2025-2026学年苏科版九年级上学期期末数学模拟试卷（培优卷.）

2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 2．如图，在正十边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接， 则， 由圆周角定理得，， 故选：B． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，需满足指数部分且二次项系数据此进行解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 解： 当时，； 当时， 但，故 的值为 故选：B． 4．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 5．甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 6 7 ？ 9 10 如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（   ） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的计算．先计算出甲的中位数，设乙第四次的成绩为x环，根据中位数的计算方法即可求出x的值．将一组数据按照从大到小（或从小到大）的顺序排列．若这一组数有奇数个数，则中位数就是最中间的这个数；若这一组数有偶数个数，则中位数为最中间两个数的平均数． 【详解】解：由表格知，甲的中位数为环， 因此乙的中位数也为8环． 设乙第四次的成绩为x环， 则乙的成绩由小到大排列为5，6，7，x，9，10，或5，6，7，9，x，10， ∴， 或， 解得，． 故选：D． 6．数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到，求出，然后根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 7．下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 【答案】C 【分析】A、根据必然事件和随机事件的定义即可判断该命题是否正确；B、根据小数精确度的定义即可判断该命题是否正确；C、根据轴对称图形的性质即可判断该命题是否正确；D、方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【详解】A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，命题错误，该选项不符合题意； B、精确到百分位，命题错误，该选项不符合题意； C、点关于轴的对称点坐标是，命题正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙成绩比甲的稳定，命题错误，该选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件、小数精确度、轴对称图形、方差，牢记必然事件和随机事件的定义、小数精确度的定义、轴对称图形的性质、方差的性质是解题的关键． 8．如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长的计算，解题的关键是正确添加辅助线． 过点作于点，连接，利用勾股定理求出，在中，根据求出，进而利用平行线的性质求出，再利用弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， ，， ， ， 在中，， ， ， 弧的长为． 故选：C． 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ，， ． 故选 ：B． 10．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4米，宽为米．一辆卡车宽为米，若该卡车要通过该隧道，则它的高必须低于（   ） A．米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及矩形性质的实际应用．作弦，且米，于交于点，在直角三角形中，由勾股定理求出，再求出隧道高，就可以判断． 【详解】解：如图，作弦，且米，于交于点， 米， 四边形是长方形，长方形的长为4米， ，米 米， 米， 故选：D 二、填空题（每小题3分，共计18分 ） 11．已知的直径为4，平面内一点到圆心的距离为3，则点在 ．（填“上”“内”或“外”） 【答案】外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据圆的直径求出半径，比较点到圆心的距离与半径的大小关系，即可判断点与的位置关系． 【详解】解：∵的直径为4， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． 故答案为：外． 12．如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质，熟练运用圆周角定理是解题关键． 根据圆周角定理可得，结合是直径，故是含的直角三角形，从而． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 故答案为：2． 13．如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 14．一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】22.5 【分析】本题考查扇形面积公式，直接代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】假设扇形的圆心角为， 扇形的面积公式为 ，其中 ，， 代入得， 解得， 故答案为：22.5． 15．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如下表．如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是 ． 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据加权平均数的计算方法，分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，并比较总成绩的高低，从而确定推荐作品． 【详解】解：甲的总成绩为：（分）； 乙的总成绩为：（分）； 丙的总成绩为：（分）； 由于，故乙的总成绩最高， ∴应推荐乙． 故答案为：乙． 16．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程有两个实数根，则判别式且被开方数，列不等式组并求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，二次根式的定义，熟练掌握一元二次方程有两个实数根时判别式是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共计72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)用配方法解方程． 【答案】(1)，； (2)， (3)，． 【分析】本题考查了因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程．熟练掌握解法并灵活选择是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）整理成一般形式后利用公式法解方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 或 解得，，； （2） 整理得到， ， ∵， ∴ ∴， （3）解：， ， ， ， ∴， 解得，，． 18．已知． (1)试问：的值能否等于2？请说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)的值不等于2，理由见解析 (2)2或27 【分析】本题主要考查了因式分解、分式求值、完全平方公式等知识点，正确进行因式分解和运用完全平方公式变形求值是解题的关键． （1）通过因式分解把高次方程化成一元二次方程，再由一元二次方程的解判断的值能否等于2即可； （2）把（1）中得到的代入中求值；把（1）得的变形求得的值，再通过完全平方公式求值． 【详解】（1）解：的值不等于2，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴或， 把代入，得， 解得，此时，与矛盾， ∴方程中的值不等于2， 综上，方程中的值不等于2． （2）解：当时，， 当时，，即， ∴． 综上，故的值为2或27． 19．某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)月增长率为 ． (2)每千克应涨价5元． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）通过设月增长率为 ，根据10月和12月的销售量关系列出方程求解； （2）设每千克涨价 元，根据每天盈利6000元列出方程，并选择使顾客实惠的较小解． 【详解】（1）解：设月增长率为 ． ∵10月销售600千克，12月销售726千克， ∴． 化简得， ∴（舍去负根）， ∴，即月增长率为10%． （2）解：设每千克涨价元．每千克盈利为元， 日销售量为千克， 每天盈利为． 展开得， 整理得， 两边除以得， 解得， ∴或． 要使顾客实惠，取． 答：每千克应涨价5元． 20．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 21．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 【答案】(1)10米 (2)不能顺利通过，理由见解析； 【分析】本题考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）边接，设半径为，在中，利用求得答案即可； （2）连接， 依题意可知，，然后先求得，然后利用勾股定理求得，然后判断一下是否在圆外，即可判断出答案． 【详解】（1）解： 连接，如图所示： ∵，， ∴， 设半径为，在中，，， ∴， ∴， 答：拱桥圆弧的半径是10米． （2）解：该货船不可以顺利通过，理由如下： 连接，如图所示： 依题意可知， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∵，此时点在圆外， ∴该货船不可以顺利通过． 22．如图，内接于，点是上一点，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求的值； (3)若，过点作于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用圆的相关性质结合三角形全等进行推理计算． （1）利用圆内接四边形的性质及圆周角定理，推导弧相等进而得到边相等； （2）结合弧中点的性质与垂直条件，证明为等边三角形，通过设设则，计算线段比值； （3）过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的面积关系求解目标三角形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为圆的内接四边形 ， ， ， ， ， ， ； （2）如图： ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ∴为等边三角形， ， ， ， 设则， ， ， ， ， ； （3）过点作，交的延长线于点，如图， ， ，， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积． 23．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】(1)100；图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 条形统计图如下所示， 故答案为：100； （2）解：“羽毛球”人数所占比例为：， ∴扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：； （3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下： ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 2．如图，在正十边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 4．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 6 7 ？ 9 10 如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（   ） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 6．数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 7．下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 8．如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 10．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4米，宽为米．一辆卡车宽为米，若该卡车要通过该隧道，则它的高必须低于（   ） A．米 B．米 C．4米 D．米 二、填空题（每小题3分，共计18分 ） 11．已知的直径为4，平面内一点到圆心的距离为3，则点在 ．（填“上”“内”或“外”） 12．如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 13．如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ． 14．一个扇形的半径为4，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 15．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如下表．如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是 ． 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 16．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 三、解答题（每小题9分，共计72分） 17．解方程： (1)； (2)； (3)用配方法解方程． 18．已知． (1)试问：的值能否等于2？请说明理由； (2)求的值． 19．某水果商场经销一种高档水果，10月份销售600千克，12月份销售726千克．且10月到12月销售量的月增长率相同． (1)求该高档水果销售量的月增长率． (2)如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价0.2元，日销售量将减少4千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 20．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 21．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 22．如图，内接于，点是上一点，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求的值； (3)若，过点作于点，当时，求的面积． 23．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 24．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $