7.1.2 两条直线垂直 课件 -2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“两条直线垂直”，涵盖垂直定义、垂线性质及点到直线距离等核心知识点。通过情景导入观察现实图片中的特殊相交线，结合木条转动实验抽象出垂直概念，再通过三角尺作图探究垂线性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光、思维、语言”为核心，情景导入联系生活实例培养抽象能力，动手作图与性质探究发展推理意识，灌溉问题及光的反射跨学科题强化模型意识。采用实验、辨析、应用结合的教学方法，帮助学生深化理解，也为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

人教版(新教材）数学七年级下册公开课精做课件 第7章 相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 1.了解垂直、垂线的概念，掌握垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 2.掌握垂线的性质“垂线段最短”，掌握点到直线的距离的概念，会度量点到直线的距离。 学习目标 观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 情景导入 你能再举出类似的实例吗？ 情景导入 知识点1 认识垂线和垂直 如图，固定木条a，转动木条b. 当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化. a b α α α α α b b b b 思考：当∠α=90°时，木条a，b所形成的其他三个角的度数是多少？ 由对顶角和邻补角的性质可知，其他三个角的度数都是90° 文字表述：两条有斜率的直线互相垂直，当且仅当它们的斜率之积为-1。 幻灯片4 补充说明 特殊情况的垂直判定 注意：上述结论的前提是两条直线都存在斜率，平面中还有两类特殊的垂直直线，需要单独记忆： 1. 一条直线的斜率为0（水平直线，如$$y=3$$），另一条直线的斜率不存在（竖直直线，如$$x=2$$），此时两条直线互相垂直。 2. 总结：平面内两条直线垂直的完整判定 - 若两条直线都有斜率：$$l_1\perp l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2=-1$$ - 若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在：两条直线垂直 幻灯片5 概念辨析 易错点强调 判断下列说法是否正确，加深理解： 1. 若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线一定垂直 ✔ 2. 若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定为-1 ✘（反例：水平直线和竖直直线垂直，无此关系） 3. 若直线$$l_1$$斜率为2，直线$$l_2$$斜率为$$-\frac{1}{2}$$，则$$l_1\perp l_2$$ ✔ 核心提醒：使用$$k_1\cdot k_2=-1$$判定垂直，必须先确认两条直线都有斜率。 幻灯片6 例题精讲 类型一：利用斜率判定两条直线是否垂直 例1：已知直线$$l_1:y=3x-1$$，$$l_2:y=-\frac{1}{3}x+2$$，判断$$l_1$$与$$l_2$$是否垂直。 解：由直线解析式可得，$$l_1$$的斜率$$k_1=3$$，$$l_2$$的斜率$$k_2=-\frac{1}{3}$$ 计算斜率之积：$$k_1\cdot k_2 = 3\times(-\frac{1}{3}) = -1$$ 根据垂直判定结论，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$ 例2：已知直线$$l_1:x=5$$，$$l_2:y=-2$$，判断两直线是否垂直。 解：直线$$l_1$$是竖直直线，斜率不存在；直线$$l_2$$是水平直线，斜率为0 根据特殊垂直判定，可得：$$\boldsymbol{l_1\perp l_2}$$ 幻灯片7 例题精讲 类型二：利用垂直关系求直线的斜率/解析式 例3：已知直线$$l_1$$的斜率为$$k_1=-\frac{2}{3}$$，直线$$l_2$$与$$l_1$$垂直，求$$l_2$$的斜率$$k_2$$。 解：∵ $$l_1\perp l_2$$，且两条直线都有斜率 ∴ $$k_1\cdot k_2 = -1$$，代入得：$$-\frac{2}{3} \cdot k_2 = -1$$ 解得：$$\boldsymbol{k_2=\frac{3}{2}}$$ 例4：求过点$$(2,1)$$，且与直线$$y=-2x+3$$垂直的直线的解析式。 解：步骤1：求所求直线的斜率 已知直线斜率$$k=-2$$，设所求直线斜率为$$k'$$，由垂直得：$$-2\cdot k'=-1 \Rightarrow k'=\frac{1}{2}$$ 步骤2：用点斜式写解析式 过点$$(2,1)$$，斜率为$$\frac{1}{2}$$，则直线解析式为：$$y-1=\frac{1}{2}(x-2)$$，整理得$$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x}$$。 幻灯片8 课堂小结 梳理核心知识点 1. 核心定理：两条都有斜率的直线垂直 $$\boldsymbol{\Leftrightarrow}$$ 斜率之积为 $$\boldsymbol{-1}$$ 2. 特殊情况：斜率为0的水平直线 ↔ 斜率不存在的竖直直线，互相垂直 3. 解题思路： - 判垂直：先看斜率是否存在，再算斜率之积 - 求斜率/解析式：由垂直关系列斜率等式，求解后代入点坐标计算 4. 数学思想：数形结合，将直线的位置关系转化为斜率的数量关系 幻灯片9 结束页 本节课重点：牢记两条直线垂直的斜率判定规律 核心公式：$$\boldsymbol{k_1\cdot k_2=-1}$$（两直线均有斜率） 课堂小结：垂直是相交的特殊形式，斜率的乘积关系是判断垂直的核心依据，掌握规律、规避易错点，就能熟练解决相关问题。 探究新知 a α b 木条a与木条b垂直 一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”. 概念引入 探究新知 概念引入 两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 记法： AB⊥CD，垂足为 O. A B C D O 两条直线垂直是相交的一种特殊情况. 画图时，通常在垂足处标上垂直符号“ ” 探究新知 A B C D O 符号语言： 因为 ∠AOD＝90°， 所以 AB⊥CD. 反之， 因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOD=90°. 思考：判断两条直线互相垂直的关键是什么？ 只要找到两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角. 探究新知 垂线的定义具有双重作用： ①知线垂直得直角； ②知直角得线垂直. ①若 AB⊥CD，则∠AOD =∠AOC=∠BOC =∠BOD =90°； ②若∠AOD =90°，则 AB⊥CD. A B C D O 探究新知 练习1 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为（ ） A.26° B.36° C.44° D.54° 分析： EO⊥CD ∠COE=90° ∠1=54° ∠2=180°-∠1-∠COE B 探究新知 用三角尺画： 落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合. 移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 1 2 3 探究 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. 知识点2 垂线的基本事实（垂线的性质1） 探究新知 l A 1.落 2.移 3.画 1条 （1）经过直线上一点 A 画 l 的垂线， 这样的垂线能画几条？ 探究新知 l B 1.落 2.移 3.画 1条 （2）经过直线外一点 B 画 l 的垂线， 这样的垂线能画几条？ 探究新知 l A 用量角器画： 点 A 在直线 l 上 l B 点 B 在直线 l 外 探究新知 垂线的性质1 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 可以在已知直线上，也可以在已知直线外 “有”指存在，“只有”指唯一性 探究新知 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. （1） （2） （3） 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 探究新知 知识点3 垂线的性质2——垂线段最短 思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何让挖渠能使渠道最短？ 实际问题 数学问题 探究新知 如图，P点是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，称PO为点P到直线l的垂线段. P l O A是直线l上除点O外一点，连接PA，测量并比较线段PO与PA的长度，你能得出什么结论？ A 探究新知 垂线的性质2 P l O A 连接直线外一点与直线上各点的所有线段，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度是点 P 到直线 l 的距离 垂线段只垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足. 探究新知 现在你知道该如何修建水渠了吗？ 探究新知 练习2 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm. （1）点B到直线AC的距离是_____cm； （2）点C到直线AB的距离是_____cm. 3 探究新知 （1）连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条. （2）垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量. （3）垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量. 特别提醒 探究新知 垂线 垂线段 点到直线的距离 图示 区别 联系 垂线是一条直线 垂线段是一条线段 垂线段的长度，是一个数量 它们都与垂直有关 l P O l P O l P O 垂线、垂线段、点到直线的距离三者的区别和联系 探究新知 随堂练习 【选自教材P6“练习”】 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 两条直线相交所成的四个角的和为360°，四个角相等，即每个角都等于90°，根据垂直的定义，这两条直线互相垂直. 课堂练习 2.如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. A C B D P O 线段PO的长度即为点P到直线AB的距离. 课堂练习 3.如图，在三角形ABC中，∠C=90°. （1）分别指出点A到直线CB，点B到直线AC 的距离是哪些线段的长度； （2）三条边 AB，AC，CB中哪条边最长？为什么？ A C B （1）点A到直线BC的距离、点B到直线 AC的距离分别是线段AC，BC的长; （2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长. 课堂练习 知识点1 垂直的定义 （第1题） 1.如图，已知，若 ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 考试考法 27 （第2题） 2.如图，直线和相交于点， .若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 考试考法 28 3.如图，已知直线，相交于点 ，下列条件 中不能说明 的是( ) C A. B. C. D. 考试考法 29 知识点2 垂线的画法 4.［教材探究变式］下列选项中，用三角尺过点画的垂线 ，画 法正确的是( ) C A. B. C. D. 考试考法 30 5.（4分）［教材例2变式］如图，已知和一点，过点 画 两边的垂线. 解：画图如图所示. 考试考法 31 知识点3 垂线的基本事实 6.在同一平面内，经过直线外一点画 的垂线，能画出( ) A A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 考试考法 32 （第7题） 7. 如图，王师傅为了检验门框 是否 垂直于地面，在门框的上端 处用细线悬挂一铅锤， 看门框是否与铅锤线重合.若门框 垂直于地面， 则会与重合，否则与 不重合.请你用所学 的数学知识说明道理：__________________________ ___________________________. 在同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直 考试考法 33 知识点4 垂线段最短 （第8题） 8.如图，点到直线 的垂线段是( ) B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 考试考法 34 9.在跳远比赛中，某同学从点 处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示， 测量线段 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短 距离），依据的数学原理是____________. 垂线段最短 （第9题） 考试考法 35 知识点5 点到直线的距离 10.［教材P 6练习T 2变式］下列图形中线段的长度表示点到直线 的距离的是( ) C A. B. C. D. 考试考法 36 11.［教材P 6练习T 3变式］ 如图，已知点在直线上， ， 于点，连接，则点到 的距离是线段____的长度. 考试考法 37 （第12题） 12.［教材P 6练习T 3变式］如图， 于点 ，于点 ，下列关系式中一定成立的 是( ) C A. B. C. D. 考试考法 38 13. 在直线上任取一点，过点作射线，，使 ， 当 时， 的度数是( ) D A. B. C. 或 D. 或 考试考法 39 （第14题） 14. 如图是光的反射定律示意图， ，， 分别是入射光线、反射光线和法线, 为反射面（提示：反射角和入射角分别是反射 光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入 射角，法线垂直于反射面）.若 ， 则 的度数为_____. 考试考法 40 15.（8分）［教材 思考变式］如图，平原 上有，，， 四个村庄，为解决当地缺 水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 的位置，使它到四个村庄的距离之和最小； 解：如图，点 即为蓄水池的位置. 考试考法 41 （2）计划把河水引入蓄水池 中，怎样开渠最短？画图并说明理由. 解：如图， 即为所求.理由如下：连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短. 考试考法 42 16.（8分）如图，已知直线,， 相交于点 ，,且平分， . （1）求 的度数； 解：因为,相交于点 , 所以 . 因为,所以 , 即 , 所以 . 考试考法 43 （2）是 的平分线吗？说明你的理由. 解：是 的平分线,理由如下: 因为是 的平分线, 所以 . 又因为 , 所以 , 所以 , 所以是 的平分线. 考试考法 44 17.（12分） 按如图的方法折纸，然后回答问题： 考试考法 45 （1）与 垂直吗？为什么？ 解： .理由如下： 由折叠可知 . 又因为 ， 所以 ， 即 .所以 . 考试考法 46 （2）与 有何关系？ 解：由（1）知 ， 故与 互余. （3）与，与 分别有何关系？ 解：与互补，与 互补. 考试考法 47 1.垂直的定义：一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b相互垂直，记作“a⊥b”. 2.垂线的定义：两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 3.垂线的画法：用三角尺和量角器画已知直线的垂线. 4.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）垂线段最短. 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 课堂小结 谢谢观看！ $