5.1.1 变化率问题（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 人教A版2019选择性必修第二册·高二 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题（第二课时） 章节导读 导数概念及其意义 导数的运算 导数在研究函数中的应用 平均变化率 瞬时速度 导数的几何意义 平均速度 曲线的割线斜率、切线斜率 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值与最大（小）值 学 习 目 标 1 2 3 会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念 会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想 通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 旧知复习 情景1 高台跳水运动员的速度 平均速度 瞬时速度 无限逼近 取极限 平均变化率 瞬时变化率 瞬时速度的本质是平均速度的极限. 无限逼近 取极限 那么瞬时速度的几何意义是什么呢？ 新知导入 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 思考 如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？ 因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了. 不一定，也有可能有多个公共点， 如图，在点P 处的切线与曲线有2个公共点. 新知探究 情景2 抛物线的切线的斜率 下面我们以抛物线 f (x)=x2 为例进行研究. 问题1 如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 与研究瞬时速度类似 在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2) 考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 新知探究 我们发现，当点P__________________，割线P0P_______________________位置. 这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势? T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 新知探究 问题2 我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？ 切线位置 割线位置 无限逼近 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率 Δx→0时，斜率kPoP→2. 新知探究 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 新知探究 事实上，由 可以发现，当∆x在无限趋近于0时， 无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为 从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 因此，切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 定义新知 2.切线的斜率 点P0(x0, f (x0))与P(x0x, f (x0x))两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f (x0))处的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 1.割线的斜率 新知探究 思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? t h 1 O • (1, h(1)) • (1+∆t, h(1+∆t)) 新知探究 问题3 你能用上述方法，求抛物线 f (x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率吗？ x y O 1 2 1 2 3 4 P0 P 记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标即为(2＋Δx，(2＋Δx)2). 于是割线P0P的斜率 故抛物线在点P0(2，4)处的切线斜率为4. 典例分析 例1 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率. 变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程. 课后练习 课本练习 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 课后练习 课本练习 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 曲线的割线、切线的斜率 题型一 题型探究 【例1】已知曲线上的点， . (1)求曲线的割线 的斜率； [解析] 由曲线上的点，， 得割线 的斜率 . 曲线的割线、切线的斜率 题型一 题型探究 【例1】已知曲线上的点， . (2) 求曲线在点 <m></m> ，点 <m></m> 处的切线的斜率. [解析] 设曲线上点 <m></m> 附近的一点 <m></m> ， 则割线 <m></m> 的斜率 <m></m> ， 由在点 <m></m> 处的切线斜率为割线 <m></m> 斜率的极限值， 得切线斜率 <m></m> . 同理，曲线在点 <m></m> 处的切线斜率 <m> </m> . 曲线的割线、切线的斜率 题型一 题型探究 提分笔记 计算切线斜率的方法步骤 已知曲线，切点坐标为 （1）先计算割线斜率：设附近的增量为，计算点 与点 所在割线的斜率 ； （2）再计算极限得切线斜率：曲线在点 处的切线斜率 为割线斜率的极限值，即 . 课堂达标 1. 若抛物线在点处切线的斜率为8，则 ___. 1 [解析] 切线斜率 . 课堂达标 2. 已知函数，求曲线在 处的切线方程. [解析] 由题意得， ， 则 ， 所以曲线在处的切线斜率为 ， 又，所以曲线在 处的切线方程为 ，即 . 课堂达标 3.求曲线在点(1,)处的切线的倾斜角. 课堂小结 1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度 2.抛物线的割线及切线的斜率 无限逼近 无限逼近 感谢聆听! ， 所以曲线在点处的切线斜率为，则倾斜角为. $