第17讲 平行线（知识点+题型+强化训练）2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦平行线核心知识点，系统梳理定义（三要素）、画法（四步骤）、基本事实（过直线外一点有且只有一条），同位角、内错角、同旁内角的识别（F、Z、U形特征），判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）与性质（两直线平行得角关系），并通过表格对比判定与性质的区别，构建完整知识支架。 该资料以几何直观呈现角的位置关系（如F形同位角），强化推理能力（判定与性质逻辑对比），题型分层设计（15类从基础到综合证明），融入木工、光线折射等生活实例。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，培养用数学眼光观察、用数学思维推理的核心素养。

第17讲 平行线（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.平行线的定义 2.平行线的画法 3.平行线基本事实 4.同位角、内错角、同旁内角 5.平行线的判定 6.平行线的性质定理1 7.平行线的性质定理2 8.平行线的判定及性质的区别 题型巩固 一、平面内两直线的位置关系 二、用直尺、三角板画平行线 三、平行公理的应用 四、平行公理推论的应用 五、同位角、内错角、同旁内角 六、同位角相等两直线平行 七、内错角相等两直线平行 八、同旁内角互补两直线平行 九、两直线平行同位角相等 十、两直线平行内错角相等 十一、两直线平行同旁内角互补 十二、根据平行线的性质探究角的关系 十三、根据平行线的性质求角的度数 十四、根据平行线判定与性质求角度 十五、根据平行线判定与性质证明 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.平行线的定义 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 特别提醒：平行线的三要素： (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线. 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图6.4-1，AB，CD两条直线互相平行，记作“AB∥CD(a∥b)”或“CD∥AB (b∥a)”，读作“AB平行于CD(a平行于b)”或“ CD平行于AB(b平行于a)”. 知识点2.平行线的画法 1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一放：把三角板的一边放在已知直线上； 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺； 三推：把三角板沿着直尺推动使其经过已知点； 四画：沿三角板的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 示意图(如图6.4-3) 知识点3.平行线基本事实 1. 平行线基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 如图6.4-7，经过直线l外一点A画直线l的平行线，能且只能画出一条. 特别提醒：平行线基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线. 知识点4.同位角、内错角、同旁内角 1. 概念 如图6.4-9，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角. 具有∠1和∠2这种位置关系 的一对角叫作同位角. 在图6.4-9中，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角. 如图6.4-9，具有∠4和∠5这种位置关系的一对角叫作内错角，具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 在图6.4-9中，∠2和∠7是内错角，∠4和∠7是同旁内角. 2. 特别提醒 (1)同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下表： 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方向 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) (2)两条直线被第三条直线所截，得到八个角(简称“三线八角”)，在“三线八角” 中有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角. 知识点5.平行线的判定 1. 平行线的判定方法 判定条件 示例 符号语言 联系 方 法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 如果∠1＋∠2＝180°，那么a∥b 联系 从平行线基本事实2(方法1) 出发，通过说理得到平行线的判定定理(方法2，3) 2. 判定两条直线平行时的注意事项 (1)构成同位角(或内错角或同旁内角)的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，这两条直线才平行. (2)除了可以利用两直线平行的三个判定方法来判定平行线，还可以利用平行线的定义、平行线的传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 来判定. 知识点6.平行线的性质定理1 1. 两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 2. 几何语言：如图6.4-13， 如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 知识点7.平行线的性质定理2 1. 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言：如图6.4-15，如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等）. 2. 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言：如图6.4-16， 如果a∥b(已知)，那么∠1＋∠2＝180 °(两直线平行，同旁内角互补). 知识点8.平行线的判定及性质的区别 名称 条件 结论 区别 判定 同位角相等 两直线平行 角的数量关系 ↓ 直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 直线的位置关系 ↓ 角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 题型巩固 题型一、平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 3．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 题型二、用直尺、三角板画平行线 4．（21-22七年级上·江苏常州·期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    6．（25-26七年级上·江苏南京·期中）用两种不同的方法将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形．(要求：只需画出示意图，并在所画的图中标出必要的数据) 题型三、平行公理的应用 7．如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 9．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 题型四、平行公理推论的应用 10．是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 12．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 题型五、同位角、内错角、同旁内角 13．与是内错角，，则（　　） A． B． C．或 D．的大小不确定 14．如图，与是同位角的是 ，与是内错角的是 ． 15．（23-24七年级·江苏宿迁·期中）如图①，直线、被直线所截，和在直线的同一侧，且都不在直线、之间，具有这种位置关系的两个角叫作同旁外角．如图②，、是直线上的两点，以、为端点作射线、． (1)写出图②中的同旁外角； (2)当时，第（1）小题中的同旁外角满足什么样的数量关系？请说明理由． 题型六、同位角相等两直线平行 16．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 17．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，木工师傅用角尺在工件上画出两条平行线段，．请你给出能够使这两条线段，平行的数学原理 ． 18．已知：如图，直线与被所截，，求证：． 题型七、内错角相等两直线平行 19．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级·江苏扬州·月考）如图，请你添加一个条件，使，（只需填上你认为正确的一个条件），你添加的条件是    21．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）如图，与互为余角，，，垂足为，试说明． 题型八、同旁内角互补两直线平行 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 题型九、两直线平行同位角相等 25．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为 ． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，．求证：．    题型十、两直线平行内错角相等 28．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 29．（2023七年级·江苏·专题练习）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ． 30．如图，．试判断与是否平行，并说明理由． 题型十一、两直线平行同旁内角互补 31．（22-23七年级·江苏淮安·月考）如图，一条“U”型水管中，若，则应该等于（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 33．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 题型十二、根据平行线的性质探究角的关系 34．（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 35．（23-24七年级·江苏盐城·期中）若两个角的两边分别平行，那这两个角 ． 36．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 题型十三、根据平行线的性质求角的度数 37．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为 ． 39．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线从空气中射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底C处，射线是光线的延长线，已知，．求的大小． 题型十四、根据平行线判定与性质求角度 40．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，则在下列判断中，正确的是（   ）        A． B． C． D．的度数无法确定 41．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 42．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，，点E在之间．写出之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第（1）题的探究后，又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A 处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜l垂直，即，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，……其传播路径为⋯⋯请判断与的数量关系，并说明理由． 题型十五、根据平行线判定与性质证明 43．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 44．（22-23七年级·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．    45．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，和的平分线交于点P，延长交于点Q，且． (1)试说明； (2)探究与的数量关系． 强化训练 一、单选题 1．如图，与是（　　）形成的内错角． A．直线、被直线所截 B．直线、被直线所截 C．直线、被直线所截 D．直线、被直线所截 2．如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（    ） A．图1的原理是同位角相等，两直线平行 B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C．图2的原理是两直线平行，内错角相等 D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 3．如图，下列选项中正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 4．如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人一起研究一道数学题，如图，已知，甲说：“若还知道，则能得到．”乙说：“若还知道，则能得到”则下列说法正确的（    ） A．甲乙两人说法都不正确 B．甲乙两人说法都正确 C．甲说法正确，乙说法不正确 D．乙说法正确，甲说法不正确 6．如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 8．如图，，设，．下列说法中，正确的是（        ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则； 9．如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则；其中正确的有（    ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定的条件 .    12．a，b，c是直线，且，则，理由是 13．如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 14．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 15．如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示） 16．已知：如图，，则∠4的度数是 ． 17．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则 ，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为 ． 三、解答题 18．如图平分，，．求的度数． 19．如图所示，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由． 20．如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明ABDC的理由． 21．如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 22．如图，请你用直尺和三角尺按下列要求作图（不写作法）． (1)在图①中，过点C作的垂线； (2)在图②中，过点作直线． 23．如图，已知AB//CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　 　． （2）当△PMN所放位置如图②所示时，请猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明． （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝15°，求∠N的度数． 24．【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC． (1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由； (2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由， (3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 平行线（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.平行线的定义 2.平行线的画法 3.平行线基本事实 4.同位角、内错角、同旁内角 5.平行线的判定 6.平行线的性质定理1 7.平行线的性质定理2 8.平行线的判定及性质的区别 题型巩固 一、平面内两直线的位置关系 二、用直尺、三角板画平行线 三、平行公理的应用 四、平行公理推论的应用 五、同位角、内错角、同旁内角 六、同位角相等两直线平行 七、内错角相等两直线平行 八、同旁内角互补两直线平行 九、两直线平行同位角相等 十、两直线平行内错角相等 十一、两直线平行同旁内角互补 十二、根据平行线的性质探究角的关系 十三、根据平行线的性质求角的度数 十四、根据平行线判定与性质求角度 十五、根据平行线判定与性质证明 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.平行线的定义 1. 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线. 特别提醒：平行线的三要素： (1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线. 2. 表示方法 用“∥”表示平行，如图6.4-1，AB，CD两条直线互相平行，记作“AB∥CD(a∥b)”或“CD∥AB (b∥a)”，读作“AB平行于CD(a平行于b)”或“ CD平行于AB(b平行于a)”. 知识点2.平行线的画法 1. 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一放：把三角板的一边放在已知直线上； 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺； 三推：把三角板沿着直尺推动使其经过已知点； 四画：沿三角板的一边画直线. 此直线即为已知直线的平行线. 2. 示意图(如图6.4-3) 知识点3.平行线基本事实 1. 平行线基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 如图6.4-7，经过直线l外一点A画直线l的平行线，能且只能画出一条. 特别提醒：平行线基本事实的前提是经过直线外一点，若点在直线上，则不可能有平行线. 知识点4.同位角、内错角、同旁内角 1. 概念 如图6.4-9，两条直线a，b被第三条直线c所截，形成八个角. 具有∠1和∠2这种位置关系 的一对角叫作同位角. 在图6.4-9中，∠3和∠4，∠5和∠6，∠7和∠8分别是同位角. 如图6.4-9，具有∠4和∠5这种位置关系的一对角叫作内错角，具有∠2和∠5这种位置关系的一对角叫作同旁内角. 在图6.4-9中，∠2和∠7是内错角，∠4和∠7是同旁内角. 2. 特别提醒 (1)同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，具体特征如下表： 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截直线同一方向 形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，在两条被截直线之间 形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，在两条被截直线之间 形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) (2)两条直线被第三条直线所截，得到八个角(简称“三线八角”)，在“三线八角” 中有4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角. 知识点5.平行线的判定 1. 平行线的判定方法 判定条件 示例 符号语言 联系 方 法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行 如果∠1＝∠2， 那么a∥b 方 法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 如果∠1＋∠2＝180°，那么a∥b 联系 从平行线基本事实2(方法1) 出发，通过说理得到平行线的判定定理(方法2，3) 2. 判定两条直线平行时的注意事项 (1)构成同位角(或内错角或同旁内角)的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，这两条直线才平行. (2)除了可以利用两直线平行的三个判定方法来判定平行线，还可以利用平行线的定义、平行线的传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) 来判定. 知识点6.平行线的性质定理1 1. 两直线平行，同位角相等 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 2. 几何语言：如图6.4-13， 如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等). 知识点7.平行线的性质定理2 1. 两直线平行，内错角相等 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言：如图6.4-15，如果a∥b(已知)，那么∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等）. 2. 两直线平行，同旁内角互补 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言：如图6.4-16， 如果a∥b(已知)，那么∠1＋∠2＝180 °(两直线平行，同旁内角互补). 知识点8.平行线的判定及性质的区别 名称 条件 结论 区别 判定 同位角相等 两直线平行 角的数量关系 ↓ 直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 直线的位置关系 ↓ 角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 题型巩固 题型一、平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（   ） A．相交或垂直 B．平行或相交 C．垂直或平行 D．平行或相交或垂直 【答案】B 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平行线和相交线，同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，可得答案，解题关键要明确在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行和相交， 故选：B． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ． 【答案】平行或相交 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故答案为：平行或相交． 3．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）CF；（3）3 【知识点】画垂线、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系 【分析】（1）根据网格的特点即可作图，画出直线CD，CE，标出F点的位置； （2）根据点到直线的距离的定义即可判断； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】(1) 如图，直线CD，CE为所求，F点为所求； (2)由图可知，线段CF的长度是点C到AB的距离； 故答案为：CF； (3)△ABC的面积为3． 【点睛】此题主要考查直线、线段、垂线的作图，解题的关键是熟知垂线的定义． 题型二、用直尺、三角板画平行线 4．（21-22七年级上·江苏常州·期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解． 【详解】解：如图， 根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键． 5．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 6．（25-26七年级上·江苏南京·期中）用两种不同的方法将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形．(要求：只需画出示意图，并在所画的图中标出必要的数据) 【答案】见详解 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了正方形的图形分割，作平行性等知识，根据正方形的边长为6，得到正方形面积为36，割成3个面积相等的图形可得每个图形的面积为12．方法一：把正方形的对边分为长为2的三条线段，作三个长方形即可；方法二：在正方形左右两侧各作一个直角边分别是4和6的直角三角形，问题得解﹒ 【详解】解：将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形，分法如图所示： 题型三、平行公理的应用 7．如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． 根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条， 图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条． 故选：C． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 9．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【知识点】平行公理的应用、画垂线、作线段(尺规作图) 【分析】（1）根据网格作图即可； （2）根据网格作图即可； （3）根据网格作图即可. 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图见（1） （3）如图： 故符合题意的点F有6个. 故答案为：6 【点睛】本题考查了直线、射线、线段及平行公理的应用，解题的关键是准确作出图形. 题型四、平行公理推论的应用 10．是直线，下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理以及平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，若，则，原说法错误，不符合题意； D、若，则，正确，符合题意． 故选：D 11．如图，在直线 的同侧有 ，， 三点，若，，那么 ，， 三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理由是 ． 【答案】 是 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到P，Q，R三点在同一条直线上． 【详解】解：∵，， ∴P，Q，R三点在同一条直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：是；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． 12．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析 (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析 【知识点】垂线段最短、平行公理推论的应用 【分析】（1）先画垂线段，由点到直线的距离，垂线段最短，即可求解； （2）先画平行线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图： ， 理由是：点到直线的距离，垂线段最短； （2）过点P作直线，， 理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查了作垂线，平行线，点到直线的距离，平行公里的推论，正确掌握基本作图方法是解题关键． 题型五、同位角、内错角、同旁内角 13．与是内错角，，则（　　） A． B． C．或 D．的大小不确定 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】两直线平行时内错角相等，不平行时无法确定内错角的大小关系，由此可解． 【详解】解：内错角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，内错角才相等． 因此与是内错角，，的大小不确定， 故选D． 【点睛】本题主要考查内错角，解题的关键是掌握内错角相等的前提条件是两直线平行． 14．如图，与是同位角的是 ，与是内错角的是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角与内错角的定义分析即可求解．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角 【详解】解：与是同位角的是，与是内错角的是 故答案为：，． 【点睛】本题考查了同位角与内错角，熟练掌握同位角与内错角的定义是解题的关键． 15．（23-24七年级·江苏宿迁·期中）如图①，直线、被直线所截，和在直线的同一侧，且都不在直线、之间，具有这种位置关系的两个角叫作同旁外角．如图②，、是直线上的两点，以、为端点作射线、． (1)写出图②中的同旁外角； (2)当时，第（1）小题中的同旁外角满足什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，利用见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查平行线的性质： （1）根据给出的同旁外角的定义，进行作答即可； （2）根据平行线的性质和平角的定义，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得：图②中的同旁外角为和； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴． 题型六、同位角相等两直线平行 16．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，我们经常这样过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是结合图形准确分析平行线的判定方法．根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行的方法作已知直线的平行线． 【详解】解：如图， 由作图可得， 根据同位角相等，两直线平行得到所作的为已知直线的平行线． 故选：A 17．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，木工师傅用角尺在工件上画出两条平行线段，．请你给出能够使这两条线段，平行的数学原理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据同位角相等，两直线平行求解即可． 【详解】解：由题意可得，这两条垂线平行的理由是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 18．已知：如图，直线与被所截，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可． 【详解】证明：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型七、内错角相等两直线平行 19．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ． 故选：D 20．（22-23七年级·江苏扬州·月考）如图，请你添加一个条件，使，（只需填上你认为正确的一个条件），你添加的条件是    【答案】 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】利用平行线的判定即可求解． 【详解】解：由题意可得：当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 21．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）如图，与互为余角，，，垂足为，试说明． 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、求一个角的余角 【分析】本题主要考查了余角的定义、垂直的定义、平行线的判定等知识点，掌握同位角相等、两直线平行成为解题的关键． 由余角的定义可得，再根据等量代换以及角的和差可得，然后结合垂直的定义可得，最后根据同位角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】证明：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型八、同旁内角互补两直线平行 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 23．（24-25七年级上·江苏南京·月考）如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”依次判断即可． 【详解】解：①由，得到； ②由，得到； ③由，得到； ④由，不能判定出平行． 故答案为：①②③． 24．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）填空：如图， (1)因为， 所以____________（______）． (2)因为______， 所以（______）． (3)因为， 所以____________（______）． 【答案】(1)；；内错角相等，两直线平行 (2)；同位角相等，两直线平行 (3)；；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可； （3）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行； （2）解：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；同位角相等，两直线平行； （3）解：因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 题型九、两直线平行同位角相等 25．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数，又由邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想． 26．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行同位角相等、角的单位与角度制 【分析】本题考查了平行线的性质，度分秒的换算．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ． 故答案为：． 27．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，．求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据“同位角相等，两直线平行”可推出，根据“两直线平行，同位角相等”可得，等量代换得出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．熟记平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十、两直线平行内错角相等 28．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 29．（2023七年级·江苏·专题练习）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ． 【答案】/50度 【知识点】求一个角的余角、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查的是平行线的性质以及垂线的定义的运用．先利用余角的性质求得，再根据“两直线平行，内错角相等”可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵直角三角板的直角顶点在直线a上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 30．如图，．试判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先根据两直线平行内错角相等，可得，然后由，根据等量代换可得，然后根据同位角相等两直线平行，即可得到． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一、两直线平行同旁内角互补 31．（22-23七年级·江苏淮安·月考）如图，一条“U”型水管中，若，则应该等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键． 32．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 33．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线a，b分别与直线m，n相交，，． (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由； (2)若，则 °． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据对顶角相等得出根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十二、根据平行线的性质探究角的关系 34．（24-25七年级·江苏南京·期末）如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质，通过找中间角建立与的关系． 利用和，结合平行线的性质，找到与、相关的角，进而得出与的关系． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ． 故选：B． 35．（23-24七年级·江苏盐城·期中）若两个角的两边分别平行，那这两个角 ． 【答案】相等或互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题主要考查了平行线的性质，解题时注意：一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角不一定相等，还有可能互补． 【详解】解：如图，一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补．    故答案为：相等或互补． 36．（24-25七年级上·江苏南京·期末）【操作拼图】已知一副直角三角尺先按如图的方式拼接在一起，其中与直线重合，． (1)在上述所拼图形中，的度数为 °． (2)【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角尺固定不动，将三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，且两块三角尺均在直线的上方．设三角尺的旋转时间为，在旋转过程中，请求出当时t的值． (3)【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺均在直线的上方，且当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为．在旋转过程中，当与三角尺的某一边平行时，请直接写出的值． 【答案】(1)75 (2)12或 (3)或15 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据平角的定义求解即可； （2）根据的位置分类讨论，列出等式求解即可； （3）根据与边平行的边不同分类讨论，根据平行线的性质进行求解即可． 本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握旋转性质，平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； 故答案为：75． （2）解：当和重合时，，则， 当和重合时，，则， 当和重合时，，则， ①当时，，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：； ③当时，， ∴，t无解； 综上所述，或． （3）解：当和重合时，，则， ∴转动过程中，， ①当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 即， 解得：； ③当时，， ∴和重合， ∴， 即， 解得：； 当时，，且位于下面，不符合题意，舍去； 综上所述，或15． 题型十三、根据平行线的性质求角的度数 37．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补，即可得出答案． 【详解】解：如图 ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴． 故选B． 38．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为 ． 【答案】30 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：30． 39．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）光线从空气中射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，，光线从空气中射入水中时发生了折射，沿射到水底C处，射线是光线的延长线，已知，．求的大小． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、对顶角相等 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键．由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵, ∴． 题型十四、根据平行线判定与性质求角度 40．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中，，则在下列判断中，正确的是（   ）        A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质．通过作辅助线，得到，利用两直线平行，同旁内角互补，得到结果． 【详解】解：过A作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 41．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，，点E在之间．写出之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第（1）题的探究后，又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A 处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜l垂直，即，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，……其传播路径为⋯⋯请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）①见解析；②相等，见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）过点E作，利用平行线性质和判定推出，即可得到之间的数量关系； （2）①根据垂直定义，以及光线的入射角等于反射角，即可导角推出； ②由（2）的结论得∶，即，再结合（1）的结论得∶，即可推出与的数量关系． 【详解】解∶ （1）之间的数量关系是∶ ， 理由如下∶ 过点E作， 如图所示∶ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）①理由如下∶ ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是∶， 理由如下∶ 由（2）的结论得∶， ∴， ∵， 由（1）的结论得∶， ∴． 题型十五、根据平行线判定与性质证明 43．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知与互补，平分，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 44．（22-23七年级·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．    【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 45．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，和的平分线交于点P，延长交于点Q，且． (1)试说明； (2)探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，，因此，根据平行线的判定定理即可证明； （2）由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 强化训练 一、单选题 1．如图，与是（　　）形成的内错角． A．直线、被直线所截 B．直线、被直线所截 C．直线、被直线所截 D．直线、被直线所截 【答案】B 【分析】直接利用内错角的定义分析得出答案． 【详解】解：与是直线、被直线所截形成的内错角． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了内错角的定义，正确把握内错角的定义是解题的关键．内错角：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，在截线的两侧，在被截直线的内侧． 2．如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（    ） A．图1的原理是同位角相等，两直线平行 B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C．图2的原理是两直线平行，内错角相等 D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意； B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意； C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意， 故选：C． 3．如图，下列选项中正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握各个判定定理是求解的关键． 根据平行线的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：A、由，只能推出，故错误； B、由，只能推出，故错误； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确； D、由，只能推出，故错误； 故选：C． 4．如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质．根据平行线的性质和直角三角形的性质进行判断即可 【详解】解： ，故选项正确； 由题意得：，故选项正确； 与的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确， 故选C． 5．甲、乙两人一起研究一道数学题，如图，已知，甲说：“若还知道，则能得到．”乙说：“若还知道，则能得到”则下列说法正确的（    ） A．甲乙两人说法都不正确 B．甲乙两人说法都正确 C．甲说法正确，乙说法不正确 D．乙说法正确，甲说法不正确 【答案】B 【分析】本题考查垂直定义，平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 利用垂直定义推出，结合，进而证明，利用平行线性质即可判断甲说法，先证明，推出，再结合，即可判断乙说法． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 故甲说法正确； ， ， 即， ， ， ， ， 故乙说法正确； 故选：B． 6．如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先过点作，过点作，根据平行线的性质可证，根据，，可得，，再根据两直线平行内错角相等可得，，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， ， ，， ， ． 故选：D ． 7．在同一平面内，有直线，已知，，，，…，按此规律下去，若，则的值可以是（　　） A．42 B．47 C．63 D．85 【答案】D 【分析】本题考查平面内直线位置关系中的规律探究，根据题意，得到（为自然数），，，，再进行判断即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴ ∴从直线开始每条直线与的位置关系依次：两条与垂直，两条与平行，再两条与垂直，两条与平行，…，即每两条变化一次位置关系，4条一个循环， ∴（为自然数），，，， 因为，，，， ∴若，则的值可以是85， 故选D． 8．如图，，设，．下列说法中，正确的是（        ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则； 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的性质，数形结合分析进行判定即可求解． 【详解】解：如图所示，，即，延长交直线于点， ∴， 当时，，即， ∴，则， ∵与是变化的， ∴选项A，B中，不确定，表示不了， 假设C选项成立，即，则， ∴，由上述证明可得， ∴， 解得，， ∴，， ∴，故假设有误， ∴C选项错误，不符合题意； 若，如图所示， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确， 故选：D． 9．如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 10．如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有2个；④若，则；其中正确的有（    ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论． 【详解】解：， ，， 又， ， 平分，故①正确； ， ， 平分， ， ， ， ，故②正确， ， ， ， 与互余的角有，，，，有个， 故③错误， ，， 又， ，故④正确， 综上，正确的有①②④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补． 二、填空题 11．如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定的条件 .    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定方法解答即可. 【详解】解：添加，则根据同位角相等，两直线平行可得； 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定方法是关键. 12．a，b，c是直线，且，则，理由是 【答案】平行于同一直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：平行于同一直线的两条直线平行． 13．如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】利用互余、互补的定义以及平行线的判定定理来判断是否平行． 【详解】解：∵与互余， ∴，的余角为． 又∵的余角与互补， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、补角的定义以及平行线的判定，解题关键是根据互余、互补的定义推出同旁内角互补，进而利用平行线的判定定理得出直线平行的结论． 14．如图，某学员在练车场练习驾驶小轿车．一开始向左拐弯行驶一段距离后，再向右拐弯．经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向_______（填“相同”或“不同”）． 【答案】相同 【分析】本题考查了平行线的判定，根据图形可知两次拐弯得到的角属于同位角； 两次拐弯得到的角都是，再根据同位角相同，两直线平行，即可解题． 【详解】解：根据图意，由同位角相同，两直线平行可知，经过两次拐弯后，轿车行驶的方向与最初行驶的方向相同． 故答案为：相同． 15．如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示） 【答案】 【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出 ，由即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作，则， ， ∴，， 又∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义． 16．已知：如图，，则∠4的度数是 ． 【答案】126°． 【分析】由∠1=∠2及对顶角相等可得出∠1=∠5，利用“同位角相等，两直线平行”可得出l1∥l2，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠6的度数，再利用对顶角相等可得出∠4的度数． 【详解】解：给各角标上序号，如图所示． ∵∠1=∠2，∠2=∠5， ∴∠1=∠5， ∴l1∥l2， ∴∠3+∠6=180°． ∵∠3=54°， ∴∠6=180°-54°=126°， ∴∠4=∠6=126°． 故答案为：126°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的各判定与性质定理是解题的关键． 17．如图1，为巡视夜间水面情况，在笔直的河岸两侧（）各安置一探照灯A，B（A在B的左侧），灯A发出的射线从开始以a度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，灯B发出的射线从开始以1度/秒的速度顺时针旋转至后立即回转，两灯同时转动，经过55秒，射线第一次经过点B，此时，则 ，两灯继续转动，射线与射线交于点E（如图2），在射线到达之前，当，的度数为 ． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，作出辅助线，运用分类讨论的思想进行解题． ①由平行线的性质，得到角之间的关系，然后列出方程，解方程即可； ②由题意，根据旋转的性质，平行线的性质，可对运动过程分成三种情况进行分析：一种情况为射线没到达时，；另两种情况为射线到达后，返回旋转的过程中，；分别求出答案即可． 【详解】解：①如图，射线第一次经过点B， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：2． ②设射线的转动时间为t秒， ①当在到达之前时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，，则， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 当在到达之后返回途中时，如图，作， 由题意，， ， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； ∴； 综合上述，的度数为：或或； 故答案为：或或． 三、解答题 18．如图平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出度数，再根据平行的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟记角平分线的定义是解题的关键． 19．如图所示，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等，平行线的判定． 由垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，再由“内错角相等，两直线平行”得到． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 20．如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且∠1＝∠2，试说明ABDC的理由． 【答案】理由见解析 【分析】根据角平分线性质结合∠ADC＝∠ABC推出∠CDE＝∠1，进而根据∠1＝∠2等量代换推出∠CDE＝∠2，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：ABDC． 理由如下： ∵DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC， ∴，， ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠CDE＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠CDE＝∠2， ∴ABDC． 【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，结合题意根据内错角相等两直线平行是解决问题的关键． 21．如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出角的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 22．如图，请你用直尺和三角尺按下列要求作图（不写作法）． (1)在图①中，过点C作的垂线； (2)在图②中，过点作直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的作法和平行线的作法． （1）利用三角板的两条直角边作图即可； （2）根据平行线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求， （2）解：如图②，直线即为所求． 23．如图，已知AB//CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F． （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　 　． （2）当△PMN所放位置如图②所示时，请猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明． （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝20°，∠PEB＝15°，求∠N的度数． 【答案】（1）∠PFD＋∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°，见解析；（3）55°． 【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答； （2）根据平行线的性质得到∠PFD＋∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答； （3）根据平行线的性质、对顶角相等计算． 【详解】解：（1）如图①， 作PH//AB，则∠AEM＝∠HPM， ∵AB//CD，PH//AB， ∴PH//CD， ∴∠PFD＝∠HPN， ∵∠MPN＝90°， ∴∠PFD＋∠AEM＝90°， 故答案为：∠PFD＋∠AEM＝90°； （2）猜想：∠PFD﹣∠AEM＝90°； 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠PFD＋∠BHN＝180°， ∵∠BHN＝∠PHE， ∴∠PFD＋∠PHE＝180°， ∵∠P＝90°， ∴∠PHE＋∠PEB＝90°， ∵∠PEB＝∠AEM， ∴∠PHE＋∠AEM＝90°， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°； （3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°， ∴∠PHE＝∠P﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°， ∴∠BHF＝∠PHE＝75°， ∵AB//CD， ∴∠DFH＋∠BHF＝180°， ∴∠DFH＝180°﹣∠BHF＝105°， ∴∠OFN＝∠DFH＝105°， ∵∠DON＝20°， ∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠OFN＝55°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、对顶角相等、角的计算，掌握平行线的性质定理是解题的关键． 24．【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC． (1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______； 当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由； (2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由， (3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系． 【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析 (2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由见解析 (3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180° 【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD； （2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案； （3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC＝∠ACE＝45°， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD， 故答案为：AB∥CD； 当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40° ∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD， 故答案为：AB∥CD； 当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC+∠ACE＝90°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下： 过点E作EF∥AB，如图所示， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°， ∵CE平分∠MCD， ∴∠ECD＝∠MCD， ∴∠BAE+∠MCD＝90°； （3）解：分两种情况分类讨论， 第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC， 理由：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴EP∥AB∥CD， ∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ， ∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC ∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC； 第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°， 理由：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠PCQ， ∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°， ∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°， 综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法. 学科网（北京）股份有限公司 $