学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷01（浙江专用，浙教版九上全册+九下第1章解直角三角形）

2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A C D B C C A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12．/ 13．/52度 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【答案】解：（1） ；······（4分） （2）在中，， ， 因为， 所以．······（4分） 18．（8分） 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ······（6分） ∴．······（2分） 19．（8分） 【答案】（1）解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，．······（2分） （2）解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人．······（2分） （3）解：画树状图为： ······（2分） 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平．······（2分） 20．（8分） 【答案】1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得；······（2分） （2）解：联立，解得或， ∴，······（1分） ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或；······（2分） （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则．······（2分） 21．（8分） 【答案】（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x， ∴，······（1分） ∴，即， ∴，；······（1分） （2）解：设矩形PQMN的面积为S，则 ，，······（1分） ∴当时，有最大值2400，······（2分） 此时，故当毫米，毫米时，矩形面积最大，最大面积为2400平方毫米； （3）解：由根与系数的关系，得，解得，······（1分） ∵，10，12，13，众数为10， ∴或， 当时，有，解得 ， 当时，同理可得.······（2分） 22．（10分） 【答案】（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴不相似；······（1分） ②∵， ∴分两种情况， 第一种：， ∴， 解得，或，······（2分） 第二种：， ∴， 解得，······（2分） 所以，或； （2）同②理，可知分两种情况， 设， 第一种：， ∴， 整理，得，······（1分） 第二种：， ∴， 解得，······（1分） 可知第一种情况有两个不同的值，第二种情况有一个值，且该值不与第一种情况的值相同， ∴， 又， ∴，······（2分） 代入，得， 解得（负值已舍去）， ∴， 所以，且，即，且．······（1分） 23．（10分） 【答案】（1）解：①抛物线， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为直线． 故答案为：．······（1分） ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵该抛物线与x轴没有交点， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴a的取值范围是．······（1分） （2）解：， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值．······（1分） 即． ∵， ∴，． 抛物线的表达式为，即．······（1分） ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为， 与时的函数值相等．······（1分） ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值3． 代入有，舍去负解，得．······（1分） （3）解：存在，． 当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值， 关于的取值范围一定不包含对称轴，······（1分） ①当时，在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， ∴时，有最大值，时，有最小值， 由题意可知：，解得：， 故，······（1分） ②当时，在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， ∴时，有最小值，时，有最大值， 由题意可知：，此时无解， 故不符合题意， ．······（1分） 24．（12分） 【答案】（1）解：设的半径为， ∵的周长为，则 ∴，······（1分） 如图，连接，则 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴······（2分） （2）①证明：如图， ∵ ∴······（1分） ∴， 又∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，即平分；······（2分） ②由①可得， ∴ ∴, ∵， ∴ ∴当取得最大值时，取得最小值，······（2分） 如图，由于是上的动点，则当经过圆心时，取得最大值， ······（1分） ∵， 由（1）可得， ∴ ∴在为直径的圆上 ∴ ∴······（1分） ∴ ∴ ∴．······（2分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册+下册第一章 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 2．如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 5．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 6．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 10．如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果，那么的值是 ． 12．一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为 ． 13．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 14．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，点在第一象限，所在直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 15．如图，在正边形中，，则的值是 ． 16．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点逆时针旋转得到； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 19．（8分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 20．（8分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 21．（8分）如图所示，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，设该矩形的长毫米，宽毫米. （1）求证：； （2）当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ （3）当矩形的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而，的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值. 22．（10分）如图，在四边形中，，，，，点在边上． (1)当时， ①当时，与 （填“相似”，“不相似”）； ②当与相似时，求的长； (2)当与相似，满足条件的有三个不同的值时，直接写出的取值范围 ． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线（）上． (1)①该抛物线的对称轴为_______； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； (2)已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值； (3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图1，的周长为，内接于为锐角，． (1)求的大小； (2)如图2，延长至点，使得，连接，点与点在同侧，且． ①求证：平分； ②求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册+下册第1章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 2．如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 5．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 6．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 8．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 10．如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果，那么的值是 ． 12．一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为 ． 13．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 14．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，点在第一象限，所在直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 15．如图，在正边形中，，则的值是 ． 16．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点逆时针旋转得到； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 19．（8分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 20．（8分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 21．（8分）如图所示，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，设该矩形的长毫米，宽毫米. （1）求证：； （2）当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ （3）当矩形的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而，的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值. 22．（10分）如图，在四边形中，，，，，点在边上． (1)当时， ①当时，与 （填“相似”，“不相似”）； ②当与相似时，求的长； (2)当与相似，满足条件的有三个不同的值时，直接写出的取值范围 ． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线（）上． (1)①该抛物线的对称轴为_______； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； (2)已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值； (3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 24．（12分）如图1，的周长为，内接于为锐角，． (1)求的大小； (2)如图2，延长至点，使得，连接，点与点在同侧，且． ①求证：平分； ②求的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九年级数学上册全册+九年级下册第一单元。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线方程为，其中,， ∴对称轴为， 故对称轴为， 故选：A． 2．如图，，直线与分别相交于点和点．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．在中，，，，则BC的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 利用锐角三角函数求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 6．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 7．如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【详解】∵等边的边长为6 ∴， ∴ ∵ ∴， 由折叠得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 8．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为两倍点．若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”，如点和都是“两倍点”，若二次函数（c为常数）为两倍函数，且图象上有唯一的“两倍点”，则c的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设两倍点为，代入得：， ∴， ∵图象有唯一两倍点， ∴方程有唯一实数解， ∴，解得：． 故选C． 9．如图，已知是的内接等边三角形，点是上一点，连结，，若，，则的周长为（   ） A． B． C．25 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接， ，， ． ． ． 为等边三角形， ． 由圆周角定理得：，， ． 四边形为的内接四边形，     ． ． 又，， ． ． ． 故选：A． 10．如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 在中， ∵是的角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如果，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：由 ， 设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 12．一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次， ∴总可能结果数为：（种）， ∵至少有2个不同标号的球被取出的对立事件为：3次都取同一个球， 又∵3次都取同一个球有4种可能， ∴至少有2个不同标号的球被取出的可能结果数为：（种）， ∴至少有2个不同标号的球被取出的概率为：． 故答案为：． 13．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】/52度 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 14．将一块等腰直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点的坐标为，点落在轴上，点在第一象限，所在直线与轴交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点N作轴于H．如图， ∵三角板是等腰直角三角板， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵直角顶点的坐标为， ∴， 又， ∴， ∵点M在y轴正半轴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴点N的横坐标，纵坐标为， 即． 设直线的解析式为， 代入和得： 解得： ∴直线为． 令，得， 解得， 即点Q坐标为， 故答案为：． 15．如图，在正边形中，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，标记点，点，点，正边形的中心，为中心角，为正边形的外接圆， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点；点N在线段上，过点N的直线交抛物线于点M，且轴；当点N在线段上移动时（不与A、B重合），当时，a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：将点代入直线，可得，， 直线解析式为， 抛物线经过点，，且开口向上， 可设抛物线解析式为 ， 设，由轴，可得， ，， 由，可得， ， 整理得， 又， ， 关于的一次函数， ， 随的增大而增大， 又， ， 由得； 综上可知，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）（1）计算：； （2）在中，，，，求的度数． 【答案】解：（1） ；······（4分） （2）在中，， ， 因为， 所以．······（4分） 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕原点逆时针旋转得到； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， ······（6分） ∴．······（2分） 19．（8分）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表． 垃圾分类知识测试成绩统计表 测试等级 百分比 人数 A．优秀 5% 10 B．良好 30 C．及格 45% m D．不及格 n 请结合统计表，回答下列问题： (1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值； (2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数； (3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平． 【答案】（1）解：本次参加调查的学生人数为（人）， ，．······（2分） （2）解：（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为720人．······（2分） （3）解：画树状图为： ······（2分） 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种， ∴，， ∵， ∴这个游戏规则不公平．······（2分） 20．（8分）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得；······（2分） （2）解：联立，解得或， ∴，······（1分） ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或；······（2分） （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则．······（2分） 21．（8分）如图所示，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，设该矩形的长毫米，宽毫米. （1）求证：； （2）当与分别取什么值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ （3）当矩形的面积最大时，它的长和宽是关于的一元二次方程的两个根，而，的值又恰好分别是，10，12，13，这5个数据的众数与平均数，试求与的值. 【答案】（1）证明：根据已知条件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x， ∴，······（1分） ∴，即， ∴，；······（1分） （2）解：设矩形PQMN的面积为S，则 ，，······（1分） ∴当时，有最大值2400，······（2分） 此时，故当毫米，毫米时，矩形面积最大，最大面积为2400平方毫米； （3）解：由根与系数的关系，得，解得，······（1分） ∵，10，12，13，众数为10， ∴或， 当时，有，解得 ， 当时，同理可得.······（2分） 22．（10分）如图，在四边形中，，，，，点在边上． (1)当时， ①当时，与 （填“相似”，“不相似”）； ②当与相似时，求的长； (2)当与相似，满足条件的有三个不同的值时，直接写出的取值范围 ． 【答案】（1）①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴不相似；······（1分） ②∵， ∴分两种情况， 第一种：， ∴， 解得，或，······（2分） 第二种：， ∴， 解得，······（2分） 所以，或； （2）同②理，可知分两种情况， 设， 第一种：， ∴， 整理，得，······（1分） 第二种：， ∴， 解得，······（1分） 可知第一种情况有两个不同的值，第二种情况有一个值，且该值不与第一种情况的值相同， ∴， 又， ∴，······（2分） 代入，得， 解得（负值已舍去）， ∴， 所以，且，即，且．······（1分） 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线（）上． (1)①该抛物线的对称轴为_______； ②若该抛物线与x轴没有交点，求a的取值范围； (2)已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值； (3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：①抛物线， 时，， 抛物线过点， 抛物线过点， 该抛物线的对称轴为直线． 故答案为：．······（1分） ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵该抛物线与x轴没有交点， ∴，······（1分） ∴， ∵， ∴a的取值范围是．······（1分） （2）解：， ． ，抛物线开口向上， 当时，函数值在上取得最小值．······（1分） 即． ∵， ∴，． 抛物线的表达式为，即．······（1分） ， 当时，随的增大而减小，当时取得最大值， 当时，随的增大而增大，当时取得最大值， 对称轴为， 与时的函数值相等．······（1分） ， 当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值． 当时，函数值在上取得最大值3． 代入有，舍去负解，得．······（1分） （3）解：存在，． 当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值， 关于的取值范围一定不包含对称轴，······（1分） ①当时，在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， ∴时，有最大值，时，有最小值， 由题意可知：，解得：， 故，······（1分） ②当时，在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， ∴时，有最小值，时，有最大值， 由题意可知：，此时无解， 故不符合题意， ．······（1分） 24．（12分）如图1，的周长为，内接于为锐角，． (1)求的大小； (2)如图2，延长至点，使得，连接，点与点在同侧，且． ①求证：平分； ②求的最小值． 【答案】（1）解：设的半径为， ∵的周长为，则 ∴，······（1分） 如图，连接，则 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴······（2分） （2）①证明：如图， ∵ ∴······（1分） ∴， 又∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，即平分；······（2分） ②由①可得， ∴ ∴, ∵， ∴ ∴当取得最大值时，取得最小值，······（2分） 如图，由于是上的动点，则当经过圆心时，取得最大值， ······（1分） ∵， 由（1）可得， ∴ ∴在为直径的圆上 ∴ ∴······（1分） ∴ ∴ ∴．······（2分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $■■1 三 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.Al[BIICIDI 5.Al[BIICI[D 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICIIDI 6.1A]IBIICIIDI 10.[AJIB]ICIID] 3.[AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.1A]IBIICIID] 8.1A]IB]IC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 12. 14. 15. 16 和脑口h体脂后山n:m么忙山阳一学从体六干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共8个小邀，共儿分.胼合应与出义子况明，址明心在叱异步探） 17.(8分) 18.(8分) A 4 B B C -8-7-6-5-4-3-2-10 12345x -+ -3 6 请椿车题馆趣酸城售等，超超黑形限定酸術馆等实效！ 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) E D M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B B A C D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 12 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) 4 3 B C -8-7-6-5-4-3-2-1012345x -1H -2 -3 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 珠 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) E B 22.(10分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B A D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！