． 题型八 已知函数经过的象限求参数 27．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）对于某个一次函数，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选项为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 29．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 30．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）已知一次函数的函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 题型九 判断一次函数的增减性 31．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 32．（24-25八年级上·江苏南京·期末）点，，在一次函数的图象上，且，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 33．（24-25八年级下·河北·期末）若点 ，，都在一次函数 的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级下·江苏·期末）若一次函数的图象过点，，则 （填“”、“”或“”）． 35．（江苏省南京联合体2024-2025学年上学期八年级数学期末试题）一次函数，与的图像如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 题型十 根据一次函数的增减性求参数 36．（24-25八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，），当时，．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·江苏·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 39．（23-24八年级上·江苏·期末）已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 40．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 题型十一 一次函数平移问题 将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号. 41．（2024·江苏无锡·一模）将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）将的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象的对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 43．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·江苏·期末）直线沿轴向右平移个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 ． 题型十二 一次函数与坐标轴交点问题 45．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）函数的图象与轴交点坐标为 ． 46．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线沿轴向下平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 ． 47．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）若与成正比例，当时，．则与的关系式为 ，该函数图象与轴的交点坐标是 ． 48．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知直线与直线平行，且过点． (1)求，值； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 题型十三 与一次函数有关的最值问题 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 49．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．无最小值 C．最小值为1 D．最大值为1 50．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 51．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值，且最小值，则的取值范围为 ． 52．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 53．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 题型十四 与一次函数有关的开放性问题 54．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若一次函数的图象经过点，且图象上有两个点，，当时，，写出一个满足条件的函数表达式： ． 55．（24-25八年级上·全国·假期作业）请你写出一个函数表达式，使其满足以下要求：①图像经过；②y随x增大而减小．该函数表达式可以是 ． 56．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）请写出一条与直线平行（不重合）的直线的函数表达式： ． 57．（21-22八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）写出一个一次函数的表达式，使得它经过点（1，3）： （2）写出一个一次函数的表达式，使得y随x的增大而减小，且经过第一象限： ． 题型十五 一次函数与规律探究问题 58．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 59．（22-23八年级上·江苏南京·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 60．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（    ） A． B． C． D． 61．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 62．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去，的长为 ． 题型十六 类比法探究函数的图像与性质 63．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次的数的性质．尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图像和性质，并解决问题． (1)从数的角度，① 当时，；② 当时，；③ 当时，_____；显然，② 和③ 均为某个一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图像： ① 列表：（完成表格） x … 0 1 2 3 … y … ▲ 0 1 0 ▲ … ② 描点：连线．    (3)对于函数，有以下结论： ① 该函数图像关于y轴对称； ② 该函数有最大值； ③ y随x的增大而增大； 其中正确的有：_____（填序号） (4)① 方程有_____个解； ② 若关于x的方程无解，则k的取值范围是_____ ； ③ 函数与的图像相交于，两点，当时，x的取值范围是 ． 64．（22-23八年级上·江苏南京·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时， ． 当时， ． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程为常数，解的个数及对应k的取值范围． 65．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数． 【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为． (1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______； (2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程： ①填表， x … 0 1 2 … y … 5 3 1 3 5 … ②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像； ③若，则y的取值范围为______； 【拓展提升】 (3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______． 66．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即．当时，；当时，__________． (2)当，，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 4 … … 3 2 … 其中__________． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数，结合图像写出该函数的一条性质__________． ③已知函数的图像是一条经过点的直线，则关于的不等式的解集是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 一次函数的图像与性质 题型一 根据一次函数的定义求参数 一次函数解析式需满足以下几个条件：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 2．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）设函数． (1)当m为何值时，它是一次函数； (2)当m为何值时，它是正比例函数． 【答案】(1)当或，它是一次函数 (2)当，它是正比例函数 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m的方程进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义列出关于m的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：或， 答：当或，它是一次函数． （2）解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：， 答：当，它是正比例函数． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的定义列出关于m的方程组． 题型二 求一次函数自变量或函数值 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在学习画一次函数的图像时，列表如下： … 0 1 2 … … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5， ∴当时，， 当时，， 故算错的函数值为； 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若点在直线上，则的值为（    ） A．4 B．－4 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点、代数式求值等知识点，掌握一次函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键． 由题意可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴． 故选C． 7．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点坐标的求解及整式的化简，熟练掌握一次函数点的求法及整式的计算法则是解决本题的关键．根据题意将A，B两点代入一次函数解析式化简得到的关系式即可得解． 【详解】解：将点代入得： ， 解得：， 则即， 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量，根据运算程序示意图分两种情况求解即可． 【详解】解：当时， 此时运算公式为：．则可得方程， 根据绝对值的定义可得出． ∵， ∴符合条件，舍去． 当时， 此时运算公式为：．则可得方程． 解得，，符合这个条件． 故输入的x为：或5， 故答案为：或5 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在一次函数（为常数）中， (1)当时，，当时， ，求这个一次函数的表达式； (2)当 时， 求y的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求函数值等知识点，解题的关键是掌握待定系数法． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）将自变量的值代入即可求出函数值． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，，当时， ，可列 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：将代入解析式得， ， ∴y的值为17． 题型三 待定系数法求一次函数解析式 1）当问题已明确所求解的函数是一次函数时，便可用待定系数法. 2）若函数的图像是线段(或直线)，所求的函数就是一次函数，而且用待定系数法解答时，只需在线段(或直线)上找出两个已知点. 10．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，直线经过两点，则直线关于轴对称的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据直线与直线关于轴对称由的坐标得到对称点的坐标，代入的解析式为即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设点关于轴的对称点为， ∵，， ∴，， 设的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴， 故选：． 11．（23-24八年级上·江苏·期末）不论m为何实数，直线恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了恒过定点，把问题转化为关于m的一元一次方程，根据方程有无数解列式计算即可，熟练掌握方程有无数解的条件是解题额关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于m的方程有无数的解， ∴， 解得， ∴直线恒过定点． 故选：C． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）小明根据一次函数的表达式填写下表，则 ． x 0 y 11 m 3 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式以及函数值．利用待定系数法求出一次函数解析式，即可求解． 【详解】解：设该函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数表达式为， 当时，． 故答案为：5 题型四 判断一次函数图像 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则一次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．先根据题意得出m的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限． 故选：A． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，都是关于的一次函数，的图像如图所示，若，下列哪一个大致是的图象（   ）     A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，设，由图象知 ，根据题意得到 即可判断的图象． 【详解】解：由题意：设， 由图象知， ， ， ， ∴的图象经过第一、三、 四象限， ， ∴一次函数的倾斜程度小， 故选: B． 15．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项A不符合题意； B．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项B不符合题意； C．是正比例函数，图象必经过原点，故选项C不符合题意； D．由一次函数图象知：，，则，由正比例函数图象知：，故选项D不符合题意； 故选：D． 16．（23-24八年级上·江西抚州·期中）两个一次函数和（都是非零常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据图象，先设定一个一次函数图象为，得出的范围，再根据另一函数图象得出的范围，看两者是否矛盾，逐项判断即可得到答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、如果过第一、二、三象限的图象是，由图象可得：，；由的图象可得：，，两结论相矛盾，故错误，不符合题意； B、如果过第一、三、四象限的图象是，由图象可得：，；由的图象可得：，，两结论不矛盾，故正确，符合题意； C、如果过第一、二、三象限的图象是，由图象可得：，；由的图象可得：，，两结论相矛盾，故错误，不符合题意； D、如果过第一、二、四象限的图象是，由图象可得：，；由的图象可得：，，两结论不矛盾，故错误，不符合题意； 故选：B． 题型五 画一次函数图像 17．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； (2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，求正比例函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出对应的解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）求出函数值为时，自变量的值，再根据增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； 函数图象如下所示： （2）解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时自变量的取值范围． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，请你在平面直角坐标系中分别作一次函数的图象，并有必要的标注与文字说明． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象，及画一次函数图象的方法与技巧是解决问题的关键． （1）根据的图象与的图象平行，且过坐标原点，即可画出函数的图象； （2）依题意得与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，则，，进而得函数经过第一，二，三象限，与y轴交于，与x轴的交点坐标为，由此可画出函数的图象； （3）依题意得，进而得函数经过第二，三，四象限，与直线平行，且与y轴交于点，由此可画出函数的图象． 【详解】（1）解：∵的图象与的图象平行，且过坐标原点， ∴函数的图象如图所示： （2）解：根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴，， ∴函数经过第一，二，三象限， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴函数的图象如图所示： （3）解：根据函数的图象在坐标系中位置可知：， 与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴， ∴函数经过第二，三，四象限，与直线平行，且与y轴交于点， ∴函数的图象如图所示： 题型六 根据一次函数解析式判断其性质 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标为 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移4个单位长度得到 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换进行分析判断． 【详解】解：A、令，则，所以图象与轴的交点为，故A正确，不符合题意； B、一次函数中的，，故函数图象经过第二、三、四象限，故B正确，不符合题意； C、一次函数中的，所以随的增大而减小，由得，故C错误，符合题意； D、直线的图象可由直线向下平移4个单位长度得到，故D正确，不符合题意． 故选：C． 20．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 对于A，C两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断B、D的正误． 【详解】解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意； B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意； C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 21．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，随x的增大而减小 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象一定交于y轴的正半轴 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，逐一分析即可得出答案，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：A、当时，， ， 当时，，图象经过一、三象限， 当时，，图象经过一、二、三象限， 当时，，图象经过一、三、四象限，故A不符合题意； B、当时，，函数随的增大而增大，故B不符合题意； C、将代入函数，得，即函数图象经过点，故C不符合题意； D、当时，，即图象与轴交于正半轴，故D符合题意； 故选：D． 22．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 2 … y … 8 6 4 2 0 … 则下列结论正确的是（   ） A．y的值随x值的增大而增大 B．图像不经过第一象限 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：把，代入得，， 解得，， 所以，一次函数解析式为， ∵ ∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确； ∵ ， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确； 由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确； 不等式的解集是，故选项D正确， 故选：D． 题型七 根据一次函数解析式判断其经过象限 23．（24-25八年级下·江苏南通·期末）一次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示： 则这个函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式；根据表格中的对应值求出一次函数的解析式，再根据和的符号判断图象所经过的象限． 【详解】解：当时，，代入得． 取点代入解析式，得，解得． 因此，函数解析式为． ∵， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 24．（24-25八年级下·江苏·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据一次函数的图象经过第二、三、四象限可得，再根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 25．（22-23八年级上·江苏南京·期末）下列函数：①；②；③；④．其中，图象经过第一、二、三象限的函数是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系逐一判断即可． 【详解】解：①经过第一、三、四象限，不符合题意； ②经过第一、二、四象限，不符合题意； ③经过第一、二、三象限，符合题意； ④经过第二、三、四象限，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握性质是解题的关键． 26．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）已知一次函数（为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第 象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求的值． 【答案】(1)四 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活运用是解答关键． （1）把代入中，结合一次函数的性质求解． （2）根据这个函数经过原点，得到且来求解． 【详解】（1）解：， ． ，， 函数图象经过一、二、三象限， 则这个函数图象不经过第四象限. 故答案为：四． （2）解：∵这个函数的图象经过原点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴综合得． 题型八 已知函数经过的象限求参数 27．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）对于某个一次函数，两位同学谈论了此函数的部分特点，根据对话下列判断错误的选项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据函数图象不经过第二象限可得，再将点代入函数解析式可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，且过点， ∴，则选项A正确； ∴，则选项C正确； ∵一次函数的图象经过点， ∴，即，，则选项D正确； ∴，则选项B错误； 故选：B． 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 29．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的性质并正确的应用．依据题意，根据函数图象不经过第二象限，，，求得m的取值范围即可． 【详解】∵的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴，且． ∴． 30．（21-22八年级下·福建龙岩·期中）已知一次函数的函数图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围． 【答案】－＜m＜1 【分析】根据一次函数y=kx+b，k＞0，b＞0时，函数的图象经过经过第一、三、四象限，可得答案． 【详解】解：若函数的图象经过经过第一、三、四象限， 则2m+3＞0，m－1＜0， ∴m＞－，m＜1， 即－＜m＜1． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握一次函数图象与系数的关系． 题型九 判断一次函数的增减性 31．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质得到随的增大而减小，即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵点，点是一次函数图象上的两个点，且， ∴， 故选：A． 32．（24-25八年级上·江苏南京·期末）点，，在一次函数的图象上，且，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】先求出一次函数与轴、轴的交点坐标，再根据图象逐项分析判断即可． 【详解】解：令，则， 令，则， 解得：， 一次函数与轴、轴的交点分别为，， ， 随的增大而增大（如图所示）， ， ， 选项： ， ， ， 此时， 故选项正确，符合题意； 选项： 若， 则既可大于也可小于， 由图象可知：当时，， 此时，与选项矛盾， 故选项错误，不合题意； 选项： 若， 则， ， 此时和符号并不确定， 故选项错误，不合题意； 选项： 若， 则， ， 此时和符号并不确定， 故选项错误，不合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质（一次函数图象与坐标轴的交点问题，判断一次函数的增减性），求一次函数的函数值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 33．（24-25八年级下·河北·期末）若点 ，，都在一次函数 的图像上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，由解析式可得函数值随的增大而增大．根据各点的纵坐标大小关系即可推断对应的横坐标大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴随的增大而增大， ∵点 ，，都在一次函数 的图像上，且． ∴， 故选；A． 34．（22-23八年级下·江苏·期末）若一次函数的图象过点，，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较一次函数值的大小，熟知对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小是解题的关键． 35．（江苏省南京联合体2024-2025学年上学期八年级数学期末试题）一次函数，与的图像如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数以及正比例函数图象与性质；首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限，知：， ∵根据直线越陡，越大， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十 根据一次函数的增减性求参数 36．（24-25八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 先根据直线与y轴交点的位置可得，再根据图象的增减性得，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图像与轴的负半轴相交， ∴. ∵一次函数,函数值随自变量的增大而减小， ∴， 解得. 故选：B. 37．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数，），当时，．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，分当，，两种情况讨论，再结合当时，，得出不等式，解不等式即可． 【详解】解：当时，一次函数（为常数，），y随x的增大增大，不符合题意； 当时，一次函数（为常数，），y随x的增大减小，符合题意； 一次函数为常数，，当时，， ∴， ， ， 故选：D． 38．（24-25八年级上·江苏·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 39．（23-24八年级上·江苏·期末）已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据性质，得，根据函数图像与轴的交点在轴下方，得，解不等式即可． 本题考查了函数的性质，图象与y轴交点的意义，解不等式，熟练掌握性质，交点的意义，是解题的关键． 【详解】解：根据性质，得，解得； 根据函数图像与轴的交点在轴下方，得， 解得， 故m的取值范围为， 故答案为：． 40．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知一次函数 (1)当m为何值时，函数图像经过原点？ (2)图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小，求整数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的增减性以及与轴的交点问题，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一次函数，当时，函数图像经过原点，据此即可求解； （2）对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．当时，图像与轴交点在x轴的上方；当时，图像与轴交点在x轴的下方．据此即可求解． 【详解】（1）解：若函数图像经过原点， 则有： ∴ （2）解：∵图像与轴交点在x轴的上方，且随x的增大而减小， ∴ 解得： ∵m为整数， ∴ 题型十一 一次函数平移问题 将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号. 41．（2024·江苏无锡·一模）将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可. 【详解】解：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是， 故选：C 42．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）将的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，再沿x轴翻折所得函数图象的对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移和翻折，根据平移规律“上加下减”得到平移后的解析式，再设平移后新函数的图象上一点P的坐标为，沿轴翻折后的坐标为，再将代入平移后新函数解析式即可求解． 【详解】解： 的图象沿y轴向上平移2个单位长度， 平移后解析式为， 设的图象上一点P的坐标为，则沿轴翻折后的坐标为， 沿轴翻折后为，整理得， 故选：A． 43．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键；由题意可设直线的解析式为，然后把点代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可设直线的解析式为，由直线经过点，可知： ，即， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 故选：D． 44．（24-25八年级上·江苏·期末）直线沿轴向右平移个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移以及直线与坐标轴的交点坐标，先求出平移后的函数解析式，再令，可得，进而即可得到答案，掌握函数平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线沿轴向右平移个单位， ∴平移后解析式为， ∴令，得， ∴平移后直线与轴的交点坐标为， 故答案为：． 题型十二 一次函数与坐标轴交点问题 45．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）函数的图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的知识，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键；根据题意，当时计算y的值，即可得到答案． 【详解】根据题意，当时，， ∴函数的图象与轴交点坐标为， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线沿轴向下平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移的规律“左加右减，上加下减”，也考查了一次函数图象上点的坐标特征．直接根据“上加下减”的平移规律求解平移后的直线的解析式，然后令，即可求得平移后直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：直线沿轴向下平移3个单位后：， 即， 令，则， 解得， ∴平移后直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 47．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）若与成正比例，当时，．则与的关系式为 ，该函数图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、函数图象与坐标轴交点坐标等，设，将代入可求出的值；当时，，可求函数图象与轴的交点坐标．灵活运用待定系数法设函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 【详解】解：由与成正比例，设， 将代入可得：， 解得， ∴， ∴与的关系式为：； 图象与轴的交点坐标是当时，， 解得， ∴此函数图象与x轴的交点坐标分别为， 故答案为：，． 48．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知直线与直线平行，且过点． (1)求，值； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象平移问题、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴围成的面积问题，解题关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 先根据一次函数平移值不变求得值，再用待定系数法求解即可； 根据中求解的和的值得到直线的解析式，根据解析式求得直线与轴、轴的交点坐标，据此即可求得直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：直线与直线平行， ，， 又该直线过点， ， ． （2）解：由得，直线解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为， 当时，， 直线与轴的交点为， 此时该直线与两坐标轴围成的三角形面积为： ． 题型十三 与一次函数有关的最值问题 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 49．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．有最大值 B．无最小值 C．最小值为1 D．最大值为1 【答案】C 【分析】根据函数解析式作出函数图象，结合函数图象直接得到答案． 【详解】解：如图， 函数有最小值为，无最大值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是作出函数的大致图象． 50．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 【答案】5或 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴k的值为5或． 故答案为：5或． 51．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值，且最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵函数的最大值，且最小值， ∴当时，；当时，； 由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 52．（2025八年级下·全国·专题练习）已知一次函数，其中，当时，函数有最大值为2，则m的值为(   ) A．4 B． C．或4 D．4或2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，理解一次函数的性质是解决本题的关键． 分两种情况：当时，把代入即可解得；当时，把代入即可解得． 【详解】解：当，即时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∴时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：； 当，即时，中，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值2， 把代入得：， 解得：， 综上所述，m的值为或4． 故选：C． 53．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． (1)求此函数的表达式． (2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得的值． 【详解】（1）解：∵一次函数（k为常数且）的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，记函数的最大值为M，最小值为N， ∴， ∴． 题型十四 与一次函数有关的开放性问题 54．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若一次函数的图象经过点，且图象上有两个点，，当时，，写出一个满足条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 设一次函数的解析式为，再由一次函数的图象经过点可知，再由当时，，得出，据此可得出结论． 【详解】解：设一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点， ， 当时，， ， 符合条件的函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 55．（24-25八年级上·全国·假期作业）请你写出一个函数表达式，使其满足以下要求：①图像经过；②y随x增大而减小．该函数表达式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数增减性是解题关键． 【详解】解：∵一个函数表达式，使其图象经过点，且函数y随x增大而减小， ∴设此函数是一次函数，则可以设此函数解析式为：， 故， 故函数表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 56．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）请写出一条与直线平行（不重合）的直线的函数表达式： ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行线的两直线一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：一条与直线平行（不重合）的直线的函数表达式可以是（不唯一） 故答案为：（不唯一）． 57．（21-22八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）写出一个一次函数的表达式，使得它经过点（1，3）： （2）写出一个一次函数的表达式，使得y随x的增大而减小，且经过第一象限： ． 【答案】 y=2x+1（答案不唯一） y=−x+3（答案不唯一） 【分析】（1）根据要求写即可，只要写出的函数解析式过点(1，3)均可； （2）由题意及一次函数的性质，k<0，且b>0，满足这两个条件的一次函数解析式均可． 【详解】（1）y=2x+1 当x=1时，y=2+1=3 即所写的函数解析式满足条件 故答案为：y=2x+1（答案不唯一） （2）y=−x+3 故答案为：y=−x+3（答案不唯一） 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是关键，注意这里的答案都不唯一． 题型十五 一次函数与规律探究问题 58．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的找出规律是解题的关键．点在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，求得的横坐标为，于是得到结论． 【详解】点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 故选：A． 59．（22-23八年级上·江苏南京·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，理解图示，掌握一次函数图像，正方形的性质确定点的坐标是解题的关键． 60．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，利用等腰直角三角形的性质可得出，结合点的坐标可求出的值，设点的坐标为，，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，，，的值，再利用三角形的面积公式即可得出，，，的值，代入即可求出结论． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． △，△，△，都是等腰直角三角形， ，，，，． 点的坐标为， ； 设点的坐标为，，则点的坐标为，． 点在直线上， ， ， ， 点的坐标为，，即，． 点在直线上， ， ， ． ，，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的变化，找出点纵坐标的变化规律“”是解题的关键． 61．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，的坐标为， 点与点关于直线对称．故同理可得点的坐标为，的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，，点的坐标为，． 的坐标，， 故答案为：，． 62．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理；先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，由此得到点的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【详解】解：直线，点，过点作轴的垂线交直线于点， ∴，令，则，解得：， ∴， ∴， 以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点； ∴，则，点， 同理可得，，则， 此类推便可求出点的坐标为． ∴， ∴； 故答案为：． 题型十六 类比法探究函数的图像与性质 63．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次的数的性质．尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图像和性质，并解决问题． (1)从数的角度，① 当时，；② 当时，；③ 当时，_____；显然，② 和③ 均为某个一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图像： ① 列表：（完成表格） x … 0 1 2 3 … y … ▲ 0 1 0 ▲ … ② 描点：连线．    (3)对于函数，有以下结论： ① 该函数图像关于y轴对称； ② 该函数有最大值； ③ y随x的增大而增大； 其中正确的有：_____（填序号） (4)① 方程有_____个解； ② 若关于x的方程无解，则k的取值范围是_____ ； ③ 函数与的图像相交于，两点，当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)①，；②画图见解析 (3)①② (4)①；②；③或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程的关系，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据绝对值的定义进行计算即可． （2）把x，y的值代入函数关系式进行计算即可． （3）根据图象解答即可． （4）利用函数的图象解答即可． 【详解】（1）当时，． （2）当时，， 当时，． 函数图象如图   。 （3）对于函数，有以下结论： ① 该函数图像关于y轴对称；正确， ② 该函数有最大值；正确， ③ y随x的增大而增大；错误． （4）①由图象可知，方程有2个解； ②当时，函数的图象与直线没有交点， ∴若关于x的方程无解，则k的取值范围是； ③函数与的图像相交于，两点， 如图，    由图象可知，当时，x的取值范围是或． 64．（22-23八年级上·江苏南京·期末）小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时， ． 当时， ． (2)在平面直角坐标系中画出的图像，并写出该函数的两条不同类型的性质． (3)直接写出关于x的方程为常数，解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数图像关于直线对称 (3)当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当或时，方程没有解 【分析】（1）去绝对值符号，化简即可； （2）由（1）的结论可画出函数图象，结合函数图象可得出函数的性质； （3）根据直线与交点的交点的情况判断出的范围 【详解】（1）当时，． 当时， 故答案为：； （2）根据（1）的结论画出函数图象，如图， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数图像关于直线对称 （3）解：∵ 解得： ∴两直线的交点为， ∵，令，解得， 则直线过定点， 由（2）可知，当经过时，方程只有一解 ∴， 解得：， 当与平行时，，此时与无交点， 当时，与有1个交点， 当与平行时，，此时与有1个交点， 当时， 与有1个交点， 当或时，方程有一个解； ∴当时，与，各有1个交点，即方程有两个解； 综上所述，当时，方程有两个解；当或时，方程有一个解；当或时，方程没有解． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 65．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数（其中k，b为常数，且）的关联函数． 【理解运用】例如：一次函数，它的关联函数为． (1)点在一次函数的关联函数的图像上，则m的值为______； (2)已知一次函数．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数，它的关联函数为的图像与性质进行探究．下面是小明的探究过程： ①填表， x … 0 1 2 … y … 5 3 1 3 5 … ②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数的关联函数的图像； ③若，则y的取值范围为______； 【拓展提升】 (3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为、，连接．直接写出线段MN与一次函数的关联函数的图像有1个交点时，b的取值范围为______． 【答案】(1)5； (2)②作图见解析；③； (3)或者． 【分析】（1）根据关联函数的定义把代入，即可求解； （2）②根据列表即可作出图形，③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围； （3）先求出直线与y轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】（1）解∶由题意得的关联函数为， ∵点在一次函数的关联函数的图像上，且， ∴把代入，得， ， 解得， 故答案为∶5； （2）解：②作图如下， ③∵当时，，当x=0时， ∴时，， ∵当x=0时，当时，， ∴时，， ∴时，； （3）解：如图， 设直线为， ∵点M、N的坐标分别为、， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线为与y轴的交点为， 由题意得，一次函数的关联函数为． 当y轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当y轴左侧部分与MN有交点时，把和，代入，得， 当，， ∴或者， ∴关联函数与有1个交点时， b的取值范围为∶或者， 故答案为∶ 或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 66．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即．当时，；当时，__________． (2)当，，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 4 … … 3 2 … 其中__________． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数，结合图像写出该函数的一条性质__________． ③已知函数的图像是一条经过点的直线，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】(1) (2) ① ②作图见详解，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值是 ③或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，根据图象交点求不等式的解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质即可求解； （2）①把代入计算即可； ②运用描点、连线即可作图； ③在函数中，当或时，，当时，，在函数中，函数的图像是一条经过点，当时，，当时，，由题意可得与异号，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：①当，，时，即， ∴当时，， 故答案为：； ②作图如下： ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值是； ③根据图示可得，在函数中，当或时，，当时，， 在函数中，函数的图像是一条经过点， ∴当时，，当时，， ∵不等式， ∴与异号， ∴不等式的解集为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $