第六章 平面向量及其应用单元测试-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【解析】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】由，则，得. 故选：D. 3．在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 4．若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】. 故选：A. 5．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 6．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 7．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当与不共线时，如图设AC中点为D，由， 因，则B，O，D三点共线，由圆的性质知， 故. 当与共线时，由和可得, 但此时是圆的直径，则,与题设不符. 综上，可得. 故选：B 8．在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，作， 在中，由平面向量的加法法则得的最小值为点到的距离，即， 又，所以，为等腰直角三角形， 又因为，，，， 所以点在线段上，所以的最大值即为的长， 在中，，由知， ，即， 所以的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（    ） A． B． C． D．存在实数，使得与共线 【答案】BCD 【解析】由题意可得：. 对于选项A：因为，所以不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，， 若与共线，则，解得， 所以当时，与共线，故D正确. 故选：BCD. 10．已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】∵，∴，即， ，∴，∴A选项错误； ，B选项正确； ，∴，C选项正确； 在上的投影向量：，D选项正确. 故选：BCD. 11．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】利用二倍角公式，将展开： 代入已知条件， 化简得：，选项B正确； 令，则， 因为，则， 若为锐角三角形，则，即，则， 所以，矛盾，故，即， 三角形面积，故，由，得， 而，平方得：， 故，选项A正确； 由勾股定理，，结合（），得：， 代入，解得，即，选项C错误； 由，得，选项D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【答案】2 【解析】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 13．在中，已知，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【解析】根据正弦定理和余弦定理，可化为， ∴，即，则， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形 14．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为 .    【答案】 【解析】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为． (1)用，表示，； (2)求的值； (3)当与垂直时，求实数t的值． 【解析】（1）由，则， 所以， 依题意可得． （2）结合（1）有，， 所以 ． （3）由与垂直，且结合（2）有， 则 ， 解得． 16．（15分） 已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. （2）因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 17．（15分） ，且， (1)用表示数量积； (2)当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 【解析】（1）由可得， 将两边同时平方可得， 因此可得 （2）当时，可得， 由（1）可知， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为，此时相应的值为； （i）设此时夹角为， 所以，又， 因此可知； 即此时夹角为； （ii）此时在上投影向量的模为. 18．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角A的取值范围； （ⅱ）设，求面积的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 而，从而，所以， 又因为，所以； （2）（ⅰ）显然是锐角， 需满足，解得， 故角A的取值范围为； （ⅱ）因为，，所以， 由正弦定理有，所以， 所以， 因为角A的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 的取值范围为，的取值范围为， 故. 19．（17分） 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【解析】（1）∵， 由余弦定理：， ∵，∴． （2）∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得： ① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴． （3）设，，（λ，） ∴，， ， ∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得， ， ． ∴ ， ∵，而， ∴， ∴． 第2页，共13页 案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D． 3．在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 5．如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知O为△ABC的外接圆的圆心，，，若，且，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，，当时，的最小值为2．若，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（    ） A． B． C． D．存在实数，使得与共线 10．已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 11．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 13．在中，已知，则的形状是 ． 14．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，P为AB边上一点，且，，，且，的夹角为． (1)用，表示，； (2)求的值； (3)当与垂直时，求实数t的值． 16．（15分） 已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 17．（15分） ，且， (1)用表示数量积； (2)当时，求的最小值，及相应的值. （i）求此时夹角， （ii）求此时在上投影向量的模. 18．（17分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角A的取值范围； （ⅱ）设，求面积的取值范围． 19．（17分） 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． (1)求边c的长度； (2)求； (3)设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 第4页，共4页 案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $