精品解析：广东省韶关市新丰县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025—2026学年第一学期高一12月数学考试试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 3. 幂函数经过点，则是（ ） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 偶函数，且在上是减函数 C. 奇函数，且在是减函数 D. 非奇非偶函数，且在上是增函数 4. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 11. 已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的最小值是__________． 13. 已知偶函数满足：当时，，则时，______. 14. 已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 17. 为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（为常数），如图所示． 据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）药物释放完毕后，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 18. 已知函数，. （1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 19. 已知函数. （1）是否存在实数使函数为奇函数； （2）探索函数的单调性； （3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期高一12月数学考试试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 2. 设，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】指数式化为对数式，然后利用对数换底公式进行计算. 【详解】因为，所以， . 故选：C 3. 幂函数经过点，则是（ ） A. 偶函数，且在上是增函数 B. 偶函数，且在上是减函数 C. 奇函数，且在是减函数 D. 非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义，设出解析式，代入点的坐标即可求得幂函数解析式；由奇偶性及单调性定义即可判断. 【详解】为幂函数，设， 因为幂函数经过点，代入可得， 所以， 则，定义域， 而，所以为偶函数， 由二次函数性质可知在上是增函数， 故选：A. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，函数奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题. 4. 若集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】求定义域和解不等式得到，求出交集，得到子集个数. 【详解】，解得，， 故，，故子集个数为. 故选：B 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的“同增异减”性质求解. 【详解】由对数函数的定义域知： ，即 的定义域为 ， 是减函数，当 时， 也是减函数，当 时，是增函数， 所以 的单调递增区间是 ； 故选：A. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，， 所以的大小关系为. 故选：A 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的零点，判断选项. 【详解】函数的定义域为，，所以是偶函数，故排除C，，得，所以函数有2个零点，排除BD. 故选：A 8. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，函数在个区间上递减，且左边函数在右端点值大于右边函数的左端点值，建立不等式组，求得范围. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是. 故选：D 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，结合选项，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由，所以，所以A正确； 对于B，由对数的运算法则，可得，所以B错误； 对于C，由指数幂的运算法则，可得，所以C正确； 对于D，由对数的运算法则，可得，所以D不正确. 故选：AC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 幂函数在上为减函数，则的值为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可判断A，根据指数函数的性质即可求解B，由单调性及偶函数性质即可判断C，根据幂函数的性质即可判断D. 【详解】对选项A：命题“”的否定为“”，故A错误； 对选项B：令，得，则， 得的图象恒过定点，故B错误； 对选项C：函数在是减函数，由， 得， 由于是定义在上的偶函数，则， 得，故C正确； 对选项D：因为为幂函数， 所以或， 又在上为减函数，所以，故，所以D正确. 故选：CD 11. 已知函数的定义域为， 对于任意实数满足:， 当时，， 则（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求，判断A；根据函数单调性的定义判断B；根据奇偶性的定义判断C；利用是奇函数，且是减函数解不等式，可判断D. 【详解】因为函数的定义域为，对于任意实数满足:， 对于A，令，则，所以. 所以A正确. 对于B，令，则，，所以. 所以，所以为上的减函数. 所以B错误. 对于C，因为函数的定义域为，所以的定义域为. 令，则，即. 所以为奇函数.所以C正确. 对于D，由B，C可得为上的减函数，且是奇函数. 因为，所以. 所以，即，解得. 的取值范围为.所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由指数函数单调性、复合函数单调性即可求解. 【详解】由于关于在定义域内单调递增，关于在定义域内单调递减， 所以由复合函数单调性可知函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是. 故答案为：. 13. 已知偶函数满足：当时，，则时，______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得结果. 【详解】设，则，则. 故答案为：. 14. 已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的解析式，作出的图象，由题意得图象与图象有四个不同的交点，根据二次函数的对称性，可得，根据对数的性质，可得，分析可得的范围，代入所求，化简整理，即可得答案. 【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）或 【解析】 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义判断； （3）将转化为求解. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 16. 已知函数的定义域为集合，集合. （1）若，求、； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合，利用集合的并集和补集运算以及交集运算即可求解； （2）由得，分和两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以的定义域为， 当时，， 所以， ， 所以； 【小问2详解】 由，所以， 当时，所以， 当时，， 综上所述，， 所以. 17. 为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（为常数），如图所示． 据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）药物释放完毕后，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）确定函数模型，利用待定系数法求解即可; （2）要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下，只需,计算即可. 【小问1详解】 结合图象，当时，由药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，故可设直线为， 因为在在上，所以，解得， 所以当时，此时的函数关系为； 当时，y与t的函数关系式为， 由图可知经过，所以，解得， 所以当时，y与t的函数关系式为. 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 药物释放完毕后，要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下， 只需，解得. 所以从药物释放开始,至少需要经过小时,学生才能回到教室. 18. 已知函数，. （1）若不等式对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先判断时是否合题意，当时，结合二次函数的图象开口向下，且与x轴无交点，列式求解即可； （2）分，，讨论即可，其中，时还要比较对应一元二次方程的两个根的大小关系. 【小问1详解】 ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，由已知可得，解得. 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 不等式可化为，即， ①当时，可化为，得，原不等式的解集； 当时，方程的两根为和2， ②当时，可化为，解得，原不等式的解集为； ③当时，解得或，则原不等式的解集为或； ④当时，解得，则原不等式的解集为 ⑤当时，解得或，则原不等式的解集为或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 19. 已知函数. （1）是否存在实数使函数为奇函数； （2）探索函数的单调性； （3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）存在； （2）在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质进行判断即可； （2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断即可； （3）根据函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【小问1详解】 假设存在实数使函数为奇函数， 此时，解得， 故存在实数，使函数为奇函数； 【小问2详解】 函数的定义域为. ，且， ， 即函数在上单调递增； 【小问3详解】 当时，， 是奇函数， ， 又在上单调递增，， ，对恒成立，. 【点睛】关键点睛：根据奇函数的性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $