专题06 分式（期末复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

这是一份初中数学八年级上学期的期末复习课件，聚焦分式专题，包含期末考情分析、必备知识梳理（如分式定义、性质、运算等）、重难点题型突破（如分式化简求值、方程应用等）及分层验收练习，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料特色鲜明，以核心素养为导向，通过分式定义判断题培养抽象能力，实际应用题（如行程、工程问题）发展模型意识，分层设计满足不同学生需求，真题演练贴近考试实际。能帮助学生系统巩固分式知识提升解题能力，也为教师提供结构化复习方案和教学资源支持。八年级学生处于承上启下阶段，需巩固分式基础提升综合应用能力，本资料助力学生适应初中数学思维转变，为后续学习奠基。

专题06 分 式 八年级数学上学期 期末复习大串讲 人 教 版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本概念 能准确界定分式，明确分式有意义、值为0的条件，并能解决相关判断与计算问题。 易错点, 常考查分式有意义、无意义及值为0的条件。多以选择题、填空题形式出现 分式的基本性质 理解“分子分母同乘（除）一个不为0的整式，分式值不变”的性质，能灵活进行分式的约分与通分。 易错点,忽略符号和约分不彻底 常结合分式的乘除运算考查 分式的运算 掌握分式乘法、除法、乘方的法则，以及同分母分式加减、异分母分式加减的规则，能准确完成混合运算并化简结果。 解答题的必考题，难度中等，易错点是运算顺序错误、符号处理失误。 整数指数幂与科学记数法 掌握非零数的零次幂、负整数指数幂的运算性质，能将绝对值小于1的正数用科学记数法表示 基础点,题型以选择题、填空题为主，多与实际情境结合 分式方程的解法与应用 能识别分式方程，理解“去分母转化为整式方程”的化归思路，熟练掌握“化简—去分母—解整式方程—验根”的完整步骤；能根据实际问题中的数量关系列分式方程，解决行程、工程、增长率等典型应用题。 重难点，解答题压轴常考，易错点是忘记检验和实际问题中忽略取值范围。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 分式的定义 知识点01 定义： 如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中A 叫作分子，B 叫作分母.   分数 分式 联系 都是形如的式子 区别 分子与分母都是整数，即都不含字母 分母中一定含有字母 3. 分式与分数、整式的关系 (1)形如 的式子； (2)A，B 为整式； (3)分母B 中含有字母. 2.分式的“三要素”： 分式有意义、无意义、值为0的条件 知识点02 1.分式有意义、无意义的条件 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0. 即：对于分式 ， 当A＝0且B ≠ 0 时， ＝0. 分式有意义的条件 分式的分母不等于0，即B ≠ 0 分式无意义的条件 分式的分母等于0，即B＝0 3. 对常见的几种特殊分式值的讨论 分式的值为0的条件： (1)若 的值为正数，则A、B同号. (2)若 的值为负数，则A、B异号. (3)若 的值为1，则A＝B，且B ≠ 0. (4)若 的值为－1，则A＝－B，且B ≠ 0 分式的基本性质 知识点03 1. 分式的基本性质. 基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示 ＝，＝(C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 用 途 进行分式的恒等变形 2. 分式的符号法则： （2）用字母表示如下： 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. (1)法则： 分式的基本性质 知识点03 当分子、分母都是单项式时， 先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； 当分子、分母中有多项式时， 先把多项式分解因式，再找公因式. 3.分式的约分 （1）分式的约分： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. （2）最简分式： 分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. （3）找公因式的方法 分式的基本性质 知识点03 当各分母都是单项式时， 取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； 当各分母都是多项式且能因式分解时， 要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4.分式的通分 （1）分式的通分： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. （2）最简公分母： 通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母. （3）确定最简公分母的方法 分式的基本性质 知识点03 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 5. 通分的一般步骤 分式的乘方与除法 知识点04 1..分式的乘法 2.分式的除法 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母   法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘   分式的乘方与除法 知识点04 （1）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方. 3.分式的乘除混合运算 在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算；若有括号，则先算括号里面的. 一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 4.分式的乘方 （2）分式的乘除、乘方混合运算： 分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 用字母表示＝ (n为正整数). 分式的加法与减法 知识点05 1.同分母分式的加减法 2.异分母分式的加减法 法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 式子表示   法 则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 式子表示   一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式； (2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算. 注意异分母分式加减运算的关键是通分 分式的加法与减法 知识点05 （2）进行分式混合运算的方法 ①进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. ②运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单. ③运算结果是最简分式或整式. 3.分式的混合运算 （1）分式的混合运算顺序： 分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减. 有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行， 对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 整数指数幂 知识点06 一般地，当n是正整数时， (a ≠ 0). 这就是说， (a ≠ 0)是 的倒数. 1. 负整数指数幂： (1) (m，n是整数)； (2) (m，n是整数)； (3)＝ (n是整数)； (4) (m，n是整数)； (5) (n 是整数). 2. 整数指数幂的运算性质 整数指数幂 知识点06 （1）用科学记数法表示小于1的正数： 一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为 的形式，其中1 ≤ a<10，n是正整数. 3..科学记数法 ③表示结果： 将原数用科学记数法表示为 的形式(其中1 ≤ a＜10，n是正整数). （2）用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤 ①确定a： a是大于或等于1且小于10的数. ②确定n：确定n的方法有两种， *n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)； *小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几. 分式方程 知识点07 1.分式方程的概念 （1）分式方程： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路： 去分母，把分式方程转化为整式方程. 三者缺一不可 ①是方程； ②含有分母； ③分母中含有未知数. （2）解分式方程的一般步骤 （2）分式方程应满足的条件 分式方程 整式方程 解整式方程（去括号、移项、合并同类项） =a 最简公分母为0 最简公分母不为为0 =a是分式方程的解 去分母 （方程两边同乘最简公分母） =a是分式方程的解 目标 检验 17 分式方程 知识点07 （4）增根(拓展) （3）检验分式方程解的方法 直接检验法： 将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 公分母检验法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0, 则这个解叫做原分式方程的增根. 分式方程 知识点07 （1）列分式方程常用的等量关系 3.分式方程的应用 行程问题：速度×时间＝路程. 利润问题：利润＝售价－进价； 利润率＝利润÷进价×100%. 工程问题：工作量＝工作时间×工作效率； 总工作量＝各个分工作量之和. （2）列分式方程解应用题的一般步骤 审： 审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. 设： 设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. 列： 列方程，根据等量关系列出分式方程. 解： 解所列的分式方程，求出未知数的值. 验： 验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. 答： 写出答案，注意单位和答案要完整. 分式方程 知识点07 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 分式的基本概念 题型一 【典例1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末） 在式子，，，，，中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 解：∵ 分式是分母中含有字母的式子， ∴ 分母含a，是分式； 分母π是常数，不是分式； 分母4是常数，不是分式； 分母含x，是分式； B ，分母含y，是分式； 分母含x，是分式． ∴ 分式有、、、，共4个． 分式的基本概念 题型一 【变式1-1】（24-25八年级上·河南新乡·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为 ． 解：∵代数式有意义，分母不能为0，可得，即， 【变式1-2】（24-25八年级下·河南·期末）若分式无意义，则x的值为（   ） A． B． C． D． 解：分式无意义， ， ， B 分式的基本概念 题型一 【变式1-3】（24-25八年级下·山东济南·期末）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， A 分式的基本性质 题型二 【典例2-1】（24-25八年级上·福建福州·期末） 如果分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的9倍 解：由题意得：， ∴如果把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的， A 分式的基本性质 题型二 【典例2-2】（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； D 分式的基本性质 题型二 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 解：A、不一定成立，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意 B 分式的基本性质 题型二 【变式2-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 解：， A 【变式2-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 解： A 分式的运算 题型三 【典例3-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：． 解： 分式的运算 题型三 【典例3-2】（25-26八年级上·江西·期末）化简： 解：原式 ． 分式的运算 题型三 【典例3-3】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算： ． 解： ． 【典例3-4】（25-26八年级上·内蒙古·期末） 计算：； 解： ． 分式的运算 题型三 【变式3-1】（25-26八年级上·北京·期末） 计算：． 解： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末） 计算： ． 解： ． 【变式3-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）计算： (1)； (2) （1）解： ； （2）解： 分式的运算 题型三 【变式3-4】（24-25八年级上·江西上饶·期末）计算与化简． (1) (2) 解：（1） 原式 ； 分式的运算 题型三 （2）原式 ． 科学记数法 题型四 【典例4】（24-25八年级上·广东东莞·期末）锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为，已知，则锂的原子半径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 解：， ． D 35 科学记数法 题型四 【变式4-1】（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米．其中0.00000000018用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 解：0.00000000018用科学记数法表示为． D 36 科学记数法 题型四 【变式4-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）2023年9月，上海微电子研发的浸没式光刻机成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步． 已知米，则数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 解：． A 37 科学记数法 题型四 【变式4-3】（25-26八年级上·重庆·期中）祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里． 解：飞濑岛的面积约为0.00086平方公里，将小数点向右移动4位得到8.6， ∴，则用科学记数法表示为． 38 分式化简求值 题型五 【典例5-1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值： ，其中． 解：原式 ， 当时， 原式． 39 分式化简求值 题型五 【典例5-2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式． （0与选一个代入求值即可） 40 分式化简求值 题型五 【变式5-1】（23-24八年级上·广西贵港·期中）先化简，再求值： ，其中． 解：原式 当时，原式． 41 分式化简求值 题型五 【变式5-2】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值： ，其中． 解： ， 当时，原式． 42 分式化简求值 题型五 【变式5-3】（24-25八年级上·重庆江北·期末）先化简，再求值： ，其中x为的整数． 解：原式 ， 为的整数， 为0、1、2， 且， ∴且， 可以取0， 当时， 原式． 43 分式化简求值 题型五 【变式5-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末） 已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． 1）解：由题意得： 经检验：是原分式方程的解． ∴当时，分式和分式的值相等. 去分母得： 解得： 44 分式化简求值 题型五 【变式5-4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末） 已知分式，分式，分式． (1)为何值时，分式A和分式B的值相等？ (2)当时，求分式的值． （2）由题意得： ， 当时，原式． ∴当时， 所求分式的值为． 45 解分式方程 题型六 【典例6-1】（25-26八年级上·北京·期末）解方程：． 解： 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 解分式方程 题型六 【典例6-2】（25-26八年级上·安徽·期末）解方程： 解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得， 系数化成1，得：， 经检验，是增根，∴原方程无解． 解分式方程 题型六 【变式6-1】（23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 解：， 整理得，， 等式两边同时乘以得， ， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为． 解分式方程 题型六 【变式6-2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得： ， ∴是原方程的解． （1）解：， 去分母得： ， 解整式方程得：， 检验：把代入得： ， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 解分式方程 题型六 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南·期末）解方程： (1)； (2)． （1）解：， 方程两边同乘以， 得， 移项、合并同类项，得 ， 经检验， 是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 解得：， 经检验， 是分式方程的增根， 故方程无解． 根据分式方程解的情况求值 题型七 【典例7】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 解：将代入可得： ， 解得：． A 根据分式方程解的情况求值 题型七 【变式7-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末） 若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 解：， ， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ，即， 整数m的值为， 根据分式方程解的情况求值 题型七 【变式7-2】（23-24八年级上·全国·期末） 关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范是 ． 解：两边都乘以，得： ， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴，且， 解得：且和， ，且 根据分式方程解的情况求值 题型七 【变式7-3】（25-26八年级上•山东烟台•期中） 关于x的分式方程 的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 解：解分式方程 ， 两边同乘（需保证）， 得 ，， 由于分母，即 ， 代入，得 ，即 ， 又∵解为非正数，即 ， ∴，即， ∴ 且 ， 且 根据分式方程解的情况求值 题型七 【变式7-4】（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 解：分式方程可化为： ， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ，解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， 分式方程无解问题 题型八 【典例8】（25-26八年级上·全国·期末） 若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 解：去分母得， 解得， 原分式方程无解， ， 即，解得， 当时，关于的分式方程无解． D 分式方程无解问题 题型八 【变式8-1】（24-25八年级上·湖南永州·期末） 关于的方程有增根，则增根是 ． 解：分式方程的分母为和， ． 令分母， 解得． 分式方程无解问题 题型八 【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 或 分式方程的实际应用 题型九 【典例9-1】（行程问题）（24-25八年级上·广东东莞·期末）随着科技的不断进步，我国的高铁、动车实现了跨越式发展，已处于世界领先水平．已知高铁A的平均速度是动车B的倍，高铁A行驶所用的时间比动车B少，求高铁A的平均速度． 解：设动车B的平均速度为，则高铁A的平均速度为， 由题意，得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：高铁A的平均速度为． 分式方程的实际应用 题型九 【典例9-2】（工程问题）（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 解：设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 分式方程的实际应用 题型九 【典例9-3】（经济问题）（24-25八年级上·甘肃武威·期末）年月1日是中华人民共和国成立周年纪念日，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但每件贵了元，求该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？ 解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元， 则第二批纪念衫单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元． 分式方程的实际应用 题型九 【典例9-4】（和差倍问题）（24-25八年级上•北京房山•期末）研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多3.2克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克， 则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 分式方程的实际应用 题型九 【变式9-1】（24-25八年级上·吉林·期末）小明打算利用寒假到朱雀山滑雪场玩雪圈，从家到目的地全程80千米，由于假期车流量大，实际行驶速度是原计划的，结果实际比原计划多用了15分钟，求原计划的行驶速度是多少？ 解：设原计划的行驶速度是， 则实际行驶速度是， 根据题意：， 解得：， 经检验，当是原分式方程的解， 答：原计划的行驶速度是． 分式方程的实际应用 题型九 【变式9-2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？ 解：设甲工程队每天改造道路的长度是米， 则乙工程队每天改造道路的长度是米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米． 分式方程的实际应用 题型九 【变式9-3】（24-25八年级上·北京顺义·期末）为了丰富学生的课后活动，促进学生的身心健康，某学校购进了A，B两种品牌的篮球，其中购买A品牌篮球共花费4500元，购买B品牌篮球共花费3600元，已知购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球的数量的1.5倍，且A品牌篮球的单价比B品牌篮球的单价便宜30元，求A，B两种品牌篮球的单价． 解：设A品牌篮球的单价是x元，则B品牌篮球的单价是元， 依题意，得， 解得， 经检验：是所列方程的解，并且符合实际问题的意义， 所以， 答：A品牌篮球的单价是150元，B品牌篮球的单价是180元． 分式方程的实际应用 题型九 【变式9-4】（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ （1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； 分式方程的实际应用 题型九 【变式9-4】（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ （2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 分式最值 题型十 【典例10】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． （1）解： ； 分式最值 题型十 【典例10】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． （2）解： ， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， 分式最值 题型十 【典例10】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． （3）解： ， 当时， 是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 分式最值 题型十 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”． 类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式， 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”； 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式． 假分数可以化成（即）带分数的形式， 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题：(1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 假分式 分式最值 题型十 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”． 类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式， 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”； 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． (2)将分式化成带分式； （2）解： 分式最值 题型十 【变式10-1】（24-25八年级下·广东广州·开学考试）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”． 类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式， 当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”； 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 分式最值 题型十 【变式10-2】（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ， 则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 分式最值 题型十 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝ ，＝ ． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 分式最值 题型十 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ① ② ③ ④ （1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ①③ 分式最值 题型十 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ，则和都是“和谐分式”． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝ ，＝ ． （2）解：． ． ． ． 分式最值 题型十 【变式10-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (3)和谐分式的最大值为 ． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． （3）解：． ∵，则，， ∴， ∴最大值为． （4）解： ． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． C 解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 期末基础通关练 2．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． A 解：设江水的流速为千米/时， 则顺流速度，逆流速度， 根据题意得，， 期末基础通关练 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某种花粉的直径约为，花粉直径用科学记数法表示为 m． 4．（25-26八年级上·广西来宾·期中）计算： ． 5．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 6．（24-25八年级上·广西桂林·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 解：原式； 3 解：∵分式的值为0， ∴且， 解得且， ∴x的值为， 82 期末基础通关练 7．（24-25八年级上·广东东莞·期末）计算： 解： ． 8．（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值： ，其中． 解：原式， ， ， ； 当时， ， ． 83 期末基础通关练 9．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 解：（1）小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； （2）去分母得： ， 去括号得： ， 移项、合并同类项得： ， 解得：， 检验：把代入得： ， ∴是增根， 分式方程无解； 一 去分母时3没有乘最简公分母； 84 期末基础通关练 9．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 一 去分母时3没有乘最简公分母； 85 期末重难突破练 10．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在物理学中，压强等于物体所受压力的大小与受力面积之比，即．两个均匀长方体铁块A和B放置在水平桌面上，重量分别为和，已知铁块B的底面积比铁块A的底面积多，且A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求两个铁块的底面积分别是多少？设A铁块底面积为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． D 解：铁块A的重量为50N，底面积为，对桌面的压强为， 铁块B的重量为100N，底面积为，对桌面的压强为， 由题意知，即， 代入压强表达式得：， ∴， 期末重难突破练 11．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． B 解：， ∵， ∴，解得：， ∴， 期末重难突破练 12．（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ，故k的值为， B 期末重难突破练 13．（24-25八年级上·重庆长寿·期末）已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 解：∵， ， ∴， 去分母得： ， 解得：， 经检验是原方程的根， 故①不符合题意； ∵， ， ∴ ， 故②符合题意； ∵ ， ∵式子的值为整数，为整数， ∴或， ∴或或 或； 故③不符合题意； 综上所述，其中正确的有1个． 期末重难突破练 14．（25-26八年级上·安徽·期末）若关于的方程有增根，则 ． 1 解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 期末重难突破练 15．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 解：由 ，得 ， 即 ， ∴ ． 期末重难突破练 16.（24-25八年级上·重庆·期末）若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数， 或且， 解得或或或， 而当时，分式方程有增根， ， 或或， 是一个完全平方式， ， 或， 期末综合拓展练 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． ∵解为正数， ∴，∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 或 解：， 由①得；由②得， ∵关于x的不等式组 恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， 期末综合拓展练 18．（24-25八年级上·全国·期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ 1）解：设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需天． 根据方案C，可列方程得1， 解得， 经检验：是所列方程的根， 答：规定的工期是20天． 期末综合拓展练 18．（24-25八年级上·全国·期末）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元．工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： 方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成； 方案B：乙队单独完成这项工程比规定工期多用5天； 方案C：若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)求规定的工期是多少天？ (2)在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？ （2）解：由（1）知：即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天， ∴A方案的工程款为（万元）； B方案的工程款为（万元），但乙单独做超过了工期，因此不能选； C方案的工程款为（万元）； ∵∴在不耽误工期的前提下，方案C最节省工程款． 19．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： (1)求的值；(2)若，求、的值； (3)分式的值为正数时，应满足什么条件？ 期末综合拓展练 （1）解： ∵， ∴． ∴ ； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； 19．（24-25八年级下·广东佛山·期末）通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： (1)求的值；(2)若，求、的值； (3)分式的值为正数时，应满足什么条件？ 期末综合拓展练 （3）解：∵分式的值为正数时， ∴ 或 又∵ ∴ 或 解得． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $