5.5确定二次函数的表达式 同步练习 2025--2026学年青岛版九年级数学下册

5.5确定二次函数的表达式 知识点一：利用一般式确定二次函数的表达式 1．已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 知识点二：利用顶点式确定二次函数的表达式 1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 2．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（ ） A． B．或 C． D．或 3．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 知识点三：利用交点式确定二次函数的表达式 1．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象顶点为P（−1，2），且图象经过点A（1，0）. （1）求这个二次函数的表达式； （2）请结合图象，直接写出：当函数值y＞0时，x的取值范围. 2．如图，二次函数图象过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求二次函数的解析式，并求出函数顶点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 能力提升 一、单选题 1．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 从上表可知，下列说法中正确的是（    ） (填写序号) ①抛物线与轴的一个交点为 ②函数的最大值为6 ③抛物线的对称轴是直线， ④在对称轴左侧， 随增大而增大 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 2．若二次函数的图象经过点，则 ． 3．已知二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ． 4．根据下列条件，分别求出对应的二次函数表达式，并写成一般式． (1)抛物线经过，，三点； (2)抛物线经过，和原点； (3)二次函数的图象经过点，且当时，函数的最小值为． 5．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象顶点为P（−1，2），且图象经过点A（1，0）. （1）求这个二次函数的表达式； （2）请结合图象，直接写出：当函数值y＞0时，x的取值范围. 6．已知抛物线过，B（■■）两点，且交于y轴的负半轴．请证明抛物线的对称轴是直线（其中点B的坐标被污渍盖住了）． (1)请问能否根据题中信息求抛物线的解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由； (2)请把原题补充完整，并完成原题证明． 7．如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）． （1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式； （2）若点P是抛物线落在第一象限，连接PA，PB，求△PAB的面积S的最大值及此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 5.5确定二次函数的表达式 答案 知识点一：利用一般式确定二次函数的表达式 1．C 【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解． 【详解】解：设这个二次函数的解析式是，把，，代入得： ， 解得：； 所以该函数的解析式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式． 2．(1) (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； 【详解】（1）解：∵设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：, 当时，， 当时，， 当时，， 函数图象如图所示： 所以，当时，． 知识点二：利用顶点式确定二次函数的表达式 1．D 【分析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，-8） 故二次函数的解析式为y=2（x-1）2-8 故选D． 【点睛】本题考查由顶点坐标式看出抛物线的顶点坐标，y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）． 2．B 【分析】本题从题干中的条件入手，由给出的抛物线的形状相同可判断出|a|相等，又由顶点坐标可判断出正确选项． 【详解】解：设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由形状与y=-x2+2的形状相同，则|a|=， 又抛物线过顶点坐标（4，-2），则由此可判断出B选项的函数解析式符合题意． 故选B 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式的方法，在这里用排除法更为简单． 3．y=2x2+8x+11 【分析】抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为（-2，3），因而可以设函数的解析式是：y=a(x+2)2+3，又因为函数经过点（-1，5），代入抛物线中就可以求出a的值，进而可得函数的解析式． 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)， ∴设函数的解析式是：y=a(x+2)2+3， 把（-1，5），代入解析式得a(-1+2)2+3=5， 解得：a=2， ∴函数解析式是：y=2(x+2)2+3 =2x2+8x+11． 故答案为y=2x2+8x+11 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，当已知函数的顶点坐标，或已知函数对称轴时，利用顶点式求解析式比较简单；当已知图象经过的三点时，一般利用一般式求解．熟练掌握二次函数的几种表达形式是解题关键. 知识点三：利用交点式确定二次函数的表达式 1．（1）二次函数的表达式为 ；（2）当函数值y＞0时，x的取值范围为 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的表达式即可； （2）根据对称轴和二次函数与x轴的一个交点，求出另一个交点的坐标，然后根据图象直接写出答案即可. 【详解】（1）∵二次函数的顶点为P（−1，2），且图像经过点A（1，0）. ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为 （2）由二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围为 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键. 2．(1) (2)， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质． （1）求出，由点C在y轴上可以写出点C的坐标； （2）先用待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴点C的坐标为； （2）设二次函数解析式为：， 把点A的坐标为，点B的坐标为代入得， ， ， ∴． ∵， ∴顶点坐标为． 能力提升 1．D 【分析】根据表中数据和抛物线的对称形，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为(−2,0)和(3,0)；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3−=，再根据抛物线的性质即可进行判断． 【详解】解：根据图表，当x=−2，y=0，根据抛物线的对称形，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为(−2,0)和(3,0)； ∴抛物线的对称轴是直线x=3−=， 根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6， 并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大． 所以①③④正确，②错． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a<0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大． 2． 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 3． 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由，可知抛物线的对称轴为直线，从而，则，又由题意可得，，，，将用表示出来，进而可以得解． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， ，． 二次函数的图象过点，，， ，，． ， ． ． ． ． 4．(1)二次函数表达式为； (2)二次函数表达式为； (3)二次函数表达式为． 【分析】（）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （）由抛物线经过，和原点，则设二次函数表达式为，然后代入求出的值即可； （）由题意得二次函数的顶点坐标为，设二次函数表达式为，然后代入求出的值即可； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设二次函数表达式为， ∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：∵抛物线经过，和原点， ∴设二次函数表达式为， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为； （3）解：由题意得二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， ∵二次函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为． 5．（1）二次函数的表达式为 ；（2）当函数值y＞0时，x的取值范围为 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的表达式即可； （2）根据对称轴和二次函数与x轴的一个交点，求出另一个交点的坐标，然后根据图象直接写出答案即可. 【详解】（1）∵二次函数的顶点为P（−1，2），且图像经过点A（1，0）. ∴ 解得 ∴二次函数的表达式为 （2）由二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围为 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键. 6．(1)能，过程见详解 (2)补充：B（0，-3），证明见解析 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴是直线x=1列方程可得b的值，再把A（c,12）代入中，可得c的值，根据抛物线交y轴的负半轴可知c=-3，写出抛物线的解析式即可； （2）补充B（0，-3）；分别将A和B两点的坐标代入解析式可解答． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是x=1， ∴， ∴b=-2 ∵抛物线，过A（c，12） ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为： （2）补充：B（0，-3） 证明：∵抛物线过A（c,12）,B（0，-3） ∴c=-3 ∴A（-3,12） 将A（-3,12）代入中得：12=9-3b-3， ∴b=-2, ∴抛物线的对称轴是直线． 【点睛】本题考查运用了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称轴即性质，掌握二次函数的性质是关键． 7．（1）y=-x2+2x+3；y=-x+3（2）当a=时，S△PAB有最大值，最大值为，此时点P坐标为（，） 【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）过P点作PN⊥OA于N，交直线B于M，设点P横坐标为a，则可分别表示出P、M的纵坐标，从而表示出PM的长，根据S△PAB=S△PAM+S△PBM得到S=PM•OA=-(a-）2+，利用二次函数的性质可求得其最大值，及此时的点P的坐标． 【详解】（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3； 设直线AB：y=kx+m， 根据题意得，解得， ∴直线AB的函数表达式是y=-x+3； （2）如图，过P点作PN⊥OA于N，交直线B于M，设点P横坐标为a，则点P的坐标为（a，-a2+2a+3），点M的坐标是（a，-a+3）， 又点P，M在第一象限， ∴PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a， ∴S△PAB=S△PAM+S△PBM=PM•OA=（-a2+3a）×3=-（a-）2+， ∴当a=时，S△PAB有最大值，最大值为， 此时点P坐标为（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求得两函数解析式是解题的关键． $