20.1 第1课时 验证勾股定理 课件 2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，系统涵盖定理的探索过程、多种证明方法（如赵爽弦图）及应用计算。课堂导入从直角三角形已知性质（有一个直角、两角互余）出发，引导学生思考三边关系，通过《周髀算经》实例及正方形面积探究，搭建从旧知到猜想的学习支架。 其亮点在于融合动手实践与数学文化，通过让学生画直角三角形、拼全等直角三角形验证猜想，培养创新意识和几何直观。借助赵爽弦图的历史背景与国际数学家大会会标，渗透数学文化，发展抽象能力。应用环节设计不同类型例题，强化运算能力和推理意识。小结梳理定理内容、证法及变式，学生能深化理解，教师可利用丰富实例提升教学效率。

验证勾股定理 R·八年级数学下册 勾股定理 20 1 学习目标 1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用 几何图形的截、割、补证明勾股定理． 2. 能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算． 3. 通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生 的动手实践和创新能力. 新课导入 A B C 说一说直角三角形有哪些性质？ ① 有一个直角，∠C = 90°. ② 两个角互余，∠A + ∠B = 90°. a b c 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 探索新知 勾 股 弦 3 4 5 并指出“两矩共长二十有五”. 在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形， S1=9 三个正方形面积的数量关系是: 9 + 16 = 25 S2=16 S3=25 所得正方形的面积分别为 ____，____，____. 9 16 25 三个正方形面积的数量关系是: 9 + 16 = 25 这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 勾 股 弦 3 4 5 S2=16 S3=25 S1=9 如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的 面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？ A3，B3，C3 呢？ C1，C2，C3 的面积你会求吗？ 以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积. 面积 A1 面积 B1 面积 C1 面积 A2 面积 B2 面积 C2 面积 A3 面积 B3 面积 C3 面积 A,B,C 之间的关系 1 4 5 4 9 13 9 25 34 任意画一个直角三角形，也会有这种关系吗？ 自己动手试一试： 1.任意画一个直角三角形，并以各边为边向外作出正方形. 2.数一数，算一算，三个正方形的面积有什么关系？ 3.小组讨论，互相说一说总结你们的发现，并猜想直角三角形的三边可能有怎样的数量关系？ 以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 猜想： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 . B A C b a c 探究 利用拼图来验证猜想： 1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）. 2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！ a b c a b c 黄实 朱实 朱实 朱实 这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）. 赵爽拼图证明法 a b c b a2 + b2 c2 a 证法 1: a b c = 赵爽拼图证明法 a b c b－a 证法 2: = c2， = (b－a)2， = 4S三角形 + S小正方形， c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2. 这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 此结论被称为“勾股定理”. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 勾股定理 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的. 例 1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. A C B 8 6 (1) 解：(1)在Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100， 所以 AB = 10. 已知两直角边长，求斜边长. 17 15 D E F (2) 已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长. (2)在 Rt△DEF 中，根据勾股定理， DE2 + EF2 = DF2， 从而 DE2 = DF2－EF2 = 172－152 = 64， 所以 DE = 8. 练 习 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a = 6，c = 10，求 b； （2）已知 a = 5，b = 12，求 c； （3）已知 b = 15，c = 25，求 a. c2 = a2 + b2 变式 1: a2 = c2－b2 变式 2: b2 = c2－a2 解: 由勾股定理:（1） =； =； =. 【选自教材第25页 练习 第1题】 2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形 都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别 是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积. = = = 解：根据图形， 最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625. 【选自教材第26页 练习 第2题】 3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和 B（0，4）. 求这两点间的距离. 解：由图可知， A，B 两点间的距离为 = . 【选自教材第26页 练习 第3题】 课堂小结 这节课有什么收获呢？ 勾股定理 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c， 那么 a2 + b2 = c2 . 证法 变式 多种：截、割、补 a2 = c2－b2 b2 = c2－a2 B A C b a c 课后作业 见“”系列丛书对应课时作业. 勾股定理和人类文明 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫作“商高定理”. 拓展： 刘徽：青朱出入图 以直角三角形的勾、股、弦为边，分别作出正方形 勾自乘为朱方 股自乘为青方 弦2=朱方+青方 弦2=勾2+股2 勾股定理的证明 拓展： 毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法 重新组合 勾股定理的证明 S左=a2+b2+4× ab S右=c2+4× ab 因为S左=S右 所以a2+b2=c2 拓展： 加菲尔德：梯形面积法 题设：Rt△ABC≌Rt△CDE 易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形 S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2 化简得：a2+b2=c2 勾股定理的证明 拓展： $