专题06 数列求和题型全归纳（压轴题5大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题06 数列求和题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、裂项求和基础型 1 类型二、裂项求和根式、指数型 3 类型三、错位相减求和 4 类型四、分组、并项求和 6 类型五、倒序相加求和 7 压轴专练 7 类型一、裂项求和基础型 基础原理：，如：； 基本题型：①；②； 注意（避免掉坑） ①分母分解因式：； ②系数不相同就提系数：； ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应. （1）； （2）； （3）； 分式型分子裂差法 形如型，如果，则可以分子裂差： 1．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 2．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 3．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 4．（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5．（24-25高二下·湖南·月考）已知等比数列的各项均为正数，首项，为其前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)，，求数列的前n项和． 类型二、裂项求和根式、指数型 （1） （2） （3） （4） 1．已知正项数列的前项的和为，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项的和. 2．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 4．（24-25高二下·云南保山·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，数列的前n项和为，求证：． 5．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 类型三、错位相减求和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 1．（24-25高二下·山东东营·期末）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 3．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 4．（24-25高二下·北京·月考）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 类型四、分组、并项求和 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 1．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 2．数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（24-25高二下·黑龙江·月考）等差数列的前和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前的和． 5．已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 类型五、倒序相加求和 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 2．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 1．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）设数列的前n项和为，，是等比数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 5．已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 6．（24-25高二上·河南·月考）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前项和． 7．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 8．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 9．（24-25高二下·湖南邵阳·月考）已知数列满足，（），记. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和为. 10．已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 11．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 12．在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 13．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知等差数列满足，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为. 14．记分别为数列的前项和，已知，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 15．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 16．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 17．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列求和题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、裂项求和基础型 1 类型二、裂项求和根式、指数型 5 类型三、错位相减求和 10 类型四、分组、并项求和 15 类型五、倒序相加求和 19 压轴专练 21 类型一、裂项求和基础型 基础原理：，如：； 基本题型：①；②； 注意（避免掉坑） ①分母分解因式：； ②系数不相同就提系数：； ③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项（或正负项）对应. （1）； （2）； （3）； 分式型分子裂差法 形如型，如果，则可以分子裂差： 1．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【详解】（1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 2．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知的递推关系两边取倒数，即可构造数列的递推关系，从而问题得证； （2）利用等差数列可求数列的通项公式，再由裂项法求和，利用单调性可证明不等式. 【详解】（1）由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 3．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知是首项为1的等比数列，数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到方程，求出公比，从而得到通项公式； （2）先得到，裂项得到，进而求和即可. 【详解】（1）设的公比为，根据题意，当时，． 即，解得．所以． （2）因为，所以， 方程两边都除以得． 所以． 于是． 4．（24-25高二下·四川广安·期中）等差数列中，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可； （2）根据裂项相消法求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，，， 解得，，， ，． （2）， ． 5．（24-25高二下·湖南·月考）已知等比数列的各项均为正数，首项，为其前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算求出公比，即可求得其通项公式； （2）先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求其和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由可得，整理得， 即，因，则得， 解得或，依题意，故 故数列的通项公式为． （2）因，则， 故 ． 类型二、裂项求和根式、指数型 （1） （2） （3） （4） 1．已知正项数列的前项的和为，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项的和. 【答案】(1)，. (2)证明见解析. (3). 【分析】（1）利用已知条件，通过代入和，结合正项数列的性质，逐步求解和. （2）通过递推关系，将用和表示，代入原方程化简，证明的相邻项差为常数. （3）利用第（2）题的结论，将通项转化为等差数列求和，通过分母有理化简化求和过程. 【详解】（1）由， 令，有，因为，所以. 令，有，即，由，解得. 所以，. （2）当时，由，代入， 化简得，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而. 由， 所以. 所以数列的前项的和. 2．（24-25高二上·河北保定·期末）已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由等比数列定义可证明为等比数列，由等比数列通项公式计算可得； （2）根据表达式利用裂项相消求和可得. 【详解】（1）由已知得， 因此为常数， 可得数列为等比数列. 即数列为首项为2，公比为2的等比数列； 可得， 即 （2）由（1）可得， ∴的前和为 ； 所以 . 3．已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对题干条件化简，求出前项和为与的关系式，再利用关系式求出通项公式. （2）先求出数列的通项公式，根据列项求和法求出的值. 【详解】（1）由题意得， 所以，又数列是各项都是正数的数列，， 所以，， 当时，有， 所以， 所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 裂项得，证毕. 4．（24-25高二下·云南保山·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知条件得出，即可证明数列是等比数列，进而求出数列的通项公式； （2）写出数列的通项公式，通过裂项相消法得出前n项和的表达式，利用单调性即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 又， ∴数列是首项为3，公比为3的等比数列， ∴， 即． （2）由题意及（1）证明如下，， 在数列中， ， ∴ ， ， ∴单调递增，， ∵， ∴， ∴． 5．数列的通项公式为，则这个数列的前63项之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求和即得. 【详解】依题意，， 所以这个数列的前63项之和. 故选：C 类型三、错位相减求和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； 1．（24-25高二下·山东东营·期末）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【详解】（1）为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. （2）由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列满足，，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，可得，求解即可得数列的通项公式，运用累加法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，运用错位相减法可求得，根据的单调性可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，所以， 即，解得，， 所以数列的通项公式； 因为，所以，所以， 又，适合上式，所以的通项公式为：； （2）由（1）知和，得：； 两式相减得， 所以，因，则， 当时，， 单调递增，又，所以. 3．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 4．（24-25高二下·北京·月考）已知数列的前项和为，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由分析计算即可求解； （2）由累加法即可求解； （3）由错位相减法计算求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. （2）因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. （3）由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 类型四、分组、并项求和 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 1．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. 2．数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对递推式合理变形，再利用等差数列的定义证明等差数列，再求解通项公式即可. （2）结合题意并利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 两侧同时除以，可得，得到数列是公差为1的等差数列， 而，可得，故，解得， 则，故. （2）由题意得， ， 两式相减可得， 则， 得到， 可得， 则， 故. 4．（24-25高二下·黑龙江·月考）等差数列的前和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、求和公式求，即可. （2）利用分组求和法和并项求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得， 又，所以， ，因此数列的通项公式. （2）由得 所以数列的前的和． 5．已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得， 所以， 所以 . （3）由（2）可得， 则， 所以当时，当时， 即， 所以数列的最大项为； 类型五、倒序相加求和 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【答案】B 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由韦达定理，可得， 由等比数列性质可得． 设， 所以 则， 得， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 3．（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 1．（24-25高二下·广东佛山·月考）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，通过作差即可求解； （2）由等比数列求和公式得到，再通过分组求和即可. 【详解】（1）因为，故，两式相减 所以即，故等比数列的公比为， 当时，，故， 故 （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前项和 2．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设出公比，根据条件得到方程组，求出公比，得到通项公式； （2）利用等差数列通项公式得到，然后分组求和得到结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以， ，解得（负值舍去）， 所以，即； （2）由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以， 所以， . 3．（25-26高二上·福建龙岩·期中）设数列的前n项和为，，是等比数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，利用与的关系求即可； （2）利用等比数列的通项公式可得，利用裂项相消法与分组求和法可得. 【详解】（1）∵，∴当时，， 当时，， ， 当时，符合上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，，∴， 在等比数列中，公比，∴， ∴， ∴数列的前n项和 . 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，进而可得，即可得结果； （2）整理可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且，可得， 即对任意恒成立，可得， 所以. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 所以. 5．已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. （2）因为， 所以 ，故原不等式成立. 6．（24-25高二上·河南·月考）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以， 解得，， 所以，； （2）由（1）知， 所以. 7．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，，所以， 当时，也成立，所以； （2）由（1）可得， 所以. 8．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用，，成等比数列列出关于公差的方程，再利用等差数列的通项公式即可； （2）利用（1）中的通项公式，利用分母有理化化简，最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 . 9．（24-25高二下·湖南邵阳·月考）已知数列满足，（），记. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证是等比数列，求出，即可得出的通项； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. （2）由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 10．已知数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用累加法即可求出结果； （2）将第（1）问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果. 【详解】（1）因为， 所以当时，，…，，， 上述各式相加得， 又，所以， 又满足上式，故. （2）由（1）得， 所以， 所以数列的前n项和 ， 即. 11．（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式. （2）写出数列的通项公式，根据裂项求和法，求出数列前项和，进而得证. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以． 12．在数列中，令为其前项和，若，. (1)证明：数列为等差数列，并求其通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据题设，化简得到，，可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，进而得到，再根据与的关系求出，再根据等差数列的定义求证即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由， 两边同时除以得，，， 因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 则，即， 当时，， 显然满足上式，则， 而， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由， 则数列的前项和为 . 13．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知等差数列满足，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，数列的前项和为. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用已知项之间的关系列方程求出公差和首项，从而得到通项公式；对递推数列，通过累加法求出通项公式，再验证首项； （2）将通项代入分数形式的表达式进行化简，得到等差乘等比型数列求和，通过错位相减法求得前n项和的表达式. 【详解】（1）等差数列满足，可得，即， ，，，即； 由数列满足， 可得，则 ，，， 即， （2）证明：， 数列的前项和, 相减可得 ， . 14．记分别为数列的前项和，已知，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用和的关系式，消去得到的递推关系，利用等差数列的定义求出通项即可； （2）根据（1）的结论和的关系式，利用裂项相消法求出的表达式，结合数列增减性即可证明. 【详解】（1）因为①， 当时，，解得． 当时，②， 由 ①－②得， 即，所以． 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，所以． （2）由（1）可知， 从而， 因为，单调递增，则． 15．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）①设，由已知借助恒成立求出，进而求出；②利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得， 而，所以. （2）①由数列是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，所以，从而； ②由①知， 故 . 16．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 17．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $