专题03 勾股定理（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学勾股定理专题知识清单系统涵盖勾股定理及逆定理、勾股数、几何图形计算、实际应用等核心内容，通过5个知识清单、10类典型题型及3个易错点分析，搭建从基础概念到综合应用再到易错警示的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型突破+易错辨析”三维架构呈现，知识清单明确本质与用途（如勾股定理“知二求一”），题型含证明（赵爽弦图）、计算（最短路径展开立体图形）、实际应用（折叠问题方程思想）等，易错点标注勾股数判定、直角边斜边分类讨论等关键。通过变式训练（如例1配变式1-1、1-2）和生活案例（楼梯地毯、荷花问题），培养几何直观、推理意识，助力学生自主梳理知识，教师精准教学。

专题03 勾股定理（5知识&10题型&3易错） 【清单01】勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为 a, b，斜边为 c，则 a² + b² = c²。 本质：揭示了直角三角形三边之间的确定数量关系。 用途：在已知直角三角形任意两边的前提下，求第三边。即“知二求一”。 【清单02】勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角是直角。 用途：在已知三角形三边长度时，判定其是否为直角三角形，并确定直角的位置。 【清单03】勾股数 概念：能够构成直角三角形三边长的一组正整数。如 (3, 4, 5)、(5, 12, 13) 及其整数倍 (6, 8, 10) 等。 意义：是勾股定理的实例化，熟记常用勾股数能简化计算、快速验证。 【清单04】几何图形中的计算 核心思想：在非直角三角形的图形（如等腰三角形、梯形、菱形等）中，通过作高等辅助线，构造出直角三角形，从而将问题化归为勾股定理的基本应用。 典型场景：求等边三角形的高、求等腰梯形的腰长等。 【清单05】实际问题的建模与应用 最短路径问题：解决立体图形（如长方体、圆柱）表面两点间的最短距离。关键步骤是“化曲为直”——将立体图形的相关表面展开成平面图形，在展开图中连接两点，利用勾股定理计算这条线段（最短路径）的长度。 折叠问题：将图形折叠视为轴对称变换。折叠前后有重叠的边、角相等。解题时，常设未知数，将相关线段集中到一个新构造的直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。这是方程思想与几何结合的典范。 【题型一】勾股定理的证明 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？ 【答案】【方法理解】 【方法运用】证明见解析 【方法迁移]】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【方法理解】观察图形发现，将大正方形面积减去四个直角三角形的面积为正方形的面积，据此列式计算即可； 【方法运用】观察图形，根据正方形的面积公式得到正方形的面积，四边形的面积等于和的面积之和，列出表达式，再根据正方形的面积和四边形的面积相等，列式证明即可； 【方法迁移】假设，在和中，由勾股定理分别表示出，解出，进而求解线段的长度即可． 【方法理解】解：根据题意得： 故答案为：； 【方法运用】解：根据题意得：， ， 由题意得，正方形的面积和四边形的面积相等， 则， 即； 【方法迁移】解：根据题意得，在中，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 则， 解得， 因此， 即， 答：线段的长度是． 【题型二】以弦图为背景的计算 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为39，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知：每个直角三角形面积为，则四个直角三角形面积为，大正方形面积为，小正方形面积为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为． 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 【题型三】用勾股定理理解三角形 【例3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后根据比值假设，则，利用面积列出方程求解，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 假设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得, 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点A作于点E，根据等腰直角三角形性质得，设，则，，，在中，由勾股定理求出，继而可得的长为 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： ， 是直角三角形， 在中，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ，或，不合题意，舍去， ， 即的长为 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，△中，，垂直平分线交于，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线定理以及勾股定理．求得是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可求得的长，从而求得的长，再根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：垂直平分线交于，， ， ， ， ． 【题型四】以直角三角形三边为边的图形面积 【例4】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，用勾股定理的知识来求解是本题的关键．根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：正方形的面积等于225， 即， 正方形的面积为289， ， 又为直角三角形，根据勾股定理得： ， ， 则正方形的面积为64． 故选：． 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理等知识，根据勾股定理得，再计算，代入即可求解﹒ 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ﹒ 【题型五】勾股定理与网格图 【例5】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 【答案】(1)图见解析 (2)满足条件的点P共有4个；图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）根据题意作出关于直线对称的； （2）利用线段垂直平分线的性质与勾股定理求解； （3）利用三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴满足条件的点P共有4个， 故答案为：4； （3）如图，是异于的上任意一点，连接、， 则， 当、、三点在同一直线上时，有最大值，最大值为， 故延长交于点，点即为所求作． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理与网格问题，三角形的三边关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ； 又， ， ∴， ； （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25八年级下·河南信阳·月考）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键． （）根据勾股定理画出图形即可； （）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图， 理由：由网格可得，，， ∴即为所求作；（位置不唯一） （2）解：． 【题型六】勾股定理与图形折叠 【例6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是解题的关键． 根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，在中，，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 因为将沿着翻折，使C点落在边上的点E处， ， ， 在中， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 【题型七】勾股定理的实际应用 【例7】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东东营·期中）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 【变式7-2】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【答案】1.5/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），    故答案为：1.5． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大体意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），从某处折断后，竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺．则竹子折断处离地面的高度（即折断后直立部分的长度）为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】解：依题意，竹子折断后形成直角三角形，直立部分高尺，底边长为3尺，斜边长为尺， 由勾股定理，得：， ， 两边减去，得：， 移项，得：， ， ， 故折断处离地面的高度为尺． 故答案为：． 【变式7-4】（25-26七年级上·山东淄博·期中）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【答案】旗杆的高度为12米．过程见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意构造出直角三角形是解题的关键． 设旗杆高，则绳子长为，根据勾股定理列式计算即可； 【详解】解：设旗杆高，则绳子长为， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆、绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为，解得， ∴旗杆的高度为12米． 【变式7-5】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【答案】池塘水深尺，荷花长尺． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺，然后由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设池塘水深度为尺，则荷花原长为尺，由于荷花位于水池中央，所以为尺， 在中，，即， 解得：． ∴池塘水深为尺，荷花长度为， 答：池塘水深尺，荷花长尺． 【题型八】最短路径问题 【例8】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，一根长方体木条放置在一块长方形纸片上，已知，，该木条的较长边与平行，横截面是边长为的正方形．一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理在最短路径中的应用，找出最短路径是解题的关键．将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，    将长方体侧面展开，即为所求， 则，， 最短路程． 故选：B． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 【题型九】勾股定理逆定理的实际应用 【例9】（25-26七年级上·山东东营·期中）为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．若种植草皮的费用是每平方米100元，那么在这块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】9600元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积．进而求出种植草皮的费用即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴（米）， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形ABCD的面积是：（平方米）， （元） 即在这块空地上种植草皮共需投入9600元． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 由勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴A、B之间的距离为． 【变式9-2】（25-26八年级上·山西运城·期中）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)购买运动型塑胶地板的总费用为22800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）由勾股定理即可求出的长度； （2）先由勾股定理的逆定理，得出为直角三角形，再根据结合三角形的面积公式求出四边形的面积，然后由运动型塑胶地板单价即可得出结果． 【详解】（1）解：米，米， 米； 答：的长度为米； （2）解：，， ， 为直角三角形，， （米）， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 【题型十】利用勾股定理逆定理求解 【例10】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东济南·月考）已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形，其中直角边为和， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【题型一】勾股数的判定 【例1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C．9，40，41 D．1.5，2，2.5 【答案】C 【分析】本题考查勾股数定义，熟记勾股数定义是解决问题的关键． 勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且满足勾股定理（其中最大），按照勾股数定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A：均为正整数，但，不是勾股数，不符合题意； B：不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C：均为正整数，且，是勾股数，符合题意； D：不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．根据该定义即可得解． 【详解】解：选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，是勾股数，符合题意，选项正确； 选项，、不是正整数，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：①，是勾股数，符合题意； ②，是勾股数，符合题意； ③，不是勾股数，不符合题意； ④不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故答案为：①②． 【题型二】判断三边能否构成直角三角形 【例2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（    ） A．6，8， B． C．2，5， D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，据此解答即可． 【详解】解：∵ A∶ ， ， ∴ ， 能作为直角三角形的三边长． B∶ ， ， ∴ ， 能作为直角三角形的三边长． C∶ ， ， ∴ ， 不能作为直角三角形的三边长． D∶ ， ， ∴ ， 能作为直角三角形的三边长． 故选C． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理， 使用勾股定理判断每组边长是否能构成直角三角形，即检查两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①∵，∴不能构成直角三角形； ②∵，则，∴不能构成直角三角形； ③∵，∴能构成直角三角形； ④∵，∴能构成直角三角形. ∴只有③和④两组能构成直角三角形. 故选：B． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．13，16，18 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理的逆定理判断三边能否构成直角三角形，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．通过计算较小两数的平方和，看其是否等于最大数的平方，若等于，则能构成直角三角形，否则这三条边不能构成直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型三】混淆直角三角形的直角边与斜边，没有分类讨论 【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 【变式3-1】（25-26八年级上·江西吉安·期中）一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（   ） A．5 B． C．5或 D．12 【答案】A 【分析】本题重点考查勾股定理的运用，明确直角三角形三边关系并判断是否为勾股数是解题的关键． 直角三角形两边长为3和4，第三边可能为斜边或直角边，但要求三边长均为勾股数（即正整数），因此需验证第三边是否为整数，求解即可． 【详解】解：∵ 直角三角形两边长为3和4， ① 若3和4为直角边，则斜边为 ，5为整数，符合勾股数要求； ② 若4为斜边，则另一条直角边为 ，不是整数，不符合勾股数要求， ∴ 第三边长为5， 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知直角三角形两边的长分别为5和12，则此三角形的周长为（   ） A．30 B． C．30或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的灵活运用及分类的思想方法是解题关键． 首先根据勾股定理求出第三边的长，再求出三角形的周长． 【详解】解：①当5和12是直角边，则根据勾股定理可得： 第三边长度为 ∴三角形周长为； ②当12是斜边，5是一条直角边，则根据勾股定理可得： 第三边长度为 ， ∴三角形周长为， 故选：C． 试卷第6页，共34页 公1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（5知识&10题型&3易错） 【清单01】勾股定理 直角三角形两条直角边的等于斜边的 。若直角三角形的两直角边为 a, b，斜边为 c，则 。 本质：揭示了直角三角形三边之间的确定数量关系。 用途：在已知直角三角形任意两边的前提下，求第三边。即“知二求一”。 【清单02】勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长 a, b, c 满足 ，那么这个三角形是 ，且边 c 所对的角是 。 用途：在已知三角形三边长度时，判定其是否为直角三角形，并确定直角的位置。 【清单03】勾股数 概念：能够构成直角三角形三边长的一组正整数。如 (3, 4, 5)、(5, 12, 13) 及其整数倍 (6, 8, 10) 等。 意义：是勾股定理的实例化，熟记常用勾股数能简化计算、快速验证。 【清单04】几何图形中的计算 核心思想：在非直角三角形的图形（如等腰三角形、梯形、菱形等）中，通过作 辅助线，构造出 ，从而将问题化归为 的基本应用。 典型场景：求等边三角形的高、求等腰梯形的腰长等。 【清单05】实际问题的建模与应用 最短路径问题：解决立体图形（如长方体、圆柱）表面两点间的最短距离。关键步骤是“ ”——将立体图形的相关表面展开成 ，在展开图中连接两点，利用勾股定理计算这条线段（最短路径）的长度。 折叠问题：将图形折叠视为轴对称变换。折叠前后有重叠的边、角 。解题时，常设未知数，将相关线段集中到一个新构造的 中，利用勾股定理 求解。这是方程思想与几何结合的典范。 【题型一】勾股定理的证明 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？ 【题型二】以弦图为背景的计算 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为39，则小正方形的边长为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【题型三】用勾股定理理解三角形 【例3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，垂直平分交于点D，若的周长为14，且，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式3-1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，点D为上一点，连接，若，，则的长为 ． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，△中，，垂直平分线交于，若，，求的长． 【题型四】以直角三角形三边为边的图形面积 【例4】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则 ．（结果保留） 【题型五】勾股定理与网格图 【例5】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在一个的正方形网格中，每个小格均是边长为1的正方形，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最大． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【变式5-2】（24-25八年级下·河南信阳·月考）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点． (1)请在网格中画出格点三角形，使，，； (2)求的面积． 【题型六】勾股定理与图形折叠 【例6】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 【变式6-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【题型七】勾股定理的实际应用 【例7】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东东营·期中）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【变式7-2】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则 米．    【变式7-3】（25-26八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大体意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），从某处折断后，竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺．则竹子折断处离地面的高度（即折断后直立部分的长度）为 尺． 【变式7-4】（25-26七年级上·山东淄博·期中）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【变式7-5】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）小明在参观我国古代园林时，发现一个有趣的景观：一个正方形的莲花池，池中心有一支荷花高出水面1尺（如图）．一阵风吹过，荷花被吹倒，荷花顶端恰好到达池边的水面．如果荷花与水面相交点离池边尺，请你帮小明算一算池塘的水深和荷花的长度．（注：尺寸，结果用尺表示） 【题型八】最短路径问题 【例8】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，一根长方体木条放置在一块长方形纸片上，已知，，该木条的较长边与平行，横截面是边长为的正方形．一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【题型九】勾股定理逆定理的实际应用 【例9】（25-26七年级上·山东东营·期中）为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．若种植草皮的费用是每平方米100元，那么在这块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【变式9-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【变式9-2】（25-26八年级上·山西运城·期中）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米．    (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【题型十】利用勾股定理逆定理求解 【例10】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【变式10-1】（25-26八年级上·山东济南·月考）已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ． 【变式10-2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【题型一】勾股数的判定 【例1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（   ） A．4，5，6 B．0.3，0.4，0.5 C．9，40，41 D．1.5，2，2.5 【变式1-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）下列各组数中：①6，8，；②；③1，2，3；④；是勾股数的有 ．（填序号） 【题型二】判断三边能否构成直角三角形 【例2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（    ） A．6，8， B． C．2，5， D． 【变式2-1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）以下列各组数为三角形的三条边长：①1.5，2，3；②；③；④9，40，41．其中能构成直角三角形的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式2-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．13，16，18 【题型三】混淆直角三角形的直角边与斜边，没有分类讨论 【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【变式3-1】（25-26八年级上·江西吉安·期中）一个直角三角形的两边长分别是3和4，且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（   ） A．5 B． C．5或 D．12 【变式3-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知直角三角形两边的长分别为5和12，则此三角形的周长为（   ） A．30 B． C．30或 D．以上都不对 试卷第6页，共34页 公1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $