精品解析：浙江省温州市平阳县第三中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

平阳三中高二月考数学试卷 （时间：120min 满分：150分） 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论． 【详解】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5， 直线恒过定点， ，点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：C. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 5. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 6. 已知数列满足，，，若数列递增数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于是递增数列，所以，代入通项公式，化简可得对都成立，再根据函数的性质求出结果. 【详解】由数列是递增数列， 得， 化简可得， 即对于恒成立，所以， 故选：C. 7. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以 故选：C 8. 已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出中点M的轨迹方程为圆，所求式子可转化为M到直线的距离，利用圆的性质即可得出最大值. 【详解】如图， 圆，圆心为点，设线段的中点为， 得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 即为可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 因此可看作点到直线的距离， 于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确． 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则或 D. 若，，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面关系逐项判断可得答案. 【详解】垂直于同一直线的两平面平行，故A正确； 平行于同一平面的两直线可能相交、平行或异面，故B错误； 垂直于同一平面的平面和直线可能平行，可能线在面内，故C正确； 垂直于同一直线的平面和直线可能平行，可能线在面内，故D正确. 故选：ACD 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得. 【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误； ，故B错误； 当时，，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确. 故选：CD. 11. 已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ） A. 若是的中点，则平面 B. 若是的中点，则平面 C. 的最大值是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项A，根据是的中点，取中点，通过证明四边形是平行四边形即可证明；对选项B，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，证明即可；对选项C，根据可知，与重合时，最大；对选项D，设出，坐标，则可知坐标，故，，由可知，代入数量积的坐标运算可转化为的取值范围，利用三角换元即可求解. 【详解】是的中点，，，，∴是的中点. 连接交于点如图所示. ，∴四边形是平行四边形，. 又平面，平面，平面，故A正确； 以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点， 那么，，，， 而平面的一个法向量.， 不是平面的法向量，故B错误； 当与重合时，最大，为，故C正确； 设，，则， ，，， ，， 设，，， 故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系、求线段长度最小值及数量积最小值的方法，解题关键是建立空间直角坐标系将几何问题转化为代数问题，考查学生转化能力、数形结合能力和计算能力，属于压轴题. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.） 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将等差数列之比转换为它的前n项和的比即可得解. 【详解】由 ， 因为为整数且，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为_______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】设延长线交轴于点，作轴于，由内角平分线定理得，再由三角形面积求得点纵坐标，把与的纵坐标联系起来可得结论． 【详解】如图，设延长线交轴于点，作轴于，不妨设在第一象限， ，， 是内心，则， 所以，，，． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1）（2）直线的方程为：或 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程. 试题解析：（1）设直线的方程为： 直线过点（1，-3）， 解得 直线的方程为：． (2)设直线的方程为： 令，得；令，得 则，得 直线方程为：或． 16. 已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆的短轴长是，离心率是. （1）求椭圆方程. （2）倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求弦长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由离心率得，，结合可求得椭圆方程； （2）写出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，求出交点坐标，由两点间距离公式得弦长． 【详解】（1）设椭圆方程为， 则，解得， 椭圆方程为； （2）由（1）左焦点为，直线方程为， 由， 解得或，即， 所以． 17. 在平行六面体中，，，．记向量，向量，向量． （1）取的中点M，用向量来表示向量； （2）求向量和向量所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，， 又，，， 所以，， 所以 ； ， 所以， 又 ， 所以，所以， 故和所成角的余弦值为. 18. 已知是等比数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列前项和的性质结合已知求出公比，再求出首项，即可得解； （2）利用裂项相消求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 则，所以， 又，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以. 19. 在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）动点的轨迹为双曲线． （2）存在点满足题意. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合距离公式，化简计算，即可得答案. （2）由题意，根据面积公式，分析可得，即，设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据直线方程，代入，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. 【小问2详解】 因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平阳三中高二月考数学试卷 （时间：120min 满分：150分） 选择题部分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 都有可能 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，，若数列是递增数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则或 D. 若，，则或 10. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. 已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（ ） A. 若是的中点，则平面 B. 若是中点，则平面 C. 的最大值是 D. 的最小值为 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.） 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是__________. 14. 已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线的方程． 16. 已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆的短轴长是，离心率是. （1）求椭圆方程. （2）倾斜角为直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求弦长. 17. 在平行六面体中，，，．记向量，向量，向量． （1）取的中点M，用向量来表示向量； （2）求向量和向量所成角余弦值． 18. 已知是等比数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $