专题08 高一上期末真题精选：压轴141题22类考点专练（期末专项训练）高一数学上学期苏教版

专题08 期末真题百练通关（141题22大压轴题型） 题型1 集合间的关系与运算问题 题型12 对数型复合函数的综合问题 题型2 与集合有关的新定义问题 题型13 指数函数与对数函数的综合问题 题型3 不等式中的min与max问题 题型14 函数新定义问题 题型4 基本不等式的综合应用问题 题型15 三角函数图像与性质的综合应用 题型5 基本不等式中的有解与恒成立问题 题型16 三角函数中的参数问题 题型6 一元二次不等式的整数解问题 题型17 三角函数中的零点问题 题型7 指数与对数的综合运算问题 题型18 三角函数的伸缩平移变换问题 题型8 函数单调性、奇偶性解不等式问题 题型19 三角函数的恒成立与有解问题 题型9 函数单调性、奇偶性、对称性的应用问题 题型20 三角函数的应用问题 题型10 抽象函数的性质应用问题 题型21 与函数零点有关的的等高线问题 题型11 指数型复合函数的综合问题 题型22 嵌套函数的零点问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 集合间的关系与运算问题（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 3．（24-25高一上·广东佛山·期末）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 【答案】ABD 【分析】通过设未知数，根据已知条件列出方程来求解各项人数的范围，结合图象从而判断选项的正确性. 【详解】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为， 只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为， 只参与佛山祖庙活动的人数为， 只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为， 对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105， 那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确； 对于B，根据已知条件可得： ，① ，② ，③ ，④ 将① ② ③得： ， ⑤ 用⑤ ④可得： ，即， 因为，即，解得， 所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确； 对于C，由④可得， 将代入可得：， 因为，所以， 即恰好参与一个活动的人数最少为11， 选项C错误； 对于D，恰好参与两个活动的人数为， 因为，所以， 所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确. 故选：ABD.    【点睛】方法点睛：本题主要涉及集合的相关概念和容斥原理。容斥原理是指先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 5．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 题型二 与集合有关的新定义问题（共6小题） 6．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 【答案】BCD 【分析】根据已知条件新定义逐个分析即可． 【详解】对A选项，若，则 , 因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对B选项，若 ，则， 则当 时， A 具有性质, B正确； 对C选项，将整数分成这五类， 依次记为集合 C、D 、 E 、 F 、 G , 当 时，肯定是这5类中的一类， 如果四个属于的集合各不相同， 比如 ，那么肯定是5的倍数，且，满足 的定义， 如果四个中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是5的倍数，故C正确； 对 D 选项， 将整数分成这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类， 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义， 如果七个属于的集合中有两个或者以上元素属于同一个集合， 比如 ，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确． 故选：BCD. 7．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【详解】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 8．（25-26高一上·甘肃·期末）设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（ ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】BCD 【分析】根据“闭集合”的定义可判断ABD选项；取，结合“闭集合”的定义可判断C选项. 【详解】对于A，对于，因，故集合不是“闭集合”，A错误； 对于B，对任意的、，必有成立，故正整数集是“闭集合”，B正确； 对于C，若取，因、、均在集合中，即为“闭集合”，C正确； 对于D，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，D正确. 故选：BCD. 9．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 10．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知集合具有性质对任意、，与至少有一个属于集合． (1)判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求证：． 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质；理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中性质的定义验证即可； （2）根据可得出，再由，可得出，由此可得出集合； （3）根据，可求出，由不等式的性质可得，结合，可推导出，，，，，再结合累乘法可推出结论成立. 【详解】（1）集合中，因为，，， ，，，，所以集合具有性质； 集合中，因为，，所以集合不具有性质． （2）因为，且具有性质， 所以，，则， 又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而，所以，故． （3）因为具有性质， 所以，则，则． 又因为，所以， 又因为， 所以，则， 所以，，，，， 所以， 即，因此，． 【点睛】关键点点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 11．（24-25高一上·北京西城·期末）给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． (1)当时，写出一组和； (2)是否存在集合与正整数，使？说明理由； (3)当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析（写出其中一组即可） (2)不存在，理由见解析 (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由题意生成集合的过程可得； （2）用反证法证明.先将分解因式，分析集合中的元素情况，分类讨论可得； （3）尝试任取两个元素，逐步找到满足题意的一组集合即可. 【详解】（1）由题意可知，若，则； （若，则； 若，则；写出一组即可）. （2）不存在集合，使． 下面用反证法证明. 证明：假设存在集合，使． 因为， 故集合中必有1或同时有． ①若时，不妨设，则． 因为与必为一个奇数一个偶数，而， 则，且， 这与中元素均为奇数矛盾． ②若且，则，这与矛盾． 综上所述，假设错误，故不存在集合，使． （3）当时， 存在，使．原因如下： 当时，令，，则； 令，，则； 令，，则； 令，，则. 题型三 不等式中的min与max问题（共4小题） 12．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值. 【详解】∵，∴， ∴， 当时，，时，，时，， ∴， 当时，，当时，， ∴时，，∴， 又当，，即， ∴的最大值是． 故答案为： 13．（2024高三·全国·专题练习）设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先设，，，，再构造和的形式，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，，， ，且，，，，， ， ，当且仅当，时等号成立， 又，当且仅当，时等号成立， ，则，当且仅当，时等号成立， 故中的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：本题是一道典型的二元双重最值问题，求解的关键是多次运用基本不等式，多次运用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件，看是否同时满足，另外还要注意不等号的方向，保持不等号的一致性. 14．（23-24高一上·广东梅州·期末）若，则的最大值是 .（注：表示中的较小值） 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，借助基本不等式求出的最大值即得. 【详解】令，，于是，， 则，当且仅当时取等号， 而，当且仅当，即时取等号， 因此当，且，即时，， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：令，由此建立不等式，再利用不等式性质变形，借助基本不等式求解. 15．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】令，则，，讨论、、依次对应、、，结合基本不等式求对应范围，即可得其最大值. 【详解】令，则，， 所以 ， 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时； 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时（时取等号）； 当时，，且， 此时， 其中， 当且仅当，即时取等号， 此时（时取等号）； 综上，时，有的最大值为. 故答案为： 题型四 基本不等式的综合应用问题（共7小题） 16．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 17．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 18．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）若正实数x，y满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】将已知等式变形，得到，再由基本不等式求解即可； 【详解】因为，变形为， 令，该函数为R上的增函数，则， 可得，即， 所以，则，当且仅当， 即时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知等式变形后观察两边为对称形式，构造函数，利用单调性得到. 20．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 21．（23-24高一上·山东菏泽·期末）若、、、均为正实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值. 【详解】原式 ， 当且仅当时， 即当时，等号成立， 故的最小值为， 故答案为：. 22．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 题型五 基本不等式中的有解与恒成立问题（共7小题） 23．（24-25高一上·河南郑州·期末）设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的最小值，从而可得在上恒成立，根据判别式非正可求参数的取值范围. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故在上恒成立，故在上恒成立， 故即， 故选：B. 24．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，对于恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据恒成立得出，再根据常值代换结合基本不等式计算最小值即可. 【详解】对于恒成立，且均单调递增， 则， 所以，所以 则， 当且仅当，即，取的最小值为2. 故选：B. 25．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】先将不等式 恒成立，转化为，求出最小值，解不等式即可得到答案. 【详解】不等式恒成立，等价于， 又，故恒成立， 所以， 又，故， 即，解得 或 故选：B 26．（24-25高一上·河北保定·期末）已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知将问题化为恒成立，应用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围. 【详解】由，则恒成立，又，可得， 所以恒成立，即， 由，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 27．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 28．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 29．（24-25高一上·陕西西安·期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可得范围. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数m的取值范围为. 故答案为： 题型六 一元二次不等式的有解与恒成立问题（共7小题） 30．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 31．（24-25高一上·广东惠州·期末）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，可得出的可能取值，结合题中定义可得出的取值范围. 【详解】由可得， 由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是. 故选：C. 32．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 33．（24-25高一上·山东济宁·期末）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件. 【详解】由不等式，得，解得， 又表示不大于的最大整数,所以，即， 观察选项，只有D选项的包含，满足要求， 故选：D 34．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知不等式，下列说法正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数的取值集合为 D．若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先因式分解得到二次函数的两点式，代入，即可得，从而可判断A选项；根据得出，从而可直接解，即可判断B选项；分与讨论，当时，转化为含参二次不等式恒成立问题，写出等价条件，解不等式组即可判断C选项；分与讨论，即可判断D选项. 【详解】， 对于A，若，恒成立，所以的解集为，故A正确； 对于B，若，则，的解集为，故B正确； 对于C，恒成立，即， 当时，等价于 解不等式组得，所以整数的取值为， 当时，恒成立，满足题意. 综上所述，整数的取值为，故C错误； 对于D，当时，的解集为， 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去. 当时，的解集为， 若该解集中恰有两个整数解，则，解得. 综上，实数的取值范围是，故D正确 故选：ABD 35．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知不等式的解集为若在区间内有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集及韦达定理得，结合对称性可得三个整数解为0，1，2，进而列出不等式组，即可得解. 【详解】根据题意，方程有两个不同的实数根， 所以，解得，由韦达定理得，所以区间关于对称， 若在区间内有且仅有三个整数，则这三个整数解为0，1，2， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 36．（24-25高一上·湖北·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定，由包含关系构造不等式求解即可； （2）由和两种情况讨论即可； 【详解】（1）由，可得或， 即集合或： 由，得或， 解得或. （2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知 综上可知 题型七 指数与对数的综合运算问题（共5小题） 37．（24-25高一上·河南·期末）已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则及换底公式，利用糖水不等式比较大小即可. 【详解】由题意知， 又． 综上，． 故选：A 38．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合对数运算性质即可求解． 【详解】由题意，五分记录法的评判范围为， 令，则，得， 令，则，得， 五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为: ， 设，则， 则． 故选：D． 39．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【详解】， 则 ， 所以， 故选：C． 40．（24-25高一上·广东·期末）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，会无限趋近于e（e=2.71828…是自然对数的底数），根据以上知识判断，当n越来越大时，会无限趋近于（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】将变为，利用新定义得无限趋近，然后利用对数运算求解即可. 【详解】根据题意， 由于随着n越来越大，会无限趋近于， 则随着n越来越大，会无限趋近于，会无限趋近于1， 故会无限趋近，故会无限趋近于9. 故选：D 41．（24-25高一上·北京密云·期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（   ） 参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010． A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】设经过的天数为天，依题得方程，运用两边取对数和对数的运算性质化简，代入近似值计算即得. 【详解】设经过天后，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍， 由题意，可得，化简得， 两边取常用对数，可得：， 即大约经过70天，学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍. 故选：C. 题型八 函数单调性、奇偶性解不等式问题（共94小题） 42．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集. 【详解】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：A. 43．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义域为（且）的函数图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】A 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令，， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增，又因为， 所以，， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以，即， 因为实数的取值范围为， 所以必有， 由解得， 将代入验证，成立， 综上，， 故选：A. 44．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得是R上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】因为，， 所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数， 所以是R上的增函数， 不等式，对任意的恒成立， 即， ，又， ，令， ， ， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 45．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析出是奇函数，结合可得，从而构造出，然后根据的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 因为当时，，所以． 令，则，为偶函数，定义域为，且在上单调递减， 不等式即，也即， 于是，则，所以． 故选：D 46．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，根据题意分析可知函数为奇函数，且在内单调递增，结合函数性质解不等式. 【详解】构建， 可知的定义域为，且， 所以函数为奇函数， 因为，，整理可得， 则函数在内单调递增，可知在内单调递增， 又因为，则， 当时，；当时，； 所以不等式，即的解集为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构建函数，进而分析其性质，利用性质解不等式. 47．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可取不等式的解. 【详解】因为，且，都有成立， 故在上为增函数，而为上的偶函数， 故，故为上的奇函数， 故在上为单调增函数， 当时，原不等式即为， 故，解得； 当时，原不等式即为， 故，解得， 综上原不等式的解为：， 故选：C. 48．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的，当时，都有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的定义得函数在上单调递减，结合偶函数的对称性得函数在上单调递增，利用可得当或时，，当时，，进而求解不等式和，再分类讨论解分式不等式即可. 【详解】因为对于任意的，当时，都有成立， 所以函数在上单调递减，又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，又，则， 所以当或时，，当时，， 所以由，得或，解得或， 由，得，解得， 又， 所以或，解得或， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 49．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，并得到函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性得到不等式，解得范围. 【详解】∵，∴ 函数的定义域为， ， 令函数，即， 则函数定义域为， 则， 即函数为奇函数， 又∵中， 在上单调递减，在上递增，∴在上单调递减； 在上单调递减；在上单调递减； ∴函数在上单调递减， ∵，∴， 即，即， ∴. 故答案为：. 50．（24-25高一上·甘肃·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意构造函数，进而得出的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】令， 由是定义在上的奇函数， 可得是定义在上的偶函数. 由对任意的，满足， 可得在上单调递增， 由，可得， 所以在上单调递减，且. 不等式，即为， 可得或即或 解得或. 故答案为：. 题型九 函数单调性、奇偶性、对称性的应用问题（共7小题） 51．（多选）（25-26高一上·云南·期末）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】先由可得C正确，再由及为偶函数可得BD正确，A错误. 【详解】对于A：因为为偶函数，所以，则， 再由，令，得，所以，故A错误； 对于C：因为，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D：由，得，所以， ，且，所以，即， 所以，所以的图象关于点对称，故D正确； 对于B：由为偶函数，得，即， 且，所以， 以代替，得——①.再以代替，得——②， 联立①②得，再以代替，得，故B正确. 故选：BCD. 52．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 53．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】D 【分析】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】因为函数为奇函数，则， 所以，，可得， 因为函数为偶函数，则， 所以，， 所以，，所以是周期函数，是它的一个周期. 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 所以，，B对； 对于C选项，因为，即， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，对任意的、，且，有， 不妨设，则，所以，函数在为增函数， 因为，， 因为，则，所以，，D错. 故选：D. 54．（多选）（24-25高一上·贵州安顺·期末）若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的一条对称轴为 D． 【答案】ACD 【分析】由函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，求出是周期为4函数，利用赋值法、周期性逐项判断可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 故，所以是图象的一条对称轴，所以， 又函数的图象关于点成中心对称， 因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数关于点成中心对称，故， 所以，故且， 所以，所以， 所以，故，所以为周期函数， 且周期为4， 对于A，由、得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以的一条对称轴为，故C正确；     对于D，因为，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是利用已知条件判断出是周期为4的函数. 55．（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 【答案】B 【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可. 【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数， 即为奇函数， 必有且，解得， 则的对称中心为，所以， 设 ， ， 故选B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数值的计算，结合对称性的定义求出函数的对称中心，然后进行转化是解决本题的关键. 56．（多选）（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．是奇函数 C．的图像关于点对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，即，所以是周期为4的周期函数，则A正确. 对于B，，又因为， 所以，所以，所以函数为奇函数， 故B 正确； 对于C，又因为，所以函数的图像关于直线对称, 故C错误; 对于D， 由的对称性与周期性可得， 则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题选项的关键是利用抽象函数的性质得到其周期性和对称性，对于D选项，利用赋值法得到相关函数值，再利用其对称性和周期性计算即可. 57．（24-25高一上·广东肇庆·期末）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 【答案】(1)直线 (2)对称中心为点，证明见解析 (3)对称中心为，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数的性质即可知道函数图象的对称轴； （2）（3）根据题目所给推广知识设出函数图像的对称中心，代入求解即可求得对称中心. 【详解】（1）函数图象的对称轴为直线. （2）函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得. 故函数图象的对称中心为点. （3）关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为. 题型十 抽象函数的性质应用问题（共6小题） 58．（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．， D．， 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可求，及，故可判断AC的正误，利用反证法可判断B的正误，利用题设中的运算关系可得，结合C中结果可判断D的正误. 【详解】令，则，故， 令，则即，故C正确； 故， 令，则， 故，故A正确， 若为偶函数，则，故， 此时，与题设矛盾，故B错误； 对于D， ， 故，故D成立， 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：抽象函数的性质的研究中，一般是利用赋值法得到一些特殊的函数值，从而得到抽象函数具有的不同的性质，注意赋值时要根据目标的结构形式来处理. 59．（多选）（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可. 【详解】对任意实数x，y均有， 令，则，解得或， 当时，取，则与已知矛盾； 当时，取，则与已知矛盾， 因此，A错误； 对于B，，取，，则， 函数为奇函数，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾， 因此，C正确； 对于D，，，由当时，，得， 因此，而， 则，即，函数在上单调递增，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 60．（多选）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD 【分析】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【详解】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 61．（多选）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（   ） A． B．函数是奇函数 C．对，有 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用特殊值判断A，当时，令得到，再结合奇偶性判断B，结合B选项及特殊值判断C，推导出，即可判断D. 【详解】对于A，因为对任意，都有， 令，得 ，A正确． 对于B，当时，令，则有， ，， 又，，为奇函数，B正确． 对于C，由B知，不恒等于，即时，C错误． 对于D，， 由知，， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是得到，D选项关键是推导出. 62．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 63．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【详解】（1），都有成立， 取，得，解得； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. （2）函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. （3） ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 题型十一 指数型复合函数的综合问题（共6小题） 64.（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 65.（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分析的单调性并将问题转化为“存在，使得不等式有解”，根据二次函数的最值可求解出结果. （2）求出函数，再借助基本不等式求出的范围，进而用表示出，由此求的范围. 【详解】（1）函数， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，由存在，不等式有解， 得存在，不等式有解，即存在，不等式有解， 而当时，，则，所以实数的取值范围为. （2）依题意，， 由，得， 而，即，当且仅当时取等号， 解得，即，又， 则，即， 因此，而，则， 于是， 所以的取值范围为. 66．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程来求得的值. （2）利用换元法，结合函数的单调性、二次函数的性质来求得的值. （3）根据复合函数的单调性、恒成立、存在性等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 即，整理得， 所以，， 所以，检验可知符合题意， 所以． （2）由（1）知，，所以． 令，因为函数在区间上单调递增，所以， 则（的最小值11就是的最小值），抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，， 解得． 当，即时，， 解得，无解． 综上所述，实数的值为． （3）由题知， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由复合函数单调性可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值． 由（2）知当时，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递减， 所以函数在时单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 67．（24-25高一上·上海·期末）已知函数. (1)当，时，解关于x的方程； (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数解析式； (3)在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值； （2）利用奇函数的性质直接求解； （3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值. 【详解】（1）当，时，． 即， 解得：或（舍去），∴； （2）若函数是定义在上的奇函数， 则，即 即恒成立， 解得：，，或， 经检验，满足函数的定义域为， ． （3）当时，函数满足， ∴，则 不等式恒成立， 即恒成立 即恒成立， 设，则，即，恒成立， 由均值不等式可得：当时，取最小值． 故，即实数m的最大值为． 68.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知为偶函数，为奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求出，，联立即可求解和； （2）（i）证明为上的奇函数，证明是上的增函数，根据增函数列出不等式即可求解； （ii）求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为①， 所以， 又因为为偶函数，为奇函数， 所以②， 由①②得：； （2）（i）， 又，故为上的奇函数， 将变形可得， ，且， 有， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 又因为，所以， 所以是上的增函数， 因此不等式等价转化为， 即， 所以，即， 所以不等式的解集为 （ii）由（i）知为上奇函数， 所以，故对任意的恒成立， 又因为为上增函数， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，故， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 函数在上单调递增， 故，所以，即. 69.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)，证明见解析 (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）类比得到，并计算证明； （2）计算得到，解方程得到，即，求出零点； （3）求出，，不等式等价于，即，分，和三种情况，得到不等式解集. 【详解】（1）由条件类比得到，证明如下： 因为， ， 所以； （2）因为， 令，则，即， 显然，解得(舍)， 于是， 整理得，或， 解得， 所以函数的零点为，； （3）因为， ， 所以原不等式可化为， 也即， 当时，，故只需，解得， 原不等式的解集为； 当时，，只需，解得， 原不等式的解集为； 当时，令可得或， 原不等式的解集为； 当时，， 原不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时， 原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型十二 对数型复合函数的综合问题（共5小题） 70.（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数是奇函数，则的值为 ；设，若存在，使在区间上的值域是，则实数的取值范围为 . 【答案】 1 【分析】利用奇函数的定义及函数单调性的定义，已知函数的值域转化为是方程的实根，然后构造函数，结合二次函数的实根分布可求． 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 所以，即，即， 所以，解得. 当时，显然不成立； 当时，，函数的定义域为，满足为奇函数. 故的值为，由此， 任取，则 因为，所以， ，故，所以. 所以函数在上的单调递增， 由存在，使在区间上的值域是，有， 所以且，即是方程的实根， 问题等价于在上有两个不同实根， 令，函数图象抛物线的对称轴，则 ，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：；. 71.（24-25高一上·江苏·期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有（为常数），则称在上具有性质.设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，都有成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解. 【详解】由得， 由题意及单调性的定义知在区间上单调递增. ①时，在区间上单调递增，符合题意； ②时，在区间上单调递增， 若在区间上单调递增，则，即对恒成立， 所以恒成立，因为，所以，则，故， 所以； ③时，对恒成立，此时， 函数由，复合而成， 在上单调递增且， 而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若在上单调递增，则，即. 综合①②③可知a的取值范围为. 故答案为： 72.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； （2）对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； （3）， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 73.（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 【答案】(1)选①，或选②， (2)选①或选②，个 (3)选①，，；选②，， 【分析】（1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值； （2）若选①或②，当时，求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）若选①，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以； 若选②，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以. （2）若选①，当时，函数. 因为在上单调递减， 且在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 又因为在定义域上单调递减， 所以函数在上单调递减. 又因为的图象连续不间断， 且，，则， 所以在区间上有唯一的零点. 若选②，（2）当时，函数. 因为在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又因为在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又因为的图象连续不间断， 且，， 所以在区间上有唯一的零点. （3）若选①，因为，若， 当且仅当，所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，解得， 所以，则，解得，； 若选②，因为，若，当且仅当， 所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，所以， 所以，所以，则， 解得，. 74.（24-25高一上·江苏南通·期末）对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 【答案】(1)不具有解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）结合所给定义计算即可得； （3）结合所给定义计算，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】（1）假设函数具有性质， 且的定义域为， 又满足存在，对任意的，都有， 所以， 又，所以满足，此方程无解， 所以数不具有性质 （2）若函数具有性质，且函数定义域为， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以，故为定值， （3）因为函数具有性质， 定义域为，所以， 所以存在，对任意的，都有， 即， 所以， 即， 所以， 令，所以或， 又，所以，所以， 即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 题型十三 指数函数与对数函数的综合问题（共3小题） 75.（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在R上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； （3）判断函数的奇偶性，化简，并转化为，令，可得，继而化为对于恒成立，利用函数单调性即可求解. 【详解】（1）由题意可知； ， 故. （2）由题意得，其定义域为R， 在R上单调递增， 证明：任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在R上单调递增； （3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数； 可化为， 即，即， 令，因为，故，则， 由于在R上单调递增，可得， 结合题意可得对于恒成立， 而，， 结合对勾函数在上单调递增，可得， 即，故. 76.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 77.（24-25高一上·江西南昌·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得. （2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得. （3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得. 【详解】（1）由是型函数，得，即， 所以. （2）由是型函数，得， 则，因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得， 所以. （3）由是型函数，得， ①当时，，而，则，满足； ②当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，于是恒成立， 而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此； ③当时，，则， 由，得， 令，则当时，， 由②知，则只需时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 题型十四 函数新定义问题（共8小题） 78.（24-25高一上·河北沧州·期末）若函数满足：对任意的，都有，且，则称为“超加性倾向函数”． (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由． (2)证明：函数是“超加性倾向函数”． (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是“超加性倾向函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据“超加性倾向函数”的定义判定即可；（2）根据“超加性倾向函数”的定义，结合函数单调性定义证明即可；（3）根据“超加性倾向函数”的定义性质，结合指数函数性质计算即可. 【详解】（1）解：当时，，则不是“超加性倾向函数”． （2）证明：因为，所以是上的增函数． 因为是上的增函数，所以是上的增函数，所以． 取任意的， 则． 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 故是“超加性倾向函数”． （3）因为是“超加性倾向函数”，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立． 因为，所以，所以对任意的恒成立，所以． 因为是“超加性倾向函数”，所以对任意的恒成立， 所以， 所以对任意的恒成立， 所以，即． 故的取值范围是． 79.（24-25高一上·江苏南京·期末）若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； （2）由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. （3）由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 80.（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. (1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； (3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)； (3)，的最大值为1. 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【详解】（1），不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2）由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； （3）当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 81.（25-26高一上·江苏·期末）若存在实数使得，则称函数为的“函数”. (1)若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求的解析式； (2)设函数，是否存在实数使得为的“函数”，且同时满足：（i）是偶函数；（ii）的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）利用为奇函数，为偶函数，可得答案； （2）假设存在实数使得为，的“函数”，可得，根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为为，的“函数”， 所以①，所以， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②，解得； （2）存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为，的“函数”， 则， (i)因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以； (ii) ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以. 综上所述，存在满足要求. 82.（24-25高一上·江苏盐城·期末）若函数满足①且不恒等于1；②对定义域内的任意三个数总有成立，则称函数为“LM”函数． (1)判断，是否是“LM”函数，并说明理由； (2)若函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； (3)函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“LM”函数定义中的任意性，找到反例，即可判断，不是“LM”函数； （2）根据指数函数的单调性，结合条件①可得，条件②可得，即可解得的取值范围； （3）根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分类讨论，结合“LM”函数的定义列不等式，求解即可. 【详解】（1）对于函数，， 取，，，则，，， 显然，所以，不是“LM”函数. （2）因为在区间上是“LM”函数， 所以由条件①知，即， 由条件②知，，即， 解得或．又因为， 所以的取值范围是. （3）①若，则函数在区间上单调递增， 所以，又， 则，又恒成立， 则当时，是“LM”函数； ②若，则函数在区间上最小值是, 所以,即，解得， 因为，所以的范围是， 综上所述，的取值范围是. 83.（24-25高一上·江苏镇江·期末）著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题： ①② (2)证明：函数在上有且仅有一个零点，且. 【答案】(1)①假命题，②真命题,证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用指数的运算性质即可证明； （2）分和讨论，当时，结合函数单调性及零点存在定理证明即可；当时，函数值恒为正，无零点，综上可得结论；利用零点得，化简可得，再结合单调性证明不等式. 【详解】（1）由题意， 对于①， . 对于②， . 故①为假命题，②为真命题. （2）函数在区间上连续不断， 当时，和在上都单调递增， 且， ， 因为， 所以 即， 故存在唯一，使得， 即函数在上有且仅有一个零点. 当时，在单调递增，且， 而，故， 所以函数在上没有零点. 综上所述，函数在上有且仅有一个零点. 因为， 所以， 所以， 因为在单调递减， 所以. 所以. 84.（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2) 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； 【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数， 使得（其中）， 即， 由， 故当时，，此时不存在使成立， 当时，，且在上单调递增， 故对于任意，都有唯一一个，使得， 综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，且； （2）由可得，故， ， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， 由时，，故，即， 故，故对任意，， ， 即对任意，都有2个实根， 当时，，且在上递增， 故时，都有唯一确定的实根， 故当时，亦有且有一个实根， 当时，，且在上单调递减，符合题意， 当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。 当时，则需对称轴，且， 即，且，即， 综上，实数的取值范围是. 85.（24-25高一上·江苏徐州·期末）设函数的定义域为，若对任意的，，，恒有，则称为—函数. (1)证明：函数是—函数； (2)判断函数，（）是否为—函数，并说明理由； (3)设函数的定义域为，且不是常函数，若存在非零常数，使得对于任意的，都有，证明：不是—函数. 【答案】(1)证明见解析 (2)是—函数，（）不是—函数，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据—函数的定义即可求解， （2）根据—函数的定义即可求解是—函数，举反例即可求解（）不是—函数， （3）根据可判定为周期函数，进而根据的大小关系分两种情况讨论，结合—函数的定义可得在上是常数函数，这与已知矛盾，即可得解. 【详解】（1）证明如下：对任意实数及，， 有 故， 函数是—函数 （2）是—函数，（）不是—函数， 理由如下： 对任意实数及， ， 由于，，故， 因此，故， 即，故是—函数， 对于（） 取，，， 则不符合，故 （）不是函数； （3）（3）假设是—函数， 由可得， 所以为周期函数，且周期， 若存在且，使得 （i）若， 记，，，则，且， 那么 ， 这与矛盾； （ii）若， 记，，，同理也可得到矛盾； ∴在上是常数函数， 这与不是常函数矛盾， 所以不是上的函数. 题型十五 三角函数图像与性质的综合应用（共7小题） 86.（多选）（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【分析】B选项，先得到，故，得到B错误；A选项，分与，结合得到的最大值为3；C选项，求出，故C正确；D选项，时，不单调，D错误. 【详解】B选项，由于为偶函数， 故， 由于， 所以的最小正周期不为，B错误； A选项，当时，， 当时，， 又， 所以函数的一个周期为，可得的最大值为3，A正确； C选项，， 故函数的图象关于直线对称，C正确； D选项，由A选项得，时，不单调，故D错误. 故选：AC 87.（多选）（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：，，得，或， 因为，所以， 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以，所以，故A正确； 对B，， 因为， ， 故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，， 由可得， 因此，函数的对称中心为，故C正确； 对D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第个根为，，故D正确． 故选：ACD. 88.（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 89.（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，），若，是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法正确的有（    ） A． B．若是的一个对称中心，则 C．若在区间内有最小值，则 D．当时，在区间上的值域为 【答案】AB 【分析】对于A选项，据题意，结合函数正弦形函数的周期性知，即得的值；对于B选项，将代入解析式，即可解得的值；对于C选项，求出范围，若在区间内有最小值，则必在该范围内，解不等式即可；对于D选项，求出范围在该范围为找出最值即可. 【详解】对于A选项，函数，若，是的不同解，且的最小值为， 所以，即，故A选项正确； 对于B选项，若是的一个对称中心，则， 故，因为， 所以只有当时，满足条件，故B选项正确； 对于C选项, 时，， 若在区间内有最小值，则， 即，解得，故C选项错误； 对于D选项, 当时，，， 而时，，所以， 又 因此在上的值域为，故D选项错误. 故选：AB. 90.（多选）（24-25高一上·江苏·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在单调递减 B．函数图象关于中心对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】由图象可得，且，故即， 而，故， 因为，故，故， 对于A，当，， 而在上为减函数，故在为减函数，故A正确. 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误. 对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数的值域为，故， 故，故D正确. 故选：ACD. 91.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的性质可判断甲乙的论述是错误的，则根据丙的说法正确，结合正切函数的对称性即可求解. 【详解】由于，故没有对称轴，因此乙的论述是错误的， 当时，，由于，故函数不能在单调递减，故甲的论述错误， 故丙的论述是正确的，即函数的图象关于对称，则，故，结合，则 故答案为： 92.（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间为，取得最大值时的集合 (3) 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【详解】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 题型十六 三角函数中的参数问题（共5小题） 93.（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 94.（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的最小值为0，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，使得，进一步关于的方程在上有解，从而即可得解. 【详解】设， 显然， 又因为函数的最小值为0， 这表明，使得， 所以， 也就是说关于的方程在上有解， 首先，其次要使得最小， 则需最小，最大，即当时，最小， 故所求最小值为. 故选：C. 95.（24-25高一上·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 96.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 97.（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】令，解得， 若函数在区间上有且仅有5条对称轴， 则函数在上由小到大的第1条对称轴为， 第2条对称轴为，第3条对称轴为， 第4条对称轴为，第5条对称轴为， 第6条对称轴为，由题意知，， 解得，故D正确. 故选：D 题型十七 三角函数中的零点问题（共9小题） 98．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 99．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点概念，变形为，作出和在区间上的图象，再证明的图象关于直线对称，运用对称性得解. 【详解】，作出和在区间上的图象如图， 可知两个图象共有4个交点，因此在区间上共有4个零点，由小到大记为． 同时，，， 可得，故的图象关于直线对称， 因此，故所有零点之和为， 故选：B． 100．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围. 【详解】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得， 解得，故的取值范围是． 故答案为： 101．（24-25高一上·天津·期末）已知函数的图像如图所示，其中 是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 = . 【答案】 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由，可知，， 由图可知是函数正半轴的第一个零点，得，解得； 若是函数正半轴的第四个零点，是函数正半轴的第五个零点， 则且，此时无解， 所以不是函数的零点，是函数正半轴的第四个零点，得， 所以，. 故答案为：. 102.（多选）（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为4 C．当时，函数在每一个闭区间上单调递增 D．在上恰有1350个零点 【答案】AC 【分析】对于A：分析可知在处取到最小值，进而可得对称轴；对于B：可知，且在同一递减区间内，解得，即可得最小正周期；对于C：由选项B可知：，进而可求单调递增区间；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，且在上有最小值，无最大值， 可知在处取到最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：因为，且在同一递减区间内， 可得，两式相减可得， 所以的最小正周期为，故B错误； 对于选项C：当时，由选项B可知：， 则， 令，解得， 可知函数的单调递增区间为， 显然， 所以函数在每一个闭区间上单调递增，故C正确； 对于选项D：例如， 由选项B可知：，即， 可得， 令，解得， 可知的零点为， 令，解得， 所以在上恰有1349个零点，故D错误； 故选：AC. 103.（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 104.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 【答案】18 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【详解】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18 105.（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 (1)求的解析式； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据表格中的数据，确定最值和周期，即可求解函数解析式的参数，即可求解； （2）①首先根据三角函数图象的平移和伸缩规律，确定函数的解析式，再结合函数的性质确定函数的单调区间；②将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，根据①的结果，利用换元法转化为与的交点问题，利用对称性，即可求解. 【详解】（1）由题意得， ，所以. 所以. 因为，所以，即， 因为，所以. 所以. （2）①将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 所以， 令，得， 又，所以在上的增区间为. ②令，因为，所以. 由得，即. 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以方程在上有四个不相等的实数根， 所以，且，， 所以，，所以， 所以. 106.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 题型十八 三角函数的伸缩平移变换问题（共7小题） 107.（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性求解判断. 【详解】依题意，， 对于A，，则不是函数图象的对称中心，A不是； 对于B，，则不是函数图象的对称中心，B不是； 对于C，，则不是函数图象的对称中心，C不是； 对于D，，则是函数图象的对称中心，D是. 故选：D 108.（24-25高一上·贵州铜仁·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据伸缩变换得到，再根据左加右减得到平移后的解析式. 【详解】图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 再把所得曲线向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选：A. 109.（多选）（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，则下列说法正确的是（   ） A．函数的解析式 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在上有4条对称轴 【答案】ABD 【分析】根据函数的伸缩变换可得，即可判断A；带入检验判断B；再根据正弦函数的性质判断CD. 【详解】由题意，，故A正确； 对于B，当时，， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，当时，， 因为函数在上不单调递增， 所以函数在区间上不单调递增，故C错误； 对于D，当时，， 因为函数在上有4条对称轴， 所以函数在上有4条对称轴，故D正确. 故选：ABD. 110.（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式，把函数化为正弦型函数，利用周期计算公式，和偶函数性质求得. 【详解】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 111.（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据图象上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先根据三角函数图象的伸缩变换得到，再求出在上的值域，将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． （2）由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 112.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，其中，．从下列三个条件中选择两个作为已知条件，使得函数存在且唯一确定． ①函数的图象关于点对称； ②函数的图象关于直线对称； ③函数在上的最小值为． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在上的单调性． 【答案】(1) (2)在内单调递增，在内单调递减 【分析】（1）若选①②：根据对称轴可得，但不能确定的值；若选①③：根据对称中心可得，再以为整体，结合正项函数值域求得；若选②③：根据对称轴可得，再以为整体，结合正项函数值域求得. （2）根据三角函数图象变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】（1）若选①②：因为函数的图象关于直线对称， 则，解得， 且，可知，则， 且，即函数的图象关于点对称， 但不能确定的值，不合题意； 若选①③：因为函数的图象关于点对称， 则，解得， 且，可知，则， 又因为，则，可得， 且，可得， 则，解得，所以； 若选②③：因为函数的图象关于直线对称， 则，解得， 且，可知，则， 又因为，则，可得， 且，可得， 则，解得，所以. （2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得； 再向右平移个单位长度，得到， 因为，则， 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； 综上所述：在内单调递增，在内单调递减. 113.（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 题型十九 三角函数的恒成立与有解问题（共7小题） 114.（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 115．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 116．（24-25高一上·福建莆田·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则 . 【答案】 【分析】由函数模型，通过圆的半径为，圆心距离水面，可以计算出与的值，通过每分钟转动5圈，计算出周期即可求得的值，最后通过点位置求解的值.进而求得函数解析式. 【详解】由题意知，函数模型中，由于圆的半径为，圆心距离水面，可得：，， 又，所以， 又，得：，显然，所以， 综上可得：. 故答案为： 117．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （2）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，且位于递增区间，所以可取， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 118．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 【答案】(1) (2)小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 (3)4分钟 【分析】（1）法一：设，通过最大值，最小值，列出方程求得，再由周期及具体点求解；法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由周期得到，再结合求解即可； （2）由求解即可； （3）由求解即可； 【详解】（1）方法一：设 由题意知，最大值是41米，最小值是1米， 即，解得 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，所以 又因为从摩天轮位于最低点时开始计时，即时，代入表达式得到 ，得，不妨取 所以 方法二：以摩天轮的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 因为摩天轮速转一圈要12分钟，即，即角速度 设经过分钟后，小王同学在点的位置，则 所以点的纵坐标 所以 （2）由题意知，得 因为，所以或10 所以两人之间相差8分钟，即小李大概是5:52或6:08分进入摩天轮轿厢的 （3）由题意知，即， 根据图像解得 所以小王同学处于“美景期”的时间有4分钟 119．（24-25高一上·湖南益阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 【答案】(1)点P位于平衡位置上方处，次． (2)答案见解析 (3)5 【分析】（1）根据题意代入可得，即可得点P的位置，结合周期性可知秒钟点P能往复运动次数； （2）根据五点法列表，根据表格即可得图象； （3）根据题意令，根据正弦函数求，即可得第3次照到的值. 【详解】（1）因为，此时P点的坐标为， 即点P位于平衡位置上方处； 又因为，所以每秒钟点P往复运动次． （2）取值列表如下： t 0 4 h 2 0 0 图象如图所示： （3）当点P被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标． 由，即， 则或，得或 将根从小到大排列得：，所以. 120．（24-25高一上·河南郑州·期末）位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．    (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 (3)当或25分钟时，h最大值为45米 【分析】（1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 题型二十 三角函数的应用问题（共9小题） 121.（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法，令，再分情况讨论：当时，恒成立．当时，用分离参数法即可求得结果. 【详解】令，则．依题意得：，对恒成立． 显然时，恒成立．当时，． 而在上单调递减， ∴时，即时，，∴． 故选：A． 122.（24-25高一上·宁夏银川·期末）不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】将不等式成立问题转化为，再由二次函数性质计算即可得出结果. 【详解】由不等式在上恒成立可得； 令，可得， 若，则， 由二次函数性质可得， 因此，所以. 故答案为： 123.（24-25高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； 【详解】（1）令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分， 最小值一定在区间端点处取得，所以有 ， 解得，故的取值范围是； 124.（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)若，求的值； (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围. 【详解】（1）由题意可得： 可得函数的最小正周期. （2）因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . （3）由（1）知，函数， 可得asin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则， 所以的取值范围为. 125.（24-25高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求解； （2）利用的图象与性质，直接求出的单调区间，再结合条件，即可求解； （3）根据条件，得在内恒成立，构造函数，，求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由，又，解得. （2）由（1）知， 由，，解得，， 当时，得，又，所以， 当时，得，又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和 （3）因为不等式在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，， 则，当时，， 则，， 故m的取值范围为. 126．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，结合已知即可求解的值，从而可得解析式，由的取值范围，结合正弦型函数的性质即可求解最大值； （2）根据和的取值范围可得在上先增后减，由已知恒成立可得关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）令，解得， 由已知得，解得， 所以， 当时，，因为，所以， 又在上单调递增，所以 （2） 因为，所以 又，所以， 所以在上先增后减， 所以即 所以解得，故的取值范围为 127．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)对称中心为，；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心和单调递增区间； （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，，则，. 所以的对称中心为，. 令，即， 所以函数的单调递增区间为. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 128．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知函数，． (1)求函数的值域； (2)若对任意的恒成立，求的最大值； (3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）需要根据正弦函数的性质计算即可求得值域； （2）令,即将问题转化为对任意的恒成立,通过变形可得，计算即可求得结果; （3）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解. 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，即函数的值域为. （2）令，∵，∴， ，对任意的恒成立, 即为对任意的恒成立, 由化简可得：， ∵，当且仅当时，即时，取等号. ∴，则，即的最大值为. （3）∵任取， ∴， 即在上的值域， 设的值域为，若任取，总存在，使成立，则， 令，则， ，即为,开口向下，对称轴为， 当时，即时，在上单调递减， 由可得：，解得：. 当时，即时，在上单调递增， 由可得：，解得：. 当时，即时，在时，取得最大值,不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 129.（24-25高一上·广东揭阳·期末）已知函数（）的最小正周期为， (1)求的值及的单调增区间； (2)，若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值； (3)当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)，增区间为 (2) (3) 【分析】（1）应用正弦函数周期公式求出，再结合正弦函数单调性求解； （2）根据诱导公式化简得，根据角终边的对称性得，进而，变换，计算可得. （3）由题意，利用正弦函数的性质求出，解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数（）的最小正周期为， 所以，所以； 由得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以， 即，所以，所以， 又角的终边与角的终边关于轴对称，则， 所以， 故. （3）因为，所以，所以， 所以，即，由题意， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 题型二十一 与函数零点有关的的等高线问题（共6小题） 130.（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果. 【详解】作出函数与的图象如下图所示：    由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 131.（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】作出函数图象，得到零点范围，在逐个分析选项即可. 【详解】将问题化为与在上有两个交点，且横坐标分别为，， 由在上递减，且值域为； 由，且时， 在上递减，对应值域为； 在上递增，对应值域为； 综上，与交点在两侧， 即原函数的两个零点分别在区间、上各一个， 故恒成立，故A正确， 不妨设，则， 故解得，故B正确，C错误， 令，由指数函数单调性得在上单调递增， 若证，则证，，显然D正确， 故选：ABD 132.（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数，若有四个不同的零点且.则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据条件，将问题转化成与有四个不同交点，结合图形，即可判断选项A的正误；选项B，利用二次函数的性质得，再结合图形，即可求解；选项C，由题知，再利用选项A即可求解；选项D，根据条件得，再利用基本不等式，可得，即可求解. 【详解】对于选项A，令，得到，令， 因为的图象可由的图象向下平移个单位，再把轴下方的图象关于轴翻折上去得到， 所以的图象如图所示， 由图知有四个不同的零点， 即与的四个交点， 由图知，所以选项A正确， 对于选项B，当时，，对称轴为，所以， 由图易知，所以，故选项B正确， 对于选项C，因为是的两根，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，得到，得到， 所以，当且仅当，即时取等号，又，所以，故选项D错误， 故选：D. 133.（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有四个不同的实数根，转化为函数，有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当趋近于0时趋近于，当趋近于时趋近于，如图所示： 由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 则，设为方程的两根，即的两根， 则，因此， 由，得，即，则， 所以． 故选：A 134.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若存在实数．满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，结合图象可知之间的关系，将转化为关于的二次函数求范围即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为，， 当时，的图象关于直线对称， 所以， 当时，， 令，得， 所以当时，的图象关于直线对称， 所以，即， 由图可知， 所以， 在上单调递减，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 135.（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决. 【详解】画出函数的图象如图所示： 要使得方程有4个不同的实数根， 只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点， 结合图象可知：. 因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 而是的两根，即， 因为，满足所以， ， 令，因为，则在单调递增， 所以，故. 故答案为：；. 题型二十二 嵌套函数的零点问题（共6小题） 136.（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【详解】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象，      令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 137.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【详解】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D 138.（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出或，再就不同的情况分类求解即得参数的取值范围. 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 139.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得出，令，设函数的两个零点分别为、，分三种情况讨论：（i），；（ii），；（iii），.前两种情况直接求出的值，检验即可，在第三种情况中，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，， 设，则，令， 设函数的两个零点分别为、， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象交点个数为、、、， 因为关于的方程只有个不相等的实数根，分以下几种情况讨论： （i），，则，可得， 则关于的方程为，解得，，不合乎题意； （ii），，则，解得， 由韦达定理可得，解得，不合乎题意； （iii），，由二次函数的零点分布可得， 解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 140.（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【详解】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 141.（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，作出函数的图象，则化为，从而关于的方程的两根分别位于和上，进而可得出答案. 【详解】令，则， 如图，作出函数的图象，    由， 得，且，则， 故， 即， 因为关于的方程有三个不同的实数解， 所以关于的方程的两根分别位于和上， 令， 当，即或时， 若，则，解得，不符题意， 若，则，解得或，不符题意， 所以， 则，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 1.已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性，先确定在上单调递增，因，故可得. 【详解】设，则在上单调递增， 可化为， 由对勾函数的性质可知： 当时，单调递减，当时，单调递增， 由得， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 又，， 因为在上单调递增，故， 因，（因为）， 又，则，即， 故，故， 故选：B. 2.函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．取值范围为 【答案】C 【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图象，结合图象对选项逐一分析即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 易得在上单调递减，且， 当时，，则， 易得在上单调递增，且，即， 当时，， 则由正弦函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 且，，，，， 从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示， 因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点， 所以，故A错误； 对于B，结合选项A中分析可得， 所以，则，故B错误； 对于C，由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称， 所以，故C正确； 对于D，当时，， 令，得，所以，， 又由图像可知同增同减，所以，故D错误. 故选：C． 3.已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 4.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当，是增函数，由函数零点存在定理得零点；当时，得且，进而可知零点为，进而可得实数的取值范围. 【详解】当时，是增函数， 又因为，由函数零点存在定理知，存在，使得. 当时，由得，解得且. 综上，要使函数在区间上有且仅有4个零点，则零点为， 所以，得. 故选：B 5.设为实数，若实数是关于的方程的解，则 . 【答案】/ 【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案. 【详解】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故， 故答案为： 6.已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：， 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称， 所以，即的周期为4， 作出函数在上的图象， 根据对称性及周期为4，可得出在上的图象： 令， 若在区间内关于的方程至少有2个不同的实数根， 至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点， 至多有3个不同的交点， 所以，即，解得. 故答案为： 7.已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数单调递增区间为，. (2)① ② 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. （2）①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 8.若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． (2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据定义，求出是否为幂函数即可得； （2）①结合“积幂函数”，计算即可得，再令，可得，再构造函数，结合零点的存在性定义及其单调性即可得证；②由题意计算可得，结合复合函数单调性，可得在上的单调性，再结合零点与方程的根的关系即可得解. 【详解】（1）对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2）①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 9.已知函数，其中. (1)若函数的定义域为，求的值； (2)记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围； (3)当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据对数型复合函数定义域的求法进行求解； （2）令，则，根据对称轴与定义域的关系分类讨论求解； （3）根据函数的单调性和零点存在性定理证明；，根据对勾函数的单调性求最值. 【详解】（1）， 因为函数的定义域为， 所以不等式的解集为， 所以1，2是方程的两个不等实数根， 所以，即； （2）由题意知，， 令，则， ①当，即时，， 由，得，又，所以. ②当，即时，， 由，得，又，所以. ③当，即时，， 由，得， 又，所以. ④当，即时，， 由，得，又，所以. 综上所述： （3）当时，， 所以， 当时，易知单调递增， 又. 由零点存在性定理知函数在上有唯一零点，且， 当时，，所以恒成立， 故在上无零点. 当时，，所以恒成立， 故在上无零点. 综上所述，在上存在唯一的零点，且 因为 又为的零点，所以， 故， 因为，且，所以. 令，则， 显然，在上单调递减， 所以. $专题08 期末真题百练通关（141题22大压轴题型） 题型1 集合间的关系与运算问题 题型12 对数型复合函数的综合问题 题型2 与集合有关的新定义问题 题型13 指数函数与对数函数的综合问题 题型3 不等式中的min与max问题 题型14 函数新定义问题 题型4 基本不等式的综合应用问题 题型15 三角函数图像与性质的综合应用 题型5 基本不等式中的有解与恒成立问题 题型16 三角函数中的参数问题 题型6 一元二次不等式的整数解问题 题型17 三角函数中的零点问题 题型7 指数与对数的综合运算问题 题型18 三角函数的伸缩平移变换问题 题型8 函数单调性、奇偶性解不等式问题 题型19 三角函数的恒成立与有解问题 题型9 函数单调性、奇偶性、对称性的应用问题 题型20 三角函数的应用问题 题型10 抽象函数的性质应用问题 题型21 与函数零点有关的的等高线问题 题型11 指数型复合函数的综合问题 题型22 嵌套函数的零点问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 集合间的关系与运算问题（共5小题） 1．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25高一上·广东佛山·期末）2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示： 参与情况 参与人数 参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演 60 参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动 89 参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动 50 至少参与了其中的一个活动 105 则下列说法正确的是（    ） A．三项活动都没有参与的人数为15 B．三项活动都参与的人数最多为47 C．恰好参与一个活动的人数最少为21 D．恰好参与两个活动的人数最多为94 4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 5．（24-25高一上·上海金山·期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 题型二 与集合有关的新定义问题（共6小题） 6．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（    ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 7．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（25-26高一上·甘肃·期末）设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”.则下列说法正确的是（ ） A．集合是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 D．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 9．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 10．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知集合具有性质对任意、，与至少有一个属于集合． (1)判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)已知具有性质，当时，求集合； (3)已知具有性质，求证：． 11．（24-25高一上·北京西城·期末）给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． (1)当时，写出一组和； (2)是否存在集合与正整数，使？说明理由； (3)当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 题型三 不等式中的min与max问题（共4小题） 12．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为 ． 14．（23-24高一上·广东梅州·期末）若，则的最大值是 .（注：表示中的较小值） 15．（2025·辽宁·模拟预测）设表示数集中最小的数，若，则的最大值为 . 题型四 基本不等式的综合应用问题（共7小题） 16．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 18．（24-25高一上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 19．（24-25高一上·江苏南通·期末）若正实数x，y满足，则的最小值 ． 20．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 21．（23-24高一上·山东菏泽·期末）若、、、均为正实数，则的最小值为 . 22．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 题型五 基本不等式中的有解与恒成立问题（共7小题） 23．（24-25高一上·河南郑州·期末）设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，对于恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D． 或 26．（24-25高一上·河北保定·期末）已知.若恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·全国·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 28．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 29．（24-25高一上·陕西西安·期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 题型六 一元二次不等式的有解与恒成立问题（共7小题） 30．（24-25高一上·天津·期末）关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·广东惠州·期末）函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 33．（24-25高一上·山东济宁·期末）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 34．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期末）已知不等式，下列说法正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数的取值集合为 D．若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 35．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知不等式的解集为若在区间内有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 . 36．（24-25高一上·湖北·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 题型七 指数与对数的综合运算问题（共5小题） 37．（24-25高一上·河南·期末）已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·广东·期末）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，会无限趋近于e（e=2.71828…是自然对数的底数），根据以上知识判断，当n越来越大时，会无限趋近于（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 41．（24-25高一上·北京密云·期末）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．若每天学习的“进步率”都是1%，记一年后学习的“进步值”为，每天学习的“退步率”都是1%，记一年后学习的“退步值”为，则一年后学习的“进步值”约为学习的“退步值”的1481倍．若学习的“进步值”是学习的“退步值”的4倍，则至少需要经过的天数约为（   ） 参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg2≈0.3010． A．50 B．60 C．70 D．80 题型八 函数单调性、奇偶性解不等式问题（共94小题） 42．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义域为（且）的函数图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 44．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的，当时，都有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 50．（24-25高一上·甘肃·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足，若，则不等式的解集为 . 题型九 函数单调性、奇偶性、对称性的应用问题（共7小题） 51．（多选）（25-26高一上·云南·期末）已知函数，的定义域均为，为偶函数，，，，则（ ） A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于点对称 52．（25-26高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 54．（多选）（24-25高一上·贵州安顺·期末）若函数的定义域为，且函数为偶函数，函数的图象关于点成中心对称，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的一条对称轴为 D． 55．（24-25高一上·江苏常州·期末）我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（    ） A．8096 B．4048 C．2024 D．1012 56．（多选）（24-25高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，且，，若，则（    ） A．是周期为4的周期函数 B．是奇函数 C．的图像关于点对称 D． 57．（24-25高一上·广东肇庆·期末）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． (1)求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； (2)求函数图象的对称中心，并给出证明； (3)在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 题型十 抽象函数的性质应用问题（共6小题） 58．（多选）（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，，则（    ） A． B．函数是偶函数 C．， D．， 59．（多选）（24-25高一上·江苏·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（   ） A． B．为奇函数 C． D．在上单调递增 60．（多选）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 61．（多选）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（   ） A． B．函数是奇函数 C．对，有 D．若，则 62．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 63．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 题型十一 指数型复合函数的综合问题（共6小题） 64.（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 65.（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 66．（24-25高一上·山西·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为11，求实数的值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 67．（24-25高一上·上海·期末）已知函数. (1)当，时，解关于x的方程； (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数解析式； (3)在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 68.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知为偶函数，为奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)令. （i）解不等式； （ii）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 69.（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式：. 题型十二 对数型复合函数的综合问题（共5小题） 70.（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数是奇函数，则的值为 ；设，若存在，使在区间上的值域是，则实数的取值范围为 . 71.（24-25高一上·江苏·期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有（为常数），则称在上具有性质.设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，都有成立，则的取值范围为 . 72.（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 73.（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 74.（24-25高一上·江苏南通·期末）对于定义域为A的函数，如果存在，对任意的，都有，那么称函数具有性质. (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，求证：为定值； (3)若函数具有性质，求的最小值. 题型十三 指数函数与对数函数的综合问题（共3小题） 75.（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 76.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 77.（24-25高一上·江西南昌·期末）若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数. (1)若函数是型函数，求的值； (2)若函数是型函数，求和的值； (3)已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围. 题型十四 函数新定义问题（共8小题） 78.（24-25高一上·河北沧州·期末）若函数满足：对任意的，都有，且，则称为“超加性倾向函数”． (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由． (2)证明：函数是“超加性倾向函数”． (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的取值范围． 79.（24-25高一上·江苏南京·期末）若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 80.（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. (1)判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； (2)若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； (3)已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 81.（25-26高一上·江苏·期末）若存在实数使得，则称函数为的“函数”. (1)若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求的解析式； (2)设函数，是否存在实数使得为的“函数”，且同时满足：（i）是偶函数；（ii）的值域为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 82.（24-25高一上·江苏盐城·期末）若函数满足①且不恒等于1；②对定义域内的任意三个数总有成立，则称函数为“LM”函数． (1)判断，是否是“LM”函数，并说明理由； (2)若函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； (3)函数在区间上是“LM”函数，求的取值范围； 83.（24-25高一上·江苏镇江·期末）著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. (1)下列两个命题中至少有一个为真命题，并证明其中的一个真命题： ①② (2)证明：函数在上有且仅有一个零点，且. 84.（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 85.（24-25高一上·江苏徐州·期末）设函数的定义域为，若对任意的，，，恒有，则称为—函数. (1)证明：函数是—函数； (2)判断函数，（）是否为—函数，并说明理由； (3)设函数的定义域为，且不是常函数，若存在非零常数，使得对于任意的，都有，证明：不是—函数. 题型十五 三角函数图像与性质的综合应用（共7小题） 86.（多选）（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数，则（    ） A．函数的最大值为3 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 87.（多选）（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 88.（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 89.（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，），若，是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法正确的有（    ） A． B．若是的一个对称中心，则 C．若在区间内有最小值，则 D．当时，在区间上的值域为 90.（多选）（24-25高一上·江苏·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在单调递减 B．函数图象关于中心对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 91.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数.甲：当时，函数单调递减；乙：函数的图象关于直线对称；丙：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙三人对函数的论述中有且只有一人正确，则 . 92.（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 题型十六 三角函数中的参数问题（共5小题） 93.（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 94.（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的最小值为0，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 95.（24-25高一上·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 96.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 97.（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十七 三角函数中的零点问题（共9小题） 98．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 99．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数在区间上所有零点之和为（   ）． A． B． C． D． 100．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 101．（24-25高一上·天津·期末）已知函数的图像如图所示，其中 是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 = . 102.（多选）（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数满足，且在上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．的最小正周期为4 C．当时，函数在每一个闭区间上单调递增 D．在上恰有1350个零点 103.（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 104.（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则 . 105.（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 (1)求的解析式； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 106.（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 题型十八 三角函数的伸缩平移变换问题（共7小题） 107.（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 108.（24-25高一上·贵州铜仁·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 109.（多选）（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，则下列说法正确的是（   ） A．函数的解析式 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在上有4条对称轴 110.（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 111.（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 112.（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，其中，．从下列三个条件中选择两个作为已知条件，使得函数存在且唯一确定． ①函数的图象关于点对称； ②函数的图象关于直线对称； ③函数在上的最小值为． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在上的单调性． 113.（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 题型十九 三角函数的恒成立与有解问题（共7小题） 114.（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 115．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 116．（24-25高一上·福建莆田·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则 . 117．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 118．（24-25高一上·江苏盐城·期末）盐城卡迪乐园位于盐城市经济开发区内，是苏北地区较大型主题游乐园之一，放假期间同学小王来此游玩打卡．游乐园内竖立着一摩天轮，半径为20米，购票后可以乘坐一圈，每逆时针匀速旋转一圈要12分钟，摩天轮的最低点与地面相距1米，供游客上下摩天轮轿厢，若从小王进入的摩天轮轿厢开始计时，在运行过程中，轿厢与其中的游客看作是摩天圆环上一个点 (1)求出小王同学距离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：分钟）的函数． (2)当小王同学距离地面高度为11米时候，突然发现小李同学也在摩天轮另一个轿厢里，此时正和他处于同一高度，小王同学记得自己是下午6:00进入摩天轮轿厢的，按此推算，小李大概是什么时候进入摩天轮轿厢的？ (3)当游客距离地面高度达到31米及以上时，可以俯看到卡迪乐园的全景，这段时间称为“美景期”，求摩天轮在旋转一周的过程中，小王同学处于“美景期”的时间有多长？ 119．（24-25高一上·湖南益阳·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． (1)点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? (2)在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 120．（24-25高一上·河南郑州·期末）位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．    (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 题型二十 三角函数的应用问题（共9小题） 121.（24-25高一上·湖南邵阳·期末）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 122.（24-25高一上·宁夏银川·期末）不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是 123.（24-25高一上·甘肃·期末）设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 124.（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的解析式和最小正周期； (2)若，求的值； (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 125.（24-25高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 126．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 127．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心和单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 128．（24-25高一上·北京大兴·期末）已知函数，． (1)求函数的值域； (2)若对任意的恒成立，求的最大值； (3)若任取，总存在，使成立，求的取值范围． 129.（24-25高一上·广东揭阳·期末）已知函数（）的最小正周期为， (1)求的值及的单调增区间； (2)，若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值； (3)当时，恒成立，求m的取值范围. 题型二十一 与函数零点有关的的等高线问题（共6小题） 130.（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 131.（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，为函数的两个零点，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 132.（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数，若有四个不同的零点且.则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 133.（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 134.（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若存在实数．满足，且，则的取值范围是 ． 135.（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 . 题型二十二 嵌套函数的零点问题（共6小题） 136.（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 137.（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 138.（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 139.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 140.（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 141.（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1.已知函数，若，，，则（ ） A． B． C． D． 2.函数，若方程有四个不等的实根，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．取值范围为 3.已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.设为实数，若实数是关于的方程的解，则 . 6.已知是定义在R上的偶函数，且对，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是 7.已知函数的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调递增区间； (2)已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 8.若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． (2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 9.已知函数，其中. (1)若函数的定义域为，求的值； (2)记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围； (3)当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且. $