6.1平面向量的概念（5大题型）（训练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

6.1平面向量的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：向量的概念 2 题型二：向量的几何表示 2 题型三：几种特殊向量 3 题型四：平面几何中的应用 4 题型五：现实问题中的应用 5 02 重难点拓展 7 题型一：向量的概念 1．（2025·高一·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 2．（2025·高一·安徽蚌埠·月考）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 3．（2025·高一·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 题型二：向量的几何表示 4．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 6．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 题型三：几种特殊向量 7．（2025·高一·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 8．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 9．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 题型四：平面几何中的应用 10．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去. （1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？ （2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作. 11．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 12．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 题型五：现实问题中的应用 13．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 14．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 15．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点 （1）作出向量，，(表示200m)； （2）求的模. 1．（2025·高三·江西赣州·期中）已知，则“向量共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．（2025·高一·四川广安·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 3．（2025·高一·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 4．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 5．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 6．（2025·高二·全国·竞赛）设是单位向量，，则四边形是（    ）． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 7．（2025·高一·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·高一·北京·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 9．（2025·高一·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 10．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高一·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 12．（多选题）（2025·高一·四川·月考）下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 13．（多选题）（2025·高一·黑龙江牡丹江·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 14．（多选题）（2025·高一·河北保定·月考）下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 15．（多选题）（2025·高一·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 16．（多选题）下列说法中错误的是（    ） A．若||=||，则= B．若≠，则||≠|| C．零向量的长度为0 D．若则 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1平面向量的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：向量的概念 2 题型二：向量的几何表示 2 题型三：几种特殊向量 4 题型四：平面几何中的应用 5 题型五：现实问题中的应用 7 02 重难点拓展 10 题型一：向量的概念 1．（2025·高一·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【解析】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 2．（2025·高一·安徽蚌埠·月考）下列各量中是向量的为（    ） A．时间 B．体积 C．重力 D．密度 【答案】C 【解析】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 3．（2025·高一·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【解析】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D 题型二：向量的几何表示 4．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【解析】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 6．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解析】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 题型三：几种特殊向量 7．（2025·高一·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【解析】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B. 8．如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【解析】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 9．如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【解析】如图所示，满足与平行且长度为的向量有，，，，，，，，共8个． 题型四：平面几何中的应用 10．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去. （1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？ （2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作. 【解析】    记出发点A. （1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m. （2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m； 当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m； 当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m. 11．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    12．在平行四边形中，，分别为边、的中点，如图． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：． 【解析】（1）据题意，与向量共线的向量为：, ； （2）证明：是平行四边形，且，分别为边，的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ，且， ． 题型五：现实问题中的应用 13．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 14．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 15．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点 （1）作出向量，，(表示200m)； （2）求的模. 【解析】（1）根据题意，如图所示. （2）由题意及（1）可得，四边形为平行四边形,所以. 1．（2025·高三·江西赣州·期中）已知，则“向量共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【解析】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立； 若，而，则向量同向共线，必要性成立； 所以“向量共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2025·高一·四川广安·月考）下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误； 对于B：与是平行向量,故B错误； 对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：C 3．（2025·高一·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 4．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【解析】因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故D错误． 故选：A． 5．下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【解析】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 6．（2025·高二·全国·竞赛）设是单位向量，，则四边形是（    ）． A．梯形 B．无特殊限制的菱形 C．正方形 D．无特殊限制的矩形 【答案】B 【解析】因为是单位向量，所以，， 所以，即一组对边平行且相等， 所以四边形为平行四边形，故A选项错误； 又因为，所以四边形为菱形，故D答案错误； 再由题意中未给出垂直条件也未给出向量间的夹角，所以C选项错误； 所以四边形为无特殊限制的菱形. 故选：B. 7．（2025·高一·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 8．（2025·高一·北京·期中）给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误， 对于B，若，，则，∴B正确， 对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误， 对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误. 故选：B． 9．（2025·高一·陕西渭南·期末）设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】因为，， 所以，即，， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 10．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 11．（多选题）（2025·高一·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【解析】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 12．（多选题）（2025·高一·四川·月考）下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 【答案】BCD 【解析】对于A，根据向量平行的定义可知，方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确； 对于B，如果，且是非零向量，则，但不存在实数使得，故B错误； 对于C，如果，则有，但不能得到，故C错误； 对于D，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故D错误. 故选：BCD. 13．（多选题）（2025·高一·黑龙江牡丹江·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，当时，必成立，A正确； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，当时，，，此时未必共线，C错误. 对于D，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，D错误； 故选：AB 14．（多选题）（2025·高一·河北保定·月考）下列命题中的假命题是（    ） A．若为非零向量，则与同向 B．设，为实数，若，则与共线 C．若则 D．的充要条件是且∥ 【答案】BCD 【解析】对于A，若为非零向量，表示方向相同的单位向量，所以与同向，故A正确； 对于B，若，则与不一定共线，故B错误； 对于C，若，则不一定共线；故C错误； 对于D ，当两向量互为相反向量时也满足且∥，但，故D错误； 故选：BCD 15．（多选题）（2025·高一·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若两个非零向量 满足，则是互为相反向量 B．若向量 满足 与同向，则 C．的充要条件是 与重合，与重合 D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件 【答案】AD 【解析】对于A,因为两个非零向量 满足， 则，且，故方向相反， 则是互为相反向量，故A正确； 对于B，因为向量不能比较大小，故B错误； 对于C， 若与重合，与重合，则， 则充分性成立， 但，根据向量的可平移性， 不一定有与重合，与重合，必要性不成立， 故C错误； 对于D，模为0的向量是零向量，故其方向不确定； 一个向量方向不确定，是零向量，其模为0, 故模为0是一个向量方向不确定的充要条件， 则D正确， 故选：AD. 16．（多选题）下列说法中错误的是（    ） A．若||=||，则= B．若≠，则||≠|| C．零向量的长度为0 D．若则 【答案】AB 【解析】因为向量既有大小又有方向, 所以只有方向相同、大小 (长度) 相等的两个向量才相等, 故 A错误; 两个向量不相等, 但它们的模可以相等, 故B错误; 零向量的长度为 0 , 故 C正确; , 则 它们的相反向量 也相等,故D正确. 故选：AB. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $