精品解析：吉林省长春市净月高新技术产业开发区华岳学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025——2026学年第一学期 华岳学校九年级综合练习（数学）试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 在实数，，0，中，最小的实数是（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】∵， ∴在实数，，0，中，最小的实数是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 华为麒麟9000芯片内有153亿个晶体管，153亿这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 先将153亿写成15300000000，再写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：153亿． 故选D． 3. 进入冬季，长春各个景区制作了大量的冰雕和雪雕作品供游人参观．图①是一个冰雕作品，图②是作品中的冰台阶造型，这个冰台阶如图②所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为； 故选B． 4. 下列运算与的结果相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．运用分配律和根式乘法规则计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 5. 关于的方程根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有无数个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式的意义．通过计算判别式的值得出，判别式时，方程有两个不相等的实数根即可求解． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根 故选：A． 6. 二次函数的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点式，对称轴为直线. 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线. 故选：B． 7. 九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8. 初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（ ） A. 甲乙丙丁 B. 丙甲丁乙 C. 甲丁乙丙 D. 乙甲丁丙 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定各级部人数的大小关系． 【详解】解：根据题意，可知的值即为该级部的优秀人数， ∵描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴甲、丁两级部的优秀人数相同， ∵点乙在反比例函数图象上面， ∴乙级部的的值最大，即优秀人数最多， ∵点丙在反比例函数图象下面， ∴丙级部的值最小，即优秀人数最少， ∴乙甲丁丙， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 16的算术平方根是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，算术平方根是指一个非负实数的非负平方根，由此可解． 【详解】解：16的算术平方根为， 故答案为：4． 10. tan30°＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接填空． 【详解】解：tan30° 故答案为： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 11. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将一般式化为顶点式，即可求解． 【详解】解： 故顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为________． 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线及平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线及平行四边形的性质与判定是解题的关键；由三角形中位线可知，则有四边形是平行四边形，然后问题可求解． 【详解】解：∵、、分别是的、、边中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 故答案为． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 14. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．根据正方形的性质及各角之间的关系可证明①；由勾股定理及相似三角形的判定可证明②；根据相似三角形的性质可证明③由各角之间的关系及垂直的性质可证明④． 【详解】解：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴，故③错误； 延长交于点， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解． 【详解】解：原式 ， 将，代入得： 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键． 16. “白山松水，吉祥吉林”，冬季的吉林省银装素裹展芳华，2025年吉林省围绕“冰雪新消费·共享新未来”主题，全域联动开展瓦萨国际滑雪节、查干湖冬捕、雾凇冰雪节、长白山粉雪节等精彩活动．下面4张图片分别是A：瓦萨滑雪节；B：查干湖冬捕；C：雾凇冰雪节；D：长白山粉雪节的宣传图片，小鹿同学随机从这四张图片中抽出两张，请用画树状图或列表的方法求小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的概率． A． B． C． D． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的结果数有6种， ∴小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的概率是． 17. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形与菱形的判定；解题关键是熟练掌握正方形的性质和平行四边形的判定和性质是解题的关键． 连接正方形对角线，利用正方形对角线垂直且平分的性质，结合推出，证得四边形是平行四边形，再由对角线垂直证得该平行四边形是菱形． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴，且与互相平分，即，， ∵， ∴，即． ∴四边形是平行四边形． ∵正方形中，即平行四边形的对角线互相垂直． ∴四边形是菱形． 18. 河南泡泡玛特创始人设计名为Labubu的潮玩玩偶，风靡全球消费市场．某商场第一次用1200元购进一批“Labubu玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“Labubu”玩偶时，进价提高了，同样用1200元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是多少钱？ 【答案】第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是20元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是x元，则第二次购进时每件的进价为元，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：设第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是x元，则第二次购进时每件的进价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解； 答：第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是20元． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连接、，使． （2）在图②中，连接、、，使． （3）在图③中，在边上找格点，连接，使的面积是面积的2倍． 【答案】（1）见解析（答案不唯一） （2）见解析 （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得； （2）连接，取中点M，结合勾股定理得； （3）在边上找格点，使，然后连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点M即为所求； 【小问2详解】 如图所示，点M即为所求； 【小问3详解】 如图所示，点M即为所求； 20. 为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人． 次数x分组 频数 2 6 10 2 （1）补全频数分布直方图． （2）抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________． （3）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 【答案】（1）见解析 （2）“”组 （3） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数的概念以及用样本估计总体，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）根据在“”组频数为，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：补全频数分布直方图如图： 【小问2详解】 解：由频数分布表可得，“”组人数是2，“”组人数是， 由中位数的定义可得，中位数为第10，11个数据， 而“”组人数为， ∴中位数位于的组别是“”组， 故答案为：“”组； 【小问3详解】 解：， 答：该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数是． 21. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，并不再自动加热．某数学小组对壶中水量（单位：），水温（单位：）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1 从开始加热至水量与时间对照表 表2 水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数： （1）表2中的值为________． （2）求从加热到过程中，时间与水量之间的函数关系式． （3）某天小明往水壶中注入温度为的水，并立即加热，则将水加热到需要的时间为________分钟． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）利用一次函数关系求； （2）观察根据表1数据，符合一次函数，设，待定系数法求与的函数关系； （3）根据（1）可得对于水，加热速率相同， /分 【小问1详解】 解：∵对于水，是的一次函数，设， 从表2知时，，时，， ∴，解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 观察根据表1数据，符合一次函数，设， 取点，和，， ，解得：， ； 【小问3详解】 ∵对于1L水，加热速率相同， /分 初始温度， ∴ 当时， 解得： ∴需要5分钟 故答案为：． 22. 如图①，正六边形对角线的交点称作正六边形的中心，中心到顶点的线段称作正六边形的半径．研究发现正六边形半径将其分割成6个全等的等边三角形． 【探究一】如图②，以正六边形一组对边为对边的矩形，其长边长为，求这个正六边形的半径． 【探究二】如图③，若将一个矩形放在正六边形中，、为正六边形边的中点，且正六边形能完全覆盖住这个矩形．已知，为保证正六边形能完全覆盖矩形，则矩形的边长不能超过________． 【答案】[探究一]；[探究二] 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质． [探究一]根据正六边形的性质求出，继而求得，，然后解求出，即可求解正六边形的半径； [探究二]先证明出，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：（1）在正六边形中，，， ∴， ∴ 由等边三角形可得，， ∴， ∴这个正六边形的半径为； （2）如图， 由题意得，， ∴ ∴为等边三角形，而为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴为等边三角形， ∴ 同理， ∴， ∴ ∵矩形中，， 又∵， ∴ ∴在中，， ∵为保证正六边形能完全覆盖矩形， ∴， ∴矩形的边长不能超过， 故答案为：． 23. 在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，当过点作，交边于点E，F为中点，以为直角边，点为直角顶点，作等腰直角，使点和点位于的两侧，当点与点重合时，运动停止．设点的运动时间为t秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）当直线经过点时，求的值． （3）当点落在边的高上时，直接写出值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理及正方形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理及正方形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意易得是等腰直角三角形，则有，由（1）可知：，，然后问题可求解； （3）由题意易得，则有四边形是正方形，然后可得，进而可建立方程进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 设，则有， ∴， 由题意得：， ∴， ∵F为中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵直线经过点， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：如图，是边上的高， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，点落在边的高上， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知二次函数的图象经过点，与轴的正半轴交于点，点和点是此二次函数图象上的两个点，其横坐标分别为和，且点在直线上方．过点作轴于点，交于点，连接、、． （1）求此二次函数的表达式． （2）求证：． （3）求的最大值． （4）当该抛物线位于直线上方部分的函数最小值大于5时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可得，然后可得直线的解析式为，由题意可知：，则有，进而根据三角形的面积可进行求解； （3）由（2）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解； （4）由二次函数可知对称轴直线，当时，则有，由题意易得点，然后可分类进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：二次函数的表达式为， ∴令时，则有，解得：， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 由题意可知：， ∵轴于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知：， ∴， ∵点在直线上方，即， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：由二次函数可知对称轴为直线， 当时，则有，解得：， 由题意可得：点， 当点P、Q关于二次函数的对称轴对称时，则有， 解得：， ∴， 此时满足抛物线位于直线上方部分的函数最小值大于5， 当时，最小值为点P所对应的函数值， ∴当抛物线位于直线上方部分的函数最小值大于5，则需满足； 当时，则最小值为点Q所对应的函数值， ∴当抛物线位于直线上方部分的函数最小值大于5，则需满足， 解得：， ∴， 综上所述：当抛物线位于直线上方部分的函数最小值大于5，则的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第一学期 华岳学校九年级综合练习（数学）试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 在实数，，0，中，最小的实数是（ ）． A. B. C. 0 D. 2. 华为麒麟9000芯片内有153亿个晶体管，153亿这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 进入冬季，长春各个景区制作了大量的冰雕和雪雕作品供游人参观．图①是一个冰雕作品，图②是作品中的冰台阶造型，这个冰台阶如图②所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算与结果相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程根的情况是( ) A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 有无数个实数根 6. 二次函数的对称轴是（） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x轴表示级部参赛人数，y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（ ） A. 甲乙丙丁 B. 丙甲丁乙 C. 甲丁乙丙 D. 乙甲丁丙 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 16的算术平方根是________． 10. tan30°＝______． 11. 抛物线的顶点坐标是________． 12. 如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为________． 13. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 14. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论序号为________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. “白山松水，吉祥吉林”，冬季的吉林省银装素裹展芳华，2025年吉林省围绕“冰雪新消费·共享新未来”主题，全域联动开展瓦萨国际滑雪节、查干湖冬捕、雾凇冰雪节、长白山粉雪节等精彩活动．下面4张图片分别是A：瓦萨滑雪节；B：查干湖冬捕；C：雾凇冰雪节；D：长白山粉雪节的宣传图片，小鹿同学随机从这四张图片中抽出两张，请用画树状图或列表的方法求小鹿抽出的两张图片中有A瓦萨滑雪节图片的概率． A． B． C． D． 17. 如图，E，F是正方形对角线上的两点，，连接，，，．求证：四边形是菱形． 18. 河南泡泡玛特创始人设计名为Labubu的潮玩玩偶，风靡全球消费市场．某商场第一次用1200元购进一批“Labubu玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“Labubu”玩偶时，进价提高了，同样用1200元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“Labubu”玩偶每件的进价是多少钱？ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： （1）在图①中，连接、，使． （2）在图②中，连接、、，使． （3）在图③中，在边上找格点，连接，使的面积是面积的2倍． 20. 为了解某校八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这个年级中随机抽取20名学生进行调查，制作了频数分布表，并绘制了频数分布直方图．已知这个年级的学生人数为200人． 次数x分组 频数 2 6 10 2 （1）补全频数分布直方图． （2）抽取的20人参加公益活动次数的中位数位于的组别是________． （3）请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数． 21. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，并不再自动加热．某数学小组对壶中水量（单位：），水温（单位：）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1 从开始加热至水量与时间对照表 表2 水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数： （1）表2中的值为________． （2）求从加热到过程中，时间与水量之间的函数关系式． （3）某天小明往水壶中注入温度为的水，并立即加热，则将水加热到需要的时间为________分钟． 22. 如图①，正六边形对角线的交点称作正六边形的中心，中心到顶点的线段称作正六边形的半径．研究发现正六边形半径将其分割成6个全等的等边三角形． 【探究一】如图②，以正六边形一组对边为对边的矩形，其长边长为，求这个正六边形的半径． 【探究二】如图③，若将一个矩形放在正六边形中，、为正六边形边的中点，且正六边形能完全覆盖住这个矩形．已知，为保证正六边形能完全覆盖矩形，则矩形的边长不能超过________． 23. 在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，当过点作，交边于点E，F为中点，以为直角边，点为直角顶点，作等腰直角，使点和点位于的两侧，当点与点重合时，运动停止．设点的运动时间为t秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）当直线经过点时，求的值． （3）当点落在边的高上时，直接写出值． 24. 如图，已知二次函数的图象经过点，与轴的正半轴交于点，点和点是此二次函数图象上的两个点，其横坐标分别为和，且点在直线上方．过点作轴于点，交于点，连接、、． （1）求此二次函数表达式． （2）求证：． （3）求的最大值． （4）当该抛物线位于直线上方部分的函数最小值大于5时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $