专题01 特殊平行四边形全章18大常考题型汇总（期末复习专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题01 特殊平行四边形 题型1 矩形、正方形性质理解（常考点） 题型10 根据正方形的性质求值 （重点） 题型2 利用菱形的性质求值（重点） 题型11 根据正方形的性质证明 （重点） 题型3 利用菱形的性质证明（重点） 题型12 正方形的证明（常考点） 题型4 菱形的证明（常考点） 题型13 根据正方形的性质与判定求值（重点） 题型5 根据菱形的性质与求值（重点） 题型14 中点四边形 （难点） 题型6 利用矩形的性质求值 （重点） 题型15 作图题（常考点） 题型7 利用矩形的性质证明 （重点） 题型16 折叠问题（难点） 题型8 矩形的证明（难点） 题型17 旋转问题（难点） 题型9 根据矩形的性质与判定值（常考点） 题型18 动点问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 矩形、正方形性质理解（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有 个． 题型二 利用菱形的性质求值（共7小题） 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（   ） A．10 B．24 C．40 D．48 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 8．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为 ． 9．（24-25九年级上·广东茂名·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，则该菱形的边长为 ． 10．（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 题型三 利用菱形的性质证明（共2小题） 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（    ） A． B．菱形的面积等于 C．平分 D．若，则四边形是正方形 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 题型四 菱形的证明（共5小题） 13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 14．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件 ，使四边形为菱形． 15．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的周长． 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 17．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积． 题型五 根据菱形的性质与判定求值（共4小题） 18．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 19．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 20．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 21．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，． (1)求证：四边形外框是菱形； (2)若外框的周长为，，，求的长． 题型六 利用矩形的性质求值（共6小题） 22．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 25．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ． 26．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是 ，菱形周长的最大值是 ． 27．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，在矩形中，，动点M从点A开始沿边以的速度运动，动点N从点C开始沿边以的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形是矩形？ 题型七 利用矩形的性质证明（共4小题） 28．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 30．（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 31．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 题型八 矩形的证明（共4小题） 32．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 34．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可） 35．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 题型九 根据矩形的性质与判定求值 （共4小题） 36．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 37．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 38．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是 ． 39．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 题型十 根据正方形的性质求值（共5小题） 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·广东·期末）在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到设的面积分别为，如此下去，则的值为（    ） A． B． C． D．1012 43．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．    44．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作 交延长线于点，则的长为 ． 题型十一 根据正方形的性质与判定证明（共2小题） 45．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 46．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，正方形的对角线，相交于点O，点M是边上一点，连接，过点O作，交于点N，若正方形的边长为2，则四边形的面积是 ． 题型十二 正方形的证明（共6小题） 47．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 48．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（23-24九年级上·全国·期末）在四边形中，对角线，交于点，，添加一个条件使四边形是正方形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可） 50．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 51．（22-23九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 52．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 题型十三 根据正方形的性质与判定求值 （共3小题） 53．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 55．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 题型十四 中点四边形（共3小题） 56．（23-24九年级上·全国·期末）一个四边形的中点四边形是矩形，则这个四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 57．（23-24九年级上·全国·期末）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为 ． 58．（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 题型十五 作图题（共4小题） 59．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 60．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图． (1)在图①中，在线段上找到一点，使； (2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点． 61．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 62．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 题型十六 折叠问题（共6小题） 63．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段AF长为（   ） A．2 B．1 C． D． 64．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，则下列结论： 若，则； 若点与点重合，则； 若，则； 若，则； 其中，正确的有（   ） A． B． C． D． 65．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 66．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ． 67．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 68．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【探究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 题型十七 旋转问题（共9小题） 69．（23-24九年级上·广东·期末）如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示） 深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：． 70．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 71．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 72．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 73．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 74．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 75．（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 76．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、． (1)线段的长为 ； (2)当点运动到边中点时，求线段的长； (3)当时，求线段的长； (4)连接，当 度时，线段的长取得最小值，此时 ， ． 77．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度． 题型十八 动点问题（共5小题） 78．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 79．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，，，动点，均以每秒个单位长度的速度分别从点，点同时出发，其中点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于时的取值范围． 80．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平行四边形中，，，为边上的一动点，动点从点出发，沿着的方向，以每秒个单位的速度向点运动，设运动时间为秒，作点关于直线的对称点． (1)当点在中点处，且在线段上时，若与四边形重叠部分为直角三角形，求的值； (2)若点与点同时从点出发，点在线段上，以每秒个单位的速度向点运动，记线段与线段的交点为，设的面积为，求与的函数表达式． 81．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也随之停止运动．作点关于的对称点，连接、，以、为邻边构造．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当为矩形时，求的长； (3)当点在边上运动且的面积被分成：两部分时，求的值； (4)连接，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值． 82．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． $专题01 特殊平行四边形 题型1 矩形、正方形性质理解（常考点） 题型10 根据正方形的性质求值 （重点） 题型2 利用菱形的性质求值（重点） 题型11 根据正方形的性质证明 （重点） 题型3 利用菱形的性质证明（重点） 题型12 正方形的证明（常考点） 题型4 菱形的证明（常考点） 题型13 根据正方形的性质与判定求值（重点） 题型5 根据菱形的性质与求值（重点） 题型14 中点四边形 （难点） 题型6 利用矩形的性质求值 （重点） 题型15 作图题（常考点） 题型7 利用矩形的性质证明 （重点） 题型16 折叠问题（难点） 题型8 矩形的证明（难点） 题型17 旋转问题（难点） 题型9 根据矩形的性质与判定值（常考点） 题型18 动点问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 矩形、正方形性质理解（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线互相平分且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【知识点】正方形性质理解、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查的是矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，正方形的性质，再逐一分析判断即可，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形为矩形；故不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形；故不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分；故不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等；故符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形性质理解 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 3．（22-23九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有 个． 【答案】 【知识点】正方形性质理解、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据等腰三角形的判定和正方形的性质，分别以、、、为边作等边三角形，即可得到点的位置，另外，正方形的中心也是符合条件的点． 【详解】解：如图所示，符合性质的点共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，考虑利用等边三角形的性质求解是解题的关键，要注意正方形的中心也是符合条件的点． 题型二 利用菱形的性质求值（共7小题） 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 由菱形的性质和勾股定理求出，再由菱形的面积求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即：， ∴； 故选：A． 6．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（   ） A．10 B．24 C．40 D．48 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查用菱形的性质求面积．根据菱形的面积等于其对角线积的一半，进而求解． 【详解】解：菱形的面积． 故选：B． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，的长分别为6，， 菱形的面积． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·福建三明·期末）如图，是菱形的对角线，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】利用菱形的性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查菱形性质，三角形内角和定理．根据题意利用菱形性质可知，，利用三角形内角和即可求得本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东茂名·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．圆圆家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，则该菱形的边长为 ． 【答案】13 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由周长的计算即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴． 故答案为：13． 10．（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握菱形的性质，中位线的判定和性质是关键． 根据菱形的性质得到，由点为的中点，为的中点，得到是的中位线，则，由即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ，，为的中点， 为的中点， 是的中位线， ， ， ． 题型三 利用菱形的性质证明（共2小题） 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（    ） A． B．菱形的面积等于 C．平分 D．若，则四边形是正方形 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴ 不一定成立，故A错误； 菱形的面积， 故B错误； ∵菱形的对角线平分一组对角， ∴平分，故C正确； ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴显然成立， 故D错误； 故选：C． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明 【分析】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据已知和菱形的性质证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是菱形， ， 、分别是和的中点， ，， ， 又， ， ． 题型四 菱形的证明（共5小题） 13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 14．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，与关于公共顶点O成中心对称，连接，，添加一个条件 ，使四边形为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】先根据中心对称证明四边形是平行四边形，再根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】∵与关于公共顶点O成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 当时，四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 15．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，有下列条件：，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）选择①，可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，选择②可以根据一边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出，进而求出四边形的周长． 【详解】（1）选①作为条件 证明：如图，在四边形中 ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 选②作为条件 证明：如图，在四边形中 ∵，分 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形 （2）解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∴， 在中，，由勾股定理得： ∴四边形的周长为： 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，，对角线平分．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、等角对等边、勾股定理． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，所以可得，根据等角对等边可得，等量代换可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证结论成立； 连接交于点，根据菱形的性质可得、，根据的正切可求，利用勾股定理可求，根据菱形的四条边都相等可求菱形的周长． 【详解】（1）证明：对角线平分， ， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，连接交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 菱形的周长为．      17．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是菱形； （2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积． 【答案】（1）见详解；（2）120 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】（1）根据菱形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质以及面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD． ∵AE=CF， ∴OA+AE=OC+CF，即OE=OF． ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AC⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形． （2）解：菱形EBFD的面积=． 题型五 根据菱形的性质与判定求值（共4小题） 18．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，根据题意，得， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 在中，， ∴，， 即， 解得， ∴， 所以四边形的周长为． 故选：C． 19．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 20．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）先求出的长，进而即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形； ∴，， ， ∴ ， 四边形的面积为． 21．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）周末，小颖和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形是一个菱形内框架，四边形是其外部框架，且点、、、在同一直线上，． (1)求证：四边形外框是菱形； (2)若外框的周长为，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是根据菱形的性质找到边和角之间的关系，根据边和角之间的关系证明三角形的两全等，再利用全等三角形的性质求解． （1）根据菱形的性质可得，，，利用可证、，根据全等三角形的对应边相等可证，从而可证结论成立； （2）连接，交于点，根据勾股定理的性质可知的长度，利用勾股定理可以求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 同理可证：， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如下图所示，连接，交于点， 四边形是菱形，周长为，， ，，， ，， ， ， 的长为． 题型六 利用矩形的性质求值（共6小题） 22．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 23．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 24．（23-24九年级上·四川成都·期末）在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 25．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为 ． 【答案】/50度 【知识点】利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键． 26．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是 ，菱形周长的最大值是 ． 【答案】 12 20 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，由，得到菱形的周长，据此可得最小值；当矩形的一条对角线与菱形的对角线重合时，菱形的周长最大，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中， ∵大于等于矩形纸条的宽， ∴， ∴菱形的周长， ∴菱形的周长的最小值为12； 如图所示，当矩形的一条对角线与菱形的对角线重合时，菱形的周长最大， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长的最大值为1； 故答案为：12；20． 27．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图所示，在矩形中，，动点M从点A开始沿边以的速度运动，动点N从点C开始沿边以的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形是矩形？ 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质与判定以及动点问题，解题的关键是根据矩形的判定条件得出关于时间的方程． 先分别表示出和的长度，根据矩形的判定，据此列方程求解． 【详解】解：根据题意，， ， 四边形是矩形， ， ， 当时，四边形是矩形． 题型七 利用矩形的性质证明（共4小题） 28．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故选：． 29．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 【答案】菱形 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了中点四边形、矩形的性质、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．作出矩形，取出各边中点为，连接、，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，矩形，取出各边中点为，连接、， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 30．（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 31．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用矩形的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件推出角相等，最后通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ． 题型八 矩形的证明（共4小题） 32．（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 33．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 34．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 ．（填一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，由，得出四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出答案，熟练掌握矩形的判定是解此题的关键． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 当或时，四边形是矩形， 故答案为：或（答案不唯一）． 35．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、证明四边形是矩形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积=． 题型九 根据矩形的性质与判定求值 （共4小题） 36．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（　　） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、判断三边能否构成直角三角形、垂线段最短 【分析】首先根据勾股定理的逆定理可以证明； 结合已知可以证明四边形是矩形，由此可得到对角线相等，M是的中点； 要求的最小值，实际上就是求的最小值，当，利用三角形面积，即可求得最小值． 【详解】连接， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴． 根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短． 当时，有， 即， 解得． ∴的最小值为，． 故选：A． 37．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 38．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值． 【详解】解：如图，连接，则M，P，C共线， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴时，取得最小值，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值是． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即的长为． 题型十 根据正方形的性质求值（共5小题） 40．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据正方形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】如图所示，连接，根据旋转的性质，等边对等角得到，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵边绕点逆时针旋转一定角度得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A ． 41．（24-25九年级上·广东·期末）在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，设，则，解方程即可得的长度． 【详解】解：连接，， ∵垂直平分交于点， ∴， 在正方形中，边长，为中点， ∴，， 设，则， 解得，， ∴的长度为， 故选：． 42．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到设的面积分别为，如此下去，则的值为（    ） A． B． C． D．1012 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求面积、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、规律型等知识，首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：，，， ， ∴ 故选：B． 43．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，正方形的边在正六边形的边上，则 度．    【答案】 【知识点】根据正方形的性质求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题考查多边形内角和，以及正方形性质，根据边形内角和为，求出正六边形的内角和，算出，再结合正方形性质根据，即可解题． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正方形的边长为，点在的延长线上，，作 交延长线于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上取一点F使得，连接，先证明得到，，进而可以证明得到，设，则，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在上取一点F使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：10． 题型十一 根据正方形的性质与判定证明（共2小题） 45．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．8 C．12 D．2 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 46．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，正方形的对角线，相交于点O，点M是边上一点，连接，过点O作，交于点N，若正方形的边长为2，则四边形的面积是 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的对角线，相交于点O，得到，，，，证明，得到，继而得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的对角线，相交于点O， 正方形的边长为2， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 题型十二 正方形的证明（共6小题） 47．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】本题是考查正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念．途径有两种∶①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．根据正方形的判定∶对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A：，， 四边形为平行四边形． ， 对角线相等，为矩形，但无邻边相等或垂直，故A不符合题意；． B：， 四边形可能为平行四边形． ，为平行四边形性质，无额外条件，不能判定为正方形．故B不符合题意． C：， 且O为对角线中点． 四边形为平行四边形且对角线相等，为矩形． ， 对角线垂直． 矩形变为正方形．故C符合题意； D：，， 四边形为平行四边形． ， 邻边相等，为菱形，但无直角，不能判定为正方形．故D不符合题意．   故选：C 48．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，、是对角线上的动点，且，、分别是边，上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形、添一个条件成为平行四边形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．连接交于点，连接、、、，，根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，对题目中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接、、、，， ， ，，， ， ， 当过点时，， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 只要过点，四边形是平行四边形， 存在无数个平行四边形，故①正确； 只要过点，且，四边形是矩形， 存在无数个矩形，故②正确； 只要过点，且，四边形是菱形， 存在无数个菱形，故③正确； 只要过点，且，四边形是正方形， 符合要求的正方形只有1个，故④错误； 正确的有①②③，正确的个数是3个． 故选：C． 49．（23-24九年级上·全国·期末）在四边形中，对角线，交于点，，添加一个条件使四边形是正方形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可） 【答案】 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定方法，掌握正方形的判定定理是解题的关键．已知，可得 ，即，从而根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，然后添加条件邻边相等，即可得证． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： 对角线，交于点，， ，即， 四边形是矩形． 又， 矩形是正方形． 故答案为：． 50．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)a 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 51．（22-23九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下： 第一步，折出的平分线，交于点D， 第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平， 第三步，折出、，得到四边形， (1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)为直角三角形且，理由见解析． 【知识点】证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）根据正方形与菱形的关系即可得知为直角三角形且，有一个角为直角的菱形为正方形． 【详解】（1）解：图形如图所示： 理由：∵ 是 的平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 同理， ∴四边形 是平行四边形， 又， ∴四边形 是菱形． （2）为直角三角形且，理由如下： ∵四边形 是菱形，， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 52．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O． (1)若，求证：矩形是正方形； (2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)．（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、矩形性质理解 【分析】（1）证明，推出，即可证明结论； （2）根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：添加的条件可以是．理由如下： ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形． 题型十三 根据正方形的性质与判定求值 （共3小题） 53．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得：，，从而得出四边形是正方形，即可得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形， ， ， 故选：C． 54．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 55．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 题型十四 中点四边形（共3小题） 56．（23-24九年级上·全国·期末）一个四边形的中点四边形是矩形，则这个四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 【答案】B 【分析】根据中点四边形是矩形，推出原来四边形的对角线互相垂直，由此即可解决问题. 【详解】解析：由于中点四边形是矩形，所以原四边形对角线互相垂直，根据选项，只能选B. 【点睛】本题考查了中点四边形、菱形的性质，属于中考常考题型. 57．（23-24九年级上·全国·期末）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，则四边形EFGH为 ． 【答案】菱形 【知识点】中点四边形 【分析】由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH=HG，所以平行四边形EFGH是菱形． 【详解】由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG=EF=AC，EH=FG=BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵矩形的对角线相等， ∴AC=BD， ∴EH=HG， ∴平行四边形EFGH是菱形， 故选C． 58．（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【知识点】中点四边形、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，证明，根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 题型十五 作图题（共4小题） 59．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （2）解：点即为所求， 60．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图． (1)在图①中，在线段上找到一点，使； (2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点作图题、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了格点作图，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，轴对称的定义和中心对称的定义． （1）取格点，连接与交于点E； （2）以为对角线，作矩形即可． 【详解】（1）如图①所示，点即为所求； （2）如图②所示，矩形即为所求（答案不唯一）． 61．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线． （2）先利用垂直平分线的性质得到且，再由得出内错角相等，通过角边角定理证明三角形全等，得到，结合证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形来证明． 【详解】（1）解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，     ∵， ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定及性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及菱形的判定定理是解题的关键． 62．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据几何语言画出对应的图形即可； （2）由正方形得，，，再证明，得到，再根据，可得，即，再结合，得到，进而即可得证． 【详解】（1）解：如图 （2）四边形为平行四边形，理由如下： 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，垂线的作法，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 题型十六 折叠问题（共6小题） 63．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段AF长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 64．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，则下列结论： 若，则； 若点与点重合，则； 若，则； 若，则； 其中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，根据折叠的性质及正方形的性质画出图形逐一判断即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴正确的结论有， 故选：． 65．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理．由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小，再利用勾股定理可得的长，继而解题． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∵点G是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 由勾股定理得，, ∴， 故答案为：． 66．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ． 【答案】/22度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了矩形折叠问题、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质、直角三角形的性质可得，，然后根据折叠的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：． 67．（23-24九年级上·河南南阳·期末）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】[猜想] ；[证明]见解析，[应用]（1），理由见解析；（2）5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：【猜想】：； 【证明】矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 【应用】（1）；理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 68．（23-24九年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动． 【操作】： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点(点不与重合)，沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结． 【探究】： （1）如图①，当点在上时，______． （2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【应用】： 若正方形纸片的边长为，当时，的长为______． 【答案】[探究]（1）；（2）；应用． 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】[探究] （1）连接，可推出，从而得出，进一步得出结果； （2）可证得，从而，进而得出结果； [应用]设，则，在中，，，，根据勾股定理得，求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：[探究] （1）如图①，连接， 垂直平分， ， 由折叠得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， 是等边三角形，则， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由（1）可知：，，， ， ， ， ， ； 应用 设，则， 由（2）知：， 在中，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十七 旋转问题（共9小题） 69．（23-24九年级上·广东·期末）如图①，矩形的边，，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点． 数学思考：（1）填空：图①中__________；（用含的代数式表示） 深入探究：（2）如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】全等三角形综合问题、利用矩形的性质求角度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转得到，结合矩形对边平行即可得到答案； （2）证明即可得到答案． 【详解】解：（1）∵矩形绕点逆时针旋转角得到矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点， ，         ∵四边形是矩形， ，， 由旋转得：， ，， 在与中， ∵， ， ． 70．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度． （1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证； （2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由(1)得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 71．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【分析】（1）根据题意和正方形的性质求解即可； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，，得到，，再根据勾股定理求出，，即可求解； ②由旋转的性质得：，证明，得到，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得到，当点与重合时，， 结合，可得，结合旋转角为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：，， ，， ，，即， ， ，， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， , 旋转角为， ， ． 72．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】面积问题(旋转综合题)、根据正方形的性质求面积、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，.再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到； （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到； （3）证明是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形，，再计算得，用勾股定理得到，从而利用全等三角形的性质得到. 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形. ∴， 又∵ ∴ ∴ 是直角三角形，， （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ∵，，， （3）∵，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接. 则，，， 为等腰直角三角形. ， 又 73．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与探究：如图①，点为正方形内一点，，将绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接． 【证明结论】 （）求证：四边形是正方形； 【解决问题】 （）如图①，若，求的面积； 【问题探究】 （）如图②，若，求证：点是的中点． 【答案】（）证明见解析；（）；（）证明见解析 【知识点】三线合一、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（）由旋转的性质可得，，，即得四边形是矩形，进而由即可求证； （）过点作于点，可证，得到，又由（）可知：，即可得，再根据三角形的面积公式计算即可； （）过点作于点，可得，又由（）可知：，四边形是正方形，即得，由等腰三角形的性质得，即得，得到，即可求证． 【详解】（）证明：∵是由逆时针旋转而得到， ∴，，， ∵是的延长线， ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （）如图，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴的面积； （）如图②，过点作于点， 由（）可知：， ∴， 由（）可知：，四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点． 74．（24-25九年级上·天津静海·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【知识点】求绕原点旋转一定角度的点的坐标、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意和正方形的性质求解即可； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，，得到，，再根据勾股定理求出，，即可求解； ②由旋转的性质得：，证明，得到，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得到，当点与重合时，， 结合，可得，结合旋转角为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：，， ，， ，，即， ， ，， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， , 旋转角为， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 75．（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1），，理由见解析；（2），见解析；（3）线段的长为或 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到，利用勾股定理求得，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据转化为求的长，通过作垂线构造，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1），； ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 则，即； （2）； 理由：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）过点C作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若点E在线段上， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 若点E在的延长线上时， 同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 76．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、． (1)线段的长为 ； (2)当点运动到边中点时，求线段的长； (3)当时，求线段的长； (4)连接，当 度时，线段的长取得最小值，此时 ， ． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)60；3； 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据线段中点定义求解即可； （2）根据勾股定理求解即可； （3）先证明是等边三角形，结合平行线的性质求得，则，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （4）以为边，在上方作等边三角形，连接，证明得到，，则点Q在垂直于的直线上运动，当时，的长最小，如图，此时，则，过作于N，交于M，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形得到，，进而可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点运动到边中点时，， 在中，， ∴； （3）解：由旋转性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴； （4）解：以为边，在上方作等边三角形，连接， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴点Q在垂直于的直线上运动， 当时，的长最小，如图，此时， ∴， 即当度时，线段的长取得最小值； 过作于N，交于M，则， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，． 故答案为：60；3；． 77．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【探究与证明】活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】如图①，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 (1)当时，四边形的形状为_______；（直接写出答案） (2)如图②，当时，连接，求此时的面积； (3)如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； (4)当点F，E，D三点共线时，请求出此时的长度． 【答案】(1)正方形 (2) (3)，证明见解析 (4)或8 【知识点】根据旋转的性质求解、证明四边形是正方形、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）可推出，，从而得四边形是正方形； （2）作于，可推出，从而，根据勾股定理得出，求得，进一步得出结果； （3）利用证明即可； （4）设，则，根据旋转的性质得：，分为：当点E在上时，根据勾股定理可得：，当点在的延长线上时，设，则，可得：，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图①， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将边绕点A逆时针旋转 得到线段，过点E作， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， 故答案为：正方形； （2）解：如答题图①，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明如下： 由已知可得， 在和中， ， ； （4）解：， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， ， 当点在线段上时，如答题图② 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当点在的延长线上时，如答题图③， 同理， 设，则， ， 解得：， 综上所述，或8． 题型十八 动点问题（共5小题） 78．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，已知的顶点为坐标原点，顶点在轴的负半轴上且，点，连接并延长交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点从出发以2个单位秒的速度沿轴向右运动，同时点从出发，以1个单位秒的速度沿轴向左运动，过点，分别作轴的垂线交射线和射线于点，，试猜想四边形的形状（点，重合除外），并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，四边形能为正方形吗？如果能，请求出所有满足条件的点P运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形是矩形； (3)点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 【知识点】一次函数与几何综合、矩形的判定定理理解、正方形性质理解 【分析】本题考查了待定系数法，平行四边形的性质和矩形，正方形的性质，能够将函数问题与几何问题相结合是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质求得点，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点E，F坐标，即可得出，即可得出结论； （3）先分两种情况（点Q在点P左侧或右侧）求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：延长交轴于点， ∵，， ∴，轴， ∵点， ∴点，点， 设直线的解析式为， 把、代入得： ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 如图 ∵点A的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向左运动， ∴， ∴， ∴， ∵点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向右运动， ∴， ∴点， 由（1）知，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形 ∴四边形是矩形； （3）解：由（2）知，，，， ∴或， ∵四边形是正方形， ∴， ∴或， ∴或，即点P运动秒或秒时，四边形是正方形． 79．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，，，动点，均以每秒个单位长度的速度分别从点，点同时出发，其中点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 (3) 【知识点】求一次函数解析式、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，矩形的性质： （1）当点P在，点Q在上运动时，即时，当时，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）当时，，当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 则相遇时间为； ， 当时，点在上，在上， ∴ 当时， ∴ 综上可得：； （2）解：当时，，当时，，当时，，依次描点再连接 该函数图象如图所示： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：如图所示， 当时，，当时， 结合函数图象，可得时， 80．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平行四边形中，，，为边上的一动点，动点从点出发，沿着的方向，以每秒个单位的速度向点运动，设运动时间为秒，作点关于直线的对称点． (1)当点在中点处，且在线段上时，若与四边形重叠部分为直角三角形，求的值； (2)若点与点同时从点出发，点在线段上，以每秒个单位的速度向点运动，记线段与线段的交点为，设的面积为，求与的函数表达式． 【答案】(1)或或； (2)当时，；当时，． 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据平行四边形的性质，勾股定理，以及正弦的定义，得出，根据与四边形重叠部分为直角三角形，分情况讨论①当时，由求得，再根据勾股定理求得，从而得到；最后由，得到即可求得；②当时，由求得，再根据勾股定理求得即可求得；③当时，过作于点，可求得，此时与重合，由即可求得； （2）分情况讨论，①当时，在上，由题意可知，，作，可得，，从而得到的值，作交于点，由求得，从而得到，最后根据和等高和求得；②当时，在上，同理求得，再由平行四边形的高求得，最后同理可得． 【详解】（1）如图所示，过点作于点， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∴ 如图，设与交于点，当时， 点在中点处，则， 由对称的性质可知：，， ， 由勾股定理得， 由题意得：，则， ，解得：； 如图，当时， 在中，， ， 又 ； 如图，当时，过作于点， ， ， ， 此时与重合，即与重合 ， ； 综上：或或； （2）①因为，点的速度为1，所以当时，在上，如图所示 由题意可知，和关于对称，，， 作， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，，， ，， ， ， 作交于点， ， ， ， ∵， ， ； ②因为，，点速度为1，所以当时，在上，如图： 同理可知，， 由题意可知，，， ， ， 又， ， ， ， ， 由（1）可知，以为底时，平行四边形的高为4， ， ， 同理， ， ， 综上：当时，；当时，． 81．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，当点停止运动时，点也随之停止运动．作点关于的对称点，连接、，以、为邻边构造．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当为矩形时，求的长； (3)当点在边上运动且的面积被分成：两部分时，求的值； (4)连接，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)2； (3)或； (4)或或． 【知识点】列代数式、（特殊）平行四边形的动点问题、相似三角形——动点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先求得当运动到点时，点运动停止时，然后分两种情况讨论即可求解； （2）根据矩形的性质可得，根据对称性可得，则只要，即可得出为矩形，进而根据相似三角形的性质，即可求解； （3）设分别交于点，分别表示出，设四边形的面积为，的面积为，根据的面积被分成：两部分，得出或，即或，列出方程，解方程，即可求解； （4）分当时和当，三种情况讨论，分别解直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵，，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， ∴当运动到点时，，， 当点运动到点时，， 当在线段上时，即， ， 当在延长线上时，即， ， （2）解：∵为矩形 ∴ ∵点，关于对称， ∴， ∴则点在线段上， ∴ ∴ ∵，，， ∴ 解得： ∴ （3）解：如图所示，设分别交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ∴，则是的高， ∵在中，，，． ∴， ∴，， ∵点在边上运动，则，，则 ∴， ， ， ∴ 设四边形的面积为，的面积为 ∴， ∵的面积被分成：两部分， ∴或， ∴或 即或， ∴或， ∴或， 解得：或； （4）如图所示， 当，设交于点， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴，， ， ∴， 又∵ ∴ ∴ 解得： 如图所示，当时，延长交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 解得： 当时，点在上，如图所示， ∵ ∴ 即 ∵在延长线上时，； ∴ 解得： 综上所述，当与的一边平行或垂直时，或或． 82．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)24 (2) (3)为或，理由见解析 【知识点】求自变量的取值范围、（特殊）平行四边形的动点问题、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； （2）解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似. $