专题06 椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系）（考点清单+知识导图+ 12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单06 椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 【清单02】点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【清单03】弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 【清单04】三角形面积问题 直线方程： 【清单05】焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【清单06】平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【清单07】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 【考点题型一】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 核心方法：联立+判别法 【例1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【变式1-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆的短轴长和焦距均为. (1)求的方程； (2)若直线与没有公共点，求的取值范围. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【变式1-3】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【考点题型二】中点弦问题 核心方法：点差法+韦达定理法 【例2-1】（24-25高二上·陕西·期中）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 【例2-2】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【变式2-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 【变式2-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【考点题型三】求弦长（定值） 核心方法：弦长公式 【例3】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积. (3)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【变式3-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求. 【变式3-2】（陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期11月期中校际联考数学试题）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长. 【考点题型四】求弦长（最值或范围） 核心方法： 【例4】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的方程； (2)设线段的中点为，求的取值范围． 【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围. 【变式4-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 【考点题型五】根据弦长求参数 核心方法： 【例5】（24-25高二上·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【变式5-1】（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 【变式5-2】（2024·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 【考点题型六】抛物线非焦点弦问题 核心方法： 【例6】（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. (1)求与的标准方程； (2)过点且与相切的直线与交于点，求. 【变式6-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线上一点的纵坐标为4，点到焦点的距离为5，过点做两条互相垂直的弦、． (1)求抛物线的方程． (2)求的最小值． 【考点题型七】抛物线焦点弦问题 核心方法： 【例7】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 【变式7-1】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【考点题型八】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离 【例8】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. (1)求的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【变式8-1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限 (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积. 【变式8-2】（23-24高二下·重庆·期中）已知点，在抛物线上. (1)若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离； (2)若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积. 【考点题型九】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数 【例9】（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点满足：． (1)求动点E的轨迹方程； (2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围． 【变式9-1】（24-25高二上·北京·期中）已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【变式9-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【考点题型十】圆锥曲线中的向量问题 【例10】（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 【变式10-1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点 (1)求△的周长； (2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程； 【变式10-2】（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【考点题型十一】圆锥曲线中的定点问题 【例11】（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【变式11-1】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点在直线上，分别为的左､右顶点，且. (1)求的标准方程； (2)设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为，证明：直线过定点. 【变式11-2】（24-25高二上·辽宁·期中）在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左､右焦点，已知，为双曲线上的两动点，若点的横坐标为3，则的长为. (1)求的方程； (2)设，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围； (3)已知点在轴上方，直线过双曲线的右焦点且与轴交于点，若的延长线与交于点，问是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【考点题型十二】圆锥曲线中的定值问题 【例12】（24-25高二上·云南大理·期中）如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【变式12-1】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【变式12-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（    ） A． B． C． D．5 6．（2024高三·全国·专题练习）定义：直线叫作双曲线的准线．已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有 ． ①．②．③．④．若，则 三、解答题 10．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 11．（24-25高二上·广东梅州·期中）椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程. 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 13．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 椭圆、双曲线、抛物线（含直线与圆锥曲线的位置关系） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 【清单02】点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 【清单03】弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 【清单04】三角形面积问题 直线方程： 【清单05】焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 【清单06】平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【清单07】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 【考点题型一】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数 核心方法：联立+判别法 【例1】（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 【变式1-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆的短轴长和焦距均为. (1)求的方程； (2)若直线与没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得，得，则， 所以的方程为. （2）解：联立得， 因为与没有公共点，所以， 得或，即的取值范围为. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程； （2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. （2）由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 【变式1-3】（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、判断直线与抛物线的位置关系 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或1或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【考点题型二】中点弦问题 核心方法：点差法+韦达定理法 【例2-1】（24-25高二上·陕西·期中）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 【答案】(1)（且） (2)不可以，理由见解析 【知识点】求双曲线的轨迹方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由斜率公式化简即可得解； （2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解. 【详解】（1）由题意，显然且， 所以的方程为（且）； （2）设在曲线上（），且中点为， 则（且）， 所以， 所以直线为即，， 联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾， 故不符合题意； 设在曲线上（），且中点为， 但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾； 综上所述，不存在满足题意的直线的方程. 【例2-2】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点能否作一条直线，使直线与椭圆交于，两点，且使得是线段的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据椭圆的顶点及离心率即可得出椭圆方程； （2）当直线斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，根据根与系数的关系建立 方程求斜率即可得解. 【详解】（1）椭圆的顶点为，， 又，， ， 椭圆的方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，显然不成立， 设直线的斜率为，则其方程为：，如图，    联立方程组，消去并整理， 得：， 由在椭圆内部可知，方程有两不等实根， 设， ，且点是线段的中点， ，， 故存在这样的直线，方程为：，即， 【变式2-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)椭圆的方程为；抛物线的方程为 (2) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据椭圆方程和离心率可得，即可得椭圆方程，根据焦点可得抛物线方程； （2）设的坐标，利用点差法即可得斜率. 【详解】（1）由椭圆方程可知：， 因为，解得， 又因为，所以椭圆的方程为； 可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为， 可得，即 所以抛物线的方程为. （2）显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交， 如图所示： 设，中点为， 则，，， 因为两点在椭圆上， 可得，两式相减可得， 整理可得， 即，可得， 所以直线的斜率为. 【变式2-2】（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、抛物线的中点弦、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）因为，所以，即轴，因为抛物线的通径长为，代入即可得解； （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，然后利用点差法结合条件可得斜率进而即得, 【详解】（1） 因为， 所以，即轴. 令，可得， ，， 所以，得， 故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 【考点题型三】求弦长（定值） 核心方法：弦长公式 【例3】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)设是双曲线与圆在第一象限的交点，求的面积. (3)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）由已知，再将点代入双曲线方程可得解； （2）联立双曲线与圆可得点坐标，进而可得三角形面积； （3）由已知可得直线方程，联立直线与双曲线，结合韦达定理与弦长公式可得解. 【详解】（1）由已知双曲线的实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则， 解得， 则双曲线方程； （2）联立双曲线与圆的方程， 即，解得， 由点在第一象限，则， 又， 所以； （3）由已知直线，即，    联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长. 【变式3-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为. （2），所以直线， 联立方程组消得到， 设，则，， 所以. 【变式3-2】（陕西省汉中市2024-2025学年高二上学期11月期中校际联考数学试题）已知动点到点的距离与点到直线的距离相等. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）根据题意得到方程，化简得到； （2）设，，由中垂线方程得，结合 求出，得到的中点坐标，求出直线的方程，联立后，由弦长公式求出答案. 【详解】（1）设点，根据题意有， 上式两边同时平方得：，化简得， 点的轨迹的方程为. （2）设，，线段的中点， 线段的中垂线方程为， 直线的斜率， 由点，在抛物线上，可知， 两式相减得， 又，故， ，故， 直线的方程为，即， 联立方程消去整理得， 易知，， 即线段的长为. 【考点题型四】求弦长（最值或范围） 核心方法： 【例4】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，． (1)求抛物线的方程； (2)设线段的中点为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、求抛物线的切线方程 【分析】（1）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解， （2）根据中点坐标公式可得，进而利用导数求解斜率，根据点斜式求解切线方程，即可联立两直线方程得，根据弦长公式求解，即可代入化简求解. 【详解】（1）当的斜率为时，则，不妨设， 由可得，，所以， , 即，因为，解得：． 从而抛物线的方程为 （2）由题意可知直线有斜率， 设直线，， 由可得，，则 所以， 于是，即 而 由，则， 于是抛物线在点处的切线的方程为 即 同理可得，在点处的切线的方程为 联立，解得，于是 则 从而 所以，的取值范围是 【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2),． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可； （2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案． 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）因为左焦点， 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为为不等于0的实数），，，，， 由，可得， 则，，， 所以， 所以的中点为，， 所以线段的中垂线方程为：， 令，则，即点纵坐标为， 又因为是与轴交于负半轴，所以，， 又因为点的纵坐标的最大值为， 所以，解得， 又因为 ， 因为， 令，，由于函数在单调递增， 所以在,上单调递增， 所以，， 所以，， 即的取值范围为：,． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【变式4-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点. (1)求直线斜率的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线中的弦长、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）设，直线的方程为，与椭圆联立消x得，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m范围，即可得解. （2）利用弦长公式求解，利用垂径定理求得，从而求得的表达式，然后设，利用二次函数性质求解范围即可. 【详解】（1）设，由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为， 与联立得， 所以， 又两点在轴同一侧，所以.此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得，由得，所以或 因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是. （2）由（1）可得 . ， 所以 设，则， 所以的取值范围是.    【考点题型五】根据弦长求参数 核心方法： 【例5】（24-25高二上·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，已知点，动点C满足条件：的周长为，记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)设过点B的直线l与曲线W交于两点，如果，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、轨迹问题——椭圆、根据弦长求参数 【分析】（1）利用椭圆的定义求解椭圆方程即可； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，直线与椭圆联立，利用弦长公式计算即可. 【详解】（1），因为的周长为，所以， 所以点的轨迹满足椭圆的定义，，又因为，所以， 并且点不能在轴上，所以点的轨迹方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设，直线的方程为， 与椭圆方程联立得：， 所以， 由弦长公式得 解得， 所以的方程为或. 【变式5-1】（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，． (1)求E的方程； (2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程． 【答案】(1) (2)， 【知识点】根据韦达定理求参数、由弦长求参数、抛物线的中点弦、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）设，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式可得，分析可知，，代入运算即可； （2）根据（1）结论可得：，，利用弦长公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0， 此时直线AB、CD均与抛物线相交，    设，则， 联立方程，消去可得， 则， 可得， 若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可知：，，， 且， 则，即， 同理可得：， 由题意可知：， 则， 因为，解得， 则，，即，. 【变式5-2】（2024·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线方程即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，根据两点距离公式以及弦长公式可求解，即可代入化简求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为 （2）由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为， 联立可得， 由韦达定理可得， 由于，化简得， 故， , 故， 故，平方可得， 解得或， 由于与的两支分别交于，两点，故， 当时，代入不符合，故舍去， 将其代入，经检验符合， 综上可得 【点睛】关键点点睛：利用两点斜率公式以及弦长公式求解. 【考点题型六】抛物线非焦点弦问题 核心方法： 【例6】（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，. (1)求与的标准方程； (2)过点且与相切的直线与交于点，求. 【答案】(1)的标准方程为，的标准方程为 (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可求得的标准方程，再将点的坐标代入椭圆方程，即可得到的标准方程； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程，结合弦长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）记，则抛物线的方程为，其准线方程为. 因为，所以，解得，则的标准方程为. 不妨设点在第一象限，记，因为， 所以，解得.因为，所以，即. 由解得 所以的标准方程为. （2） 不妨设点在第一象限，则. 设直线. 联立得. 由，解得，则. 设. 联立得，则， 故. 【变式6-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知抛物线上一点的纵坐标为4，点到焦点的距离为5，过点做两条互相垂直的弦、． (1)求抛物线的方程． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)16 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意根据抛物线的定义得到，解得即可； （2）设直线方程为，且，，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，同理得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 由题可知， 解得或（舍）， 所以，抛物线的方程为． （2）依题意直线的斜率存在且不为， 设直线方程为，且，， 联立，可得，显然， 所以，， 则 ． 同理， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为16． 【考点题型七】抛物线焦点弦问题 核心方法： 【例7】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的通径问题 【分析】（1）根据点坐标可得两点坐标，利用可求的方程. （2）设直线的方程，与抛物线联立，结合过焦点的弦长公式可求直线的方程. 【详解】（1） 由题意得，， 把代入得，即， ∴，解得， ∴的方程为：. （2） 由（1）得直线斜率存在，， 设， 由得，， ∴， 由得，，解得， ∴直线的方程为或. 【变式7-1】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【答案】(1) (2)1 【知识点】三角形面积公式及其应用、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线联立，求出，的值，进而得出，则由求出的面积； （2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求. 【详解】（1）因为抛物线，焦点为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立得，则，，， 则， 又 所以，. （2）因为直线经过点且与交于点，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为， 组成方程组，则有， 则，，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且， 所以中点纵坐标为，此时中点到轴的距离为， 根据对称性，当时，中点到轴的距离也为， 所以线段的中点到轴的距离为. 【考点题型八】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（定值问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离 【例8】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知椭圆分别为左右焦点，短轴长为2，点为椭圆在第一象限的动点，的周长为. (1)求的标准方程； (2)若，求点的坐标； (3)若，直线交椭圆于E，F两点，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）利用余弦定理可得，设，利用面积和方程运算求解即可； （3）联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系分析求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程. （2）由（1）可知：，且， 由余弦定理可得， 即，解得， 设， 由的面积可得， 即，解得， 且，则，可得， 所以点的坐标为. （3）因为直线过定点，且点在椭圆C内， 则直线与椭圆C必相交，设， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 则的面积为，解得（负值舍去）， 所以的值为. 【变式8-1】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限 (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求解即得. （2）设直线方程为，与双曲线的渐近线方程结合求出点的坐标并代入双曲线方程，再求出的纵坐标差的绝对值即可求出面积. 【详解】（1）依题意，，双曲线的渐近线为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线方程为，则直线交轴于点， 由（1）知，双曲线的渐近线为，设， 由消去得， 则，， 有，由，得为线段中点，点， 而点在双曲线：上，于是，整理得， 又， 所以的面积. 【变式8-2】（23-24高二下·重庆·期中）已知点，在抛物线上. (1)若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离； (2)若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积. 【答案】(1)点到轴的最短距离为，点的坐标为或 (2)或 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线定义以及三角形的边长之间的不等式得到点到轴的最短距离，根据点到轴的最短距离可知三点共线，然后联立直线方程和抛物线方程，利用韦达定理即可求解； （2）由题意可得，且，设直线的方程为，联立方程，利用弦长公式求出，再根据直线和直线之间的距离等于，可求出，进而可得出答案. 【详解】（1）由抛物线方程可知，其焦点，准线方程：， 从而，当且仅当三点共线时，不等式取等号， 设线段的中点为到轴的距离为， 由抛物线定义和梯形中位线性质可知，，即， 从而点到轴的最短距离为， 不妨设，且此时三点共线， 不妨设，，直线的方程为：， 由， 恒成立， 则，， 从而，即， 从而，即， 故点的坐标为或； （2）由题意可得，且， 设直线的方程为， 则直线和直线之间的距离， 联立，消得， ，所以， 设，， 则， 所以， 所以，解得或， 当时，，此时正方形的面积为， 当时，，此时正方形的面积为， 综上所述，正方形的面积为或. 【考点题型九】圆锥曲线中的三角形（四边形）面积（最值或范围问题） 核心方法：面积公式+弦长公式+点到直线的距离+基本不等式+一元二次函数 【例9】（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点满足：． (1)求动点E的轨迹方程； (2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义即可得到，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，设直线为，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到面积的表达式，再由函数的单调性即可得到其范围. 【详解】（1）由，得， 所以动点E的轨迹是以，为焦点，为长轴长的双曲线， 而且，，， 所以所求轨迹方程为. （2） 由题意可知且，∴四边形ABCD为平行四边形， 直线AB，CD的斜率必不为0，所以可设直线为，，， 联立， 化简得， 所以， 解得， ∴， 原点O到直线的距离为， 所以， 令，又，则， 记，易知在单调递增， 所以当，即时，有最小值6，时，， 所以， 故平行四边形ABCD的面积的取值范围为． 【变式9-1】（24-25高二上·北京·期中）已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）利用，两点坐标，求出，再利用求出，进而得到椭圆方程与离心率； （2）联立椭圆方程与直线方程，求出AB弦长，再求出点O到AB的距离，求出三角形AOB面积，研究该函数的最值即可. 【详解】（1）解：和为椭圆上的两点， 所以，解之得，，又因为，所以. 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）解：联立方程，消去得， 因为， 所以设交点，，则，， 所以 . 又因为点到直线的距离为， 所以三角形AOB面积 令， 则 （当且仅当即时，等号成立）， 也就是当时，三角形AOB面积取最大值 又因为当时，， 所以三角形AOB面积的取值范围是. 【变式9-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 【考点题型十】圆锥曲线中的向量问题 【例10】（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 【变式10-1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点 (1)求△的周长； (2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程； 【答案】(1) (2) 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、根据韦达定理求参数、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】（1）先由曲线E的标准方程求得，再利用椭圆的定义即可得解； （2）设，由题意设直线AB：，联立方程，结合韦达定理得到再由得到，从而求得的值，由此可得直线AB的方程； 【详解】（1）∵曲线E： ∴，则 ∴ ∴，， 故△的周长为. （2）依题意，知直线AB斜率存在且不为，设直线AB：， 设 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得： 因为, 所以  则， 从而有, 消去，得，即 所以直线AB的方程为，即.    【变式10-2】（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的参数范围问题、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）将点代入求参数，即可得准线方程； （2）设且，联立抛物线结合判别式求参数范围； （3）根据题意，设直线，和，由向量的线性关系求得、，应用韦达定理化简求值即可. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以，而，， 所以. 【考点题型十一】圆锥曲线中的定点问题 【例11】（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    【变式11-1】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知椭圆的右焦点在直线上，分别为的左､右顶点，且. (1)求的标准方程； (2)设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）先求出点的坐标，得出椭圆的半焦距，进一步求得与的值，结合椭圆的几何性质可出答案. （2）设直线方程为，联立椭圆方程消去，利用韦达定理代入，然后可得，即可得证. 【详解】（1）由直线与轴的交点为，得椭圆右焦点的坐标为，故， 由题意可得，得， . 椭圆的方程为：； （2）由的方程可知， 若直线的斜率不存在，则关于轴对称，直线与的斜率互为相反数，不符合题意； 故设直线的方程为，且均不与重合， 由得， ， ， ， ， 令，解得， 直线的方程为，即， 直线过定点. 【变式11-2】（24-25高二上·辽宁·期中）在平面直角坐标系中，，分别为双曲线的左､右焦点，已知，为双曲线上的两动点，若点的横坐标为3，则的长为. (1)求的方程； (2)设，，记的面积为，的面积为，若，求的取值范围； (3)已知点在轴上方，直线过双曲线的右焦点且与轴交于点，若的延长线与交于点，问是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦距、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】(1)由双曲线基本性质列式计算可得； (2)由面积公式，结合不等式计算求解可得； (3)根据向量坐标表示计算求解可得. 【详解】（1）设，由点为双曲线上的一点，得① 因为，所以，得②， 又③，由①②③得，， 所以双曲线的方程为； （2）设，因为，， 所以，. 由，得， 即，又，则，解得， 所以， 即的取值范围是； （3）不存在轴上方的点使得成立. 理由如下： 设，，，， ①当直线的斜率大于零时，由图象对称性，可知，关于轴对称， 则，其中，，又，， 所以，，， 则， 同理， 由，得， 因此，所以， 设直线，由消去， 得，且， 所以，故， 又，所以，， 由，得，所以此时这样的点不存在. ②当直线的斜率小于零时，由图象对称性，可知，关于轴对称， 则，又， 所以此时这样的点不存在. 综上，不存在满足条件的点. 【考点题型十二】圆锥曲线中的定值问题 【例12】（24-25高二上·云南大理·期中）如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据，结合椭圆的定义即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据向量的坐标运算表示，且，代入化简即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点，所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去整理得，恒成立， 所以， 又因为直线与轴的交点为，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且， 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值． 【变式12-1】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②存在，. 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）设点，结合斜率的两点式及斜率乘积为1列方程求轨迹； （2）①设直线的方程为，联立曲线，应用韦达定理及求参数t，即可证定点；②应用面积公式即可判断面积比是否为定值. 【详解】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 【变式12-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、求抛物线的切线方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，则，， 而，， 所以. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【知识点】求椭圆中的最值问题 【分析】设，则，把转化成二次函数的最值问题求解. 【详解】设，则，，. 易知， 所以，. 当时，有最大值，为：. 所以的最大值为：. 故选：A 2．（24-25高二上·山西·期中）已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意可得，， 则，两式相减可得， 所以，，解得， 因此，直线的斜率为. 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】D 【知识点】根据弦长求参数 【分析】设出直线的横截式方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出值，则结果可求. 【详解】设， 联立，消去化简整理得， 所以， 于是 ， 解得， 故直线的方程为， 令，解得，所以直线在轴上的截距为， 故选：D. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据韦达定理求参数 【分析】求出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理列式求解即得. 【详解】直线的斜率，其方程为， 由消去得，， 由AB的中点坐标为，得，整理得，而， 解得，此时，， 所以C的方程为. 故选：A 5．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线定义的理解 【分析】根据焦点可得，即可根据圆心到轴距离以及圆的半径可得圆与与相切，即可求解，可得，联立直线方程与抛物线方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式以及点到直线距离求解面积. 【详解】由题意知 ，解得 ，所以抛物线 ， 设 坐标为 , 又抛物线的焦半径可知,故圆的半径为 故以为直径的圆的圆心圆心到轴的距离为 以为直径的圆的与相切，且切点为(0,2)，故因此，故 ， 直线 为 ， 联立 ，消去 得， ，所以 ， . O 到直线 的距离 ， 所以 的面积为 故选：B 6．（2024高三·全国·专题练习）定义：直线叫作双曲线的准线．已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】由椭圆和双曲线的性质求解参数，然后再由直线和椭圆联立方程来研究至多一个交点的充要条件是，即可作出选项的判断. 【详解】曲线的右准线是，它过椭圆的右焦点， 所以，所以，所以椭圆方程为．①， 把代入①，得，②， 由②的判别式，得，得到， 所以，直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是， 故选：A． 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线中的弦长、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于异于原点的，两点，若在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数、根据抛物线方程求焦点或准线、根据韦达定理求参数 【分析】设直线的方程为，，，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到，进而得到，根据四边形是平行四边形，利用向量相等求出，最终求出的值. 【详解】 由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，所以， 四边形是平行四边形， ，即， ，， 解得， ， ，. 故选：B. 二、填空题 9．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有 ． ①．②．③．④．若，则 【答案】②③④ 【知识点】椭圆中的定值问题、求椭圆中的弦长 【分析】设，利用点的坐标表示出，然后整理可判断①②③；求出直线的方程，与椭圆联立，利用弦长公式求即可判断④. 【详解】设，且， 对于①：，不为定值，① 错误； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确； 对于④：当时，联立，解方程组得，不妨取， 由选项③得，则直线的方程为， 联立，消去得， 则，④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题 10．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)求中点E的轨迹方程； (3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据条件列的关系式求解即可. （2）设直线方程，与椭圆联立可表示点，根据点横、纵坐标之间的关系可得轨迹方程. （3）根据韦达定理代入中即可得到定值. 【详解】（1）由题意得，， 又∵，∴， ∴椭圆的方程为. （2）设直线方程为，， 由得，， 由得，， 则， ∴， ∵E为中点，∴，即， 设，则， 由得， 故中点E的轨迹方程为. （3）由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ， ∴为定值. 11．（24-25高二上·广东梅州·期中）椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由短轴长为，离心率为可求得的值，则椭圆的方程可求； （2）设直线的方程为，由得，结合韦达定理化简即可求得k值，则直线的方程可求. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点在轴上，设方程为. 因为短轴长为，离心率为，所以. 又因为，故. 所以曲线的方程为. （2）由（1）可知点在椭圆外，所以过该点的直线的斜率必然存在. 可设直线的方程为，联立， 得， ， 设，由根与系数的关系可知：， . 由得，即， 解得：，符合， 所以直线的方程为或. 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. (1)求椭圆的方程; (2)若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据顶点和离心率，列方程即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，即可根据两点斜率公式，结合韦达定理，代入化简即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为 （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 由判别式，可得， 所以，易得， 所以， 所以 13．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【知识点】抛物线中的定值问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式即可求解； （2）设，直线和直线的斜率分别为，结合韦达定理得到由其为定值即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$