专题05 等差数列中Sn的最值及含绝对值求和问题（压轴题3大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题05 等差数列中Sn的最值及含绝对值求和问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、Sn的最大值问题 1 类型二、Sn的最小值问题 4 类型三、含绝对值求和问题 7 压轴专练 11 类型一、Sn的最大值问题 1、公差为递减等差数列，有最大值； 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 2．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 【答案】D 【分析】根据等差数列定义及其通项可判断公差，得出数列中各项的符号可得B正确，再由等差数列性质可判断C正确，由等差数列前项和公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为等差数列中，，， 所以，，，A正确； 对于B，由题意可知数列为递减数列，且当时，，当时，； 所以可得时，取得最大值，B正确； 对于C，由A知，数列前8项都大于0，所以，C正确； 对于D，易知，， 故成立的最大自然数，D错误． 故选：D． 3．（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（    ）时，最大. A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质分析可得且，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，等差数列中，若，， 则有， 所以， 同时，即， 必有且， 故当时，最大． 故选： 4．（2025高二·湖南·专题练习）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ． 【答案】14或15 【分析】方法1：根据等差数列的前项和公式将展开，判断公差的正负，然后解不等式组即可求得结果；方法2：根据等差数列的前项和公式将展开，得到，然后代入中得到关于n的二次函数，进而可求得结果. 【详解】方法1： 由，得，即． 由可知，解不等式组 即得． 又，故当或时，最大． 方法2：由，可得，所以． 由并结合对应的二次函数的图象知，当或时，最大． 方法3：由，得，即． 由可知，故当或时，最大． 故答案为：14或15. 5．（24-25高二下·江西·期末）记等差数列的前项和为，若，则最大时的值为 ． 【答案】5 【分析】设，则为等差数列，根据当时，，当时，即可得解. 【详解】设，则为等差数列， 且，公差为，即， 故就是的前项和． 因为当时，，当时，， 所以时最大． 故答案为：5 类型二、Sn的最小值问题 1、公差为递增等差数列，有最小值； 2、在等差数列中 若，则满足的项数使得取得最小值． 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（25-26高二上·甘肃·月考）记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式确定数列的项的正负情况，即可求得答案. 【详解】由题意知为等差数列， 由，知数列为递增数列， 且当时，，当时，， 所以当的取值为22时，取最小值. 故选：B. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 3．记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【分析】由题意可得数列前项全为负，从开始为正，可得结论. 【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 4．（多选题）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（    ） A．当时，取最大值 B．使得的的最大值为4048 C．使得的的最小值为4050 D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质可得，结合等差数列求和公式判断C和B，利用通项公式求的范围，即可判断D. 【详解】由，，得．所以，A正确， 由和得， 结合，， 故使得的的最大值为4048，使得的的最小值为4049，所以B正确，C错误． ，解得，D正确． 故选：ABD． 5．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 【答案】9 【分析】根据等差数列的性质推出，，即可得解. 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 6．（24-25高二下·江西·期末）已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设出公差，表达出，从而得到，得到，当时，，当时，，当时，，从而求出的最小值. 【详解】设数列的公差为， 则， ， 因为数列是等差数列，所以或，故或（舍去）， 解得， ， 当时，，当时，，当时，， 所以当或5时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 类型三、含绝对值求和问题 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 1．记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)8872 【分析】（1）利用等差数列的性质和基本量法，列出方程，即可求解； （2）根据通项公式去绝对值，再根据等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由 则 设的公差为 则 则 所以数列的通项公式为. （2）由题可知 ， . 2．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 4．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法求出的值，进而得到的通项. （2）由（1）的结论求出，再按分段，并结合等差数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 1．（25-26高二上·福建龙岩·月考）（多选题）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】根据与的关系求出数列的通项公式，即可判断A；根据等差数列的定义即可判断B；由数列的通项得出每一项的符号情况，即可判断C；根据等差数列前项和公式即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 而满足上式，因此，则，故A正确； 对于B，，当时，， 数列是等差数列，故B正确； 对于C，由选项A知，数列单调递增， 由，得，即数列前5项均为负数， 第6项为0，从第7项起为正数，最小值为，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选题）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 【答案】AC 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确， 而，D错误； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：AC 3．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）设等差数列的前项和为且，则（    ） A． B．为递减数列 C． D．的最小值为 【答案】AC 【分析】对于AC，由等差数列前项和定义以及等差数列性质可得，，进一步即可判断；对于B，只需说明即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】对于AC，因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以，故AC正确； 对于B，因为的公差，所以为递增数列，故B错误； 对于D，因为，故最小，故D错误. 故选：AC. 4．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）（多选题）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则中最大； D．若，则使的的最大值为11 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，结合等差数列的性质，可逐项判断真假. 【详解】若，则，不能推出，即不能推出，故A错误； 若，则，即，则，故B正确； 若，，则，， 所以，，则中最大，故C正确； 若，则， 即， 因为首项为正数，则公差小于0，则，， 则，， 则使的的最大值为11，故D正确. 故选：BCD 5．（25-26高二上·河北·月考）（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．是递减数列 B． C．当时，取得最小值 D．当时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】运用等差数列下标和的性质、等差数列的前项和公式以及的符号，依次判断即可. 【详解】对于A：，.又， ，故等差数列是递减数列，故A正确； 对于B：由A可知，且数列是递减数列，故有，， 因此有，故，即，故B正确； 对于C、D：由B可知，当时，；当时，，故当时，取得最大值，故C错误，D正确. 故选：ABD. 6．（25-26高二上·江苏常州·月考）（多选题）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，因为，且，所以且，所以B正确； 对于C，在等差数列中，由且， 则当时，可得；当时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，所以D错误. 故选：ABC. 7．（24-25高二上·山东菏泽·期末）（多选题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（    ） A． B． C．和均为的最大值 D． 【答案】AC 【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解. 【详解】，则，，则， 因此，且，故A正确，B错误； 而且均为的最大值，故C正确； ，故，故D错误. 故选：AC 8．（多选题）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（    ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以本选项正确； B：由上可知：， 因为，所以当或时，取得最小值，因此本选项不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以本选项正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，因此本选项正确， 故选：ACD 9．（25-26高二上·江苏泰州·月考）（多选题）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，则， 由得，故， 可得，故数列的公差大于，A错； 对于B选项，由得， 因为，故数列单调递增，所以，B对； 对于C选项，因为数列单调递增，且， 故当且时，；当且时，. 所以的最小值是，C对； 对于D选项，因为， ， ， 故成立的的最小值是，D对. 故选：BCD. 10．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【详解】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 11．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 12．（25-26高二上·天津和平·月考）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 【答案】(1)； (2)的最大值为，取得最大值时的或； (3). 【分析】（1）结合与可计算出公差，再结合，即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合二次函数的性质即可得解； （3）分与两种情况讨论即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； （2），是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； （3）， . ①当时，； ②当时， . 因此，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等差数列中Sn的最值及含绝对值求和问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、Sn的最大值问题 1 类型二、Sn的最小值问题 2 类型三、含绝对值求和问题 3 压轴专练 4 类型一、Sn的最大值问题 1、公差为递减等差数列，有最大值； 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 2．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．当时，取得最大值 C． D．使得成立的最大自然数是15 3．（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（    ）时，最大. A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 4．（2025高二·湖南·专题练习）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则当最大时， ． 5．（24-25高二下·江西·期末）记等差数列的前项和为，若，则最大时的值为 ． 类型二、Sn的最小值问题 1、公差为递增等差数列，有最小值； 2、在等差数列中 若，则满足的项数使得取得最小值． 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（25-26高二上·甘肃·月考）记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 3．记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 4．（多选题）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（    ） A．当时，取最大值 B．使得的的最大值为4048 C．使得的的最小值为4050 D． 5．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 6．（24-25高二下·江西·期末）已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为 ． 类型三、含绝对值求和问题 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 1．记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 2．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 4．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 1．（25-26高二上·福建龙岩·月考）（多选题）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）（多选题）设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 3．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）设等差数列的前项和为且，则（    ） A． B．为递减数列 C． D．的最小值为 4．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）（多选题）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则中最大； D．若，则使的的最大值为11 5．（25-26高二上·河北·月考）（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．是递减数列 B． C．当时，取得最小值 D．当时，取得最大值 6．（25-26高二上·江苏常州·月考）（多选题）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 7．（24-25高二上·山东菏泽·期末）（多选题）若数列为等差数列，为前n项和，，，，下列说法中正确的有（    ） A． B． C．和均为的最大值 D． 8．（多选题）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（    ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 9．（25-26高二上·江苏泰州·月考）（多选题）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 10．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 11．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 12．（25-26高二上·天津和平·月考）记等差数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $